3.5探索与表达规律(备作业)2021-2022学年七年级数学上册(北师大版)

3.5探索与表达规律一、单选题1．给定一列按规律排列的数：，则这列数的第9个数是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】把数列变，分别观察分子和分母的规律即可解决问题．【解析】解：把数列变，可知分子是从2开始的连续偶数，分母是从2开始的连续自然数，则第n个数为所以这列数的第9个数是，故选：B．【点睛】本题考查了数字类规律探索，将原式整理为，分别得出分子分母的规律是解本题的关键．2．下列是一组按一定规律排列的数：，…，则第2019个数是（）A． B． C． D．4038【答案】B【分析】分别将每个数表示成以2为底的幂的形式，再寻找规律解题【解析】解：该组数是，…，所以第2019个数是，故选：B．【点睛】本题考查数的规律，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．3．如图，填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值应是（）A．110 B．168 C．212 D．222【答案】C【分析】观察不难发现，左上角、左下角、右上角为三个连续的偶数，右下角的数是左下角与右上角两个数的乘积减去左上角的数的差，根据此规律先求出阴影部分的两个数，再列式进行计算即可得解．【解析】解：根据排列规律，12下面的数是14，12右面的数是16，

∵8＝2×4−0，22＝4×6−2，44＝6×8−4，

∴m＝16×14−12＝212，

故选：C．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，仔细观察前三个图形，找出四个数之间的变化规律是解题的关键．4．一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式拼接．若有几张这样的餐桌，可坐的人数为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】观察图形的变化即可得到规律求解．【解析】1张长方形餐桌的四周可坐（人），2张长方形餐桌的四周可坐（人），3张长方形餐桌的四周可坐（人），…，n张长方形餐桌的四周可坐人，故选：D．【点睛】本题考查图形的变换类规律探索，列代数式，解题的关键是熟练掌握观察图形的变换寻找规律．5．观察下列算式，用你所发现的规律得出的个位数字是（），，，，，，，……A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】通过观察算式可以发现规律：左边是指数从1开始以2为底数的乘方，右边是个位数字，以2，4，8，6交替出现，也就是4个数为一个周期．……3，所以的个位数字应该与的个位数字相同，所以的个位数字是8．【解析】解：通过观察算式可以发现规律：左边是指数从1开始以2为底数的乘方，右边是个位数字，以2，4，8，6交替出现，也就是4个数为一个周期．……3，所以的个位数字应该与的个位数字相同，所以的个位数字是8．故选D．【点睛】本题主要考查了数字类的规律问题，解题的关键在于能够准确找到相关规律．6．如果把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】题中明确指出：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．由于“正方形数”为两个“三角形数”之和，正方形数可以用代数式表示为：（n+1）2，两个三角形数分别表示为n（n+1）和（n+1）（n+2），所以由正方形数可以推得n的值，然后求得三角形数的值【解析】解：根据规律：正方形数可以用代数式表示为：（n+1）2，两个三角形数分别表示为n（n+1）和（n+1）（n+2），只有D、36＝15+21符合，故选：D．【点睛】本题考查探究、归纳的数学思想方法．本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．7．观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第个图形共有★个（）A． B． C． D．【答案】D【分析】观察图形特点，从中找出规律，它们的★数分别是3，6，9，12，…，总结出其规律，根据规律求解．【解析】通过观察，第一个图形为：3×1=3，

第二个图形为：3×2=6，

第三个图形为：3×3=9，

第四个图形为：3×4=12，

…，

所以第n个图形为：，

当时，，

故选：D．【点睛】本题考查了规律型－图形的变化类，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．本题的关键规律为第n个图形有3n个★．8．把有理数a代入|a+4|﹣10得到a1，称为第一次操作，再将a1作为a的值代入得到a2，称为第二次操作，…，若a＝23，经过第2020次操作后得到的是（）A．﹣7 B．﹣1 C．5 D．11【答案】A【分析】先确定第1次操作，a1=|23+4|10=17；第2次操作，a2=|17+4|10=11；第3次操作，a3=|11+4|10=5；第4次操作，a4=|5+4|10=1；第5次操作，a5=|1+4|10=7；第6次操作，a6=|7+4|10=7；…，后面的计算结果没有变化，据此解答即可．【解析】解：第1次操作，a1=|23+4|10=17；

