2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.4.2第2课时正弦函数余弦函数的单调性与最值课时作业含解析新人教A版必修4

PAGE正弦函数、余弦函数的单调性与最值(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数y＝2－sinx的最大值及取最大值时x的值为()A．ymax＝3，x＝eq\f(π,2)B．ymax＝1，x＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)C．ymax＝3，x＝－eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)D．ymax＝3，x＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)解析：∵y＝2－sinx，∴当sinx＝－1时，ymax＝3，此时x＝－eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)．答案：C2．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是()A．y＝cos|x| B．y＝cos|－x|C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2))) D．y＝－sineq\f(x,2)解析：y＝cos|x|在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是减函数，解除A；y＝cos|－x|＝cos|x|，解除B；y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝－cosx是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y＝－sineq\f(x,2)在(0，π)上是单调递减的．答案：C3．若α，β为锐角，sinα<cosβ，则α，β满意()A．α>β B．α<βC．α＋β<eq\f(π,2) D．α＋β>eq\f(π,2)解析：由sinα<cosβ，可得sinα<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－β))，又α，β为锐角，故α，eq\f(π,2)－β为锐角，所以α<eq\f(π,2)－β，即α＋β<eq\f(π,2).答案：C4．函数y＝cos2x＋3cosx＋2的最小值为()A．2 B．0C．1 D．6解析：令cosx＝t∈[－1,1]，则y＝t2＋3t＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(3,2)))2－eq\f(1,4)，所