第2次操作，a2=|17+4|10=11；

第3次操作，a3=|11+4|10=5；

第4次操作，a4=|5+4|10=1；

第5次操作，a5=|1+4|10=7；

第6次操作，a6=|7+4|10=7；

第7次操作，a7=|7+4|10=7；

…

第2020次操作，a2020=|7+4|10=7．

故选：A．【点睛】本题考查了绝对值和探索规律．解题的关键是先计算，再观察结果是按照什么规律变化的．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．9．如图，用若干大小相同的黑白两种颜色的长方形瓷砖，按下列规律铺成一列图案，则第7个图案中黑色瓷砖的个数是（）A．19 B．20 C．21 D．22【答案】D【分析】观察图形，发现：黑色纸片在4的基础上，依次多3个；根据其中的规律，用字母表示即可．【解析】第个图案中有黑色纸片3×1+1=4张第2个图案中有黑色纸片3×2+1=7张，第3图案中有黑色纸片3×3+1=10张，…第n个图案中有黑色纸片=3n+1张.当n=7时，3n+1=3×7+1=22.故选D.【点睛】此题考查规律型：图形的变化类，解题关键在于观察图形找到规律.10．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序数对(n，m)表示第n排，从左到右第m个数，如(4，3)表示8，已知1+2+3+…+n=，则表示2020的有序数对是()．A．(64，4) B．(65，4) C．(64，61) D．(65，61)【答案】C【分析】根据数字的排列规律，每一排的数字的个数与对应的排数相同，然后确定出2020所在的排数与这一排的序数，然后根据有序数对的表示写出即可．【解析】解：根据图形，第一排1个数，第二排2个数，数字从大到小排列，第三排3个数，数字从小到大排列，第四排4个数，数字从大到小排列，…，则前n排的数字共有个数，∵当n=63时，，则可知2020是第64排从右到左的第4个数，即从左到右的第61个数，可表示为（64，61）．故答案为：（64，61）．故选：C．【点睛】本题是数字变化规律的考查，根据图形数字排列规律判断出2020所在的排数与序数是解题的关键．二、填空题11．按规律填上第五个数：2，4，6，8，_______，……第n个数_______．【答案】10【分析】由已知4个数得出数列的规律为：每个数是2的倍数，据此可得答案．【解析】解：∵第1个数2＝2×1，第2个数4＝2×2，第3个数6＝2×3，第4个数8＝2×4，∴第5个数为2×5＝10，∴第n个数为2·n＝2n，故答案为：10，2n．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据数列的前4个数得出每个数是2的倍数的规律．12．按某种规律在横线上填上适当的数：，______，……第n个数_____．【答案】【分析】本题须先通过观察已知条件，找出这列数字的规律即可求出结果．【解析】∵……根据观察可得第六个数为，故第n个数为，故答案为：，．【点睛】本题主要考查了数字的规律变化的有关知识，在解题时要能通过观察得出规律是本题的关键．13．有一串单项式：a、、、、，……，第7个单项式为______，用字母a和n表示第n个单项式_______．【答案】【分析】本题须先通过观察已知条件，找出这列单项式的规律即可求出结果．【解析】解：∵a、、、、，根据观察可得第6个单项式为，第7个单项式为则第n个单项式为．故答案为：，．【点睛】本题主要考查了单项式的有关知识，在解题时要能通过观察得出规律是本题的关键．14．将同样大小的正方形按下列规律摆放，把重叠部分涂上颜色，下面的图案中，在第3个图案中所有正方形的个数是________个；在第n个图案中所有正方形的个数是___________个．【答案】11【分析】根据题意得：第1个图案有2+1=3个正方形；第二个图案有3+4=7=4×21个正方形；第三个图案有7+4=11=4×31个正方形；由此发现规律，第个图案有个正方形，即可求解．【解析】解：根据题意得：第1个图案有2+1=3个正方形；第二个图案有3+4=7=4×21个正方形；第三个图案有7+4=11=4×31个正方形；第个图案有个正方形；故答案为：11；．【点睛】本题主要考查了图形规律题，根据题意准确的到规律是解题的关键．15．用黑白两种颜色的正方形纸片拼成如下一列图案，按这种规律排列，第10个图案中有白色纸片_________张．【答案】31【分析】根据观察图形发现其中的规律，并应用规律解决问题．【解析】解：根据题意分析可得：第1个图案中有白色纸片（张），第2个图案中有白色纸片（张），第3个图案中有白色纸片（张），此后，每个图案都比前一个图案多3张白色纸片；故按这种规律排列，第10个图案中有白色纸片（张），故答案为：31．【点睛】本题考查了平面图形的有规律变化，主要培养学生的观察能力和分析、归纳能力．16．如图，在数轴上，、P两点表示的数分别为到原点O的距离相等，到P点的距离相等，到原点O的距离相等，到P点的距离相等，…，依此规律，则点表示的数是______．【答案】29【分析】先逐个计算，总结出一般性规律，再进行求解即可．【解析】解：根据题意得：表示的数为表示的数为表示的数为5，表示的数为表示的数为表示的数为表示的数为表示的数为表示的数为表示的数为表示的数为表示的数为表示的数为表示的数为，……故的结果为：当n为奇数时：；当n为偶数时：；则表示的数是．故答案为：29．【点睛】本题考查了数字类规律探索问题，解题的关键是能通过特殊的结果总结出一般性的规律．17．一跳蚤在一直线上从O点开始，第一次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，…，依此规律跳下去，当它跳第2019次落下时，落点处离O点的距离是_______个单位．【答案】1010【分析】设向右跳动为正，向左跳动为负，由题意可得，解出即可．【解析】设向右跳动为正，向左跳动为负，由题意可得．所以当它跳第2019次落下时，落点处离O点的距离是1010个单位．故答案为：1010．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算的实际应用，明确题意，得出规律是解题的关键．18．已知：，…．（1）请按以上规律接着写出：_______；（2）计算：__________．【答案】【分析】（1）根据已知等式得出结果即可；（2）根据（1）得出的规律计算即可；【解析】解析：（1）已知，，，所以，；（2）根据（1）得出的规律：原式．【点睛】本题主要考查了数字规律题型，准确分析计算是解题的关键．19．如图所示，第（1）个图有2个相同的小正方形，第（2）个图有6个相同的小正方形，第（3）个图有12个相同的小正方形，第（4）个图有20个相同的小正方形，……，按此规律，那么第（n）个图有________个相同的小正方形．【答案】n(n＋1)【分析】通过观察可以发现，每一个图形中正方形的个数等于图形序号乘以比序号大一的数，根据此规律解答即可.【解析】第(1)个图有2个相同的小正方形，2＝1×2，第(2)个图有6个相同的小正方形，6＝2×3，第(3)个图有12个相同的小正方形，12＝3×4，第(4)个图有20个相同的小正方形，20＝4×5，…，以此类推，第n个图应有n(n＋1)个相同的小正方形.【点睛】本题是对图形变化规律的考查，发现正方形的个数是两个连续整数的乘积是解题的关键，此类题目对同学们的能力要求较高，在平时的学习中要不断积累.20．观察下面的等式：回答下列问题：（1）填空：（）；（2）已知，则的值是；（3）设满足上面特征的等式最左边的数为，则的最大值是，此时的等式为.【答案】（1）4；（2）0或4；（3）4，【分析】（1）根据即可求解；（2）由（1）的规律即可求解；（3）由（1）可得进行整理，根据绝对值意义求解即可.【解析】解：根据观察可以知道，所有的式子符合的形式，所以（1）中此时2a=6，解得a=4，故答案为4；所以（2）中a=2，故22=0，所以x的值为0；根据绝对值的意义将原式化简可得，求得x=0或x=4，所以x的值为0或4；（3）根据，可知，整理得，所以，所以y的最大值为4，此时的式子是.【点睛】本题考查的是规律探索和绝对值的意义，能够找出规律是解题的关键.三、解答题21．观察下面依次排列的一列数，请按照相同的规律写出后面的三个数：（1）1，，3，，5，，7，，____，____，____…（2），，，，，，，，____，___，___，…【答案】（1）9，，11；（2）【分析】（1）根据连续整数，只有奇偶数的符号不同，找到规律写出后面的三个数即可；（2）根据分子和分母相差1，且每两个数的符号相同，据此规律写出后面的三个数即可．【解析】（1）观察数据发现：这组数的绝对值是连续的整数，只有奇偶数的符号不同，则后面三个数的符号为正，负，正，数据为9，10,11；即9，，11故答案为：9，，11；（2）观察数据发现：分子和分母相差1，且每两个数的符号相同，则后面三个数的符号为：负，负，正，数据为；即；故答案为：【点睛】本题考查了正负数的规律，找到符号规律是解题的关键．22．亮亮和同学观察下面一列数，探求其规律：，并解决了下面的问题，相信你也能解决这些问题．（1）写出这列数的第四个数；（2）第2020个数是什么？（3）如果这一列数无限排列下去，与哪一个数越来越近？【答案】（1）；（2）；（3）0【分析】（1）根据题目中的数字，可以发现奇数个数都是负数，偶数个数都是正数，第几个数分母就是几，从而可以写出第7个，第8个，第9个，第10个数；

（2）根据题目中的数字的特点，可以写出第2020个数；

（3）根据分子都是1，分母越来越大，即可得到这列数无限排列下去，越来越接近哪一个数．【解析】（1）一列数为：，第7、8、9、10四个数分别为：；（2）一列数为：，第2020个数是；（3）如果这一列数无限排列下去，越来越近0．【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数字．23．搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②，图③的方式串起来搭建，则串5顶这样的帐篷需要多少根钢管？串n顶这样的帐篷需要多少根钢管？【答案】61，．【分析】根据题意可知搭一个帐篷需要17根钢管，搭两个帐篷需要根钢管，搭三个帐篷需要根钢管，搭四个帐篷需要根钢管，可以得到搭n个帐篷需要根钢管，即可求解．【解析】解：由题意可得：搭一个帐篷需要17根钢管，搭两个帐篷需要根钢管，搭三个帐篷需要根钢管，搭四个帐篷需要根钢管，∴可以得到搭n个帐篷需要根钢管，故时为17+11（51）=61根．答：串5顶这样的帐篷需要61根钢管；串n顶这样的帐篷需要根钢管．【点睛】本题主要考查了几何图形的规律问题，解题的关键在于能够准确找到规律进行求解．24．（1）请你计算下列式子（可用计算器），完成后面的问题．计算：_________；________；_________；_________；…根据上述各式的规律，你认为_______；（2）利用计算器探索规律：任选中的一个数字，将这个数乘7，再将结果乘15873，你发现了什么规律？你能试着解释一下理由吗？【答案】（1）42，4422，444222，44442222，；（2）结果都是六位数且这六个数位上的数字都与所选的数字相同，见解析．【分析】(1)从因数7前面6的个数，另一个因数6的个数去寻找规律；（2）先计算15873×7，从这个积的特点上着手找规律．【解析】解：（1）因为，，，，所以，即；（2）结果都是六位数且这六个数位上的数字都与所选的数字相同．理由：因为，设中的任一数字为m，则根据题意得：，所以只要选中任一数字，结果都是六位数且这六个数位上的数字都与所选的数字相同．【点睛】本题考查了计算器的使用，熟练掌握计算器的使用，通过计算寻找规律是解题的关键．25．观察下面的变形规律：；；；……解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想________________；（2）求和：．【答案】（1）．（2）．【分析】（1）根据题目中的式子，可以将所求式子拆项，然后计算即可；（2）根据题目中的式子，可以将所求式子拆项，找出规律即可得出结果．【解析】解：（2）根据题意可得：，故答案为：；（2）原式＝．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解题的关键是根据数字的变化寻找规律．26．观察下列关于自然数的等式：①；②；③；…根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：_______=________；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示）．【答案】（1）10，；（2）【分析】由等式可以看出：第一个因数是从1开始连续的自然数，第二个因数比第一个因数大6，结果是第一个因数与3和的平方，减去3的平方，由此规律得出答案即可．【解析】解：（1）第四个等式：；（2）第个等式为：；证明：左边，右边，左边右边．【点睛】本题考查了数字的变化类，找出数字之间的运算规律，发现规律是解题关键．27．如图，将一串数按下列规律排列，回答下列问题：（1）在A处的数是正数还是负数？（2）负数排在中的什么位置？（3）第2020个数是正数还是负数？排在对应于中的什么位置？【答案】（1）正数；（2）B和D的位置是负数；（3）正数，A【分析】（1）根据A是向上箭头的上方对应的数解答；（2）根据箭头的方向与所对应的数的正、负情况解答；（3）根据4个数为一个循环组依次循环，用2020除以4，根据余数的情况确定所对应的位置即可．【解析】解：（1）A是向上箭头的上方对应的数，与4的符号相同，在A处的数是正数；（2）通过观察不难发现，向下箭头的上方的数是负数，下方是正数，向上箭头的下方是负数，上方是正数，所以，B和D的位置是负数；（3）因为，所以第2020个数与4的符号相同，是正数，排在对应于A的位置．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，仔细观察图形，从箭头方向向下和向上两种情况对应的数的正负情况考虑求解是解题的关键．28．学校餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式：（1）当有5张桌子时，两种摆放方式各能坐多少人？（2）当有n张桌子时，两种摆放方式各能坐多少人？（3）新学期有200人在学校就餐，但餐厅只有60张这样的餐桌，若你是老师，你打算选择哪种方式来摆放餐桌？为什么？【答案】（1）22，14；（2）4n+2,2n+4；（3）第一种，见解析【分析】（1）旁边2人除外，每张桌可以坐4人，由此即可解决问题；旁边4人除外，每张桌可以坐2人，由此即可解决问题；

（2）根据（1）中所得规律列式可得；

（3）分别求出两种情形坐的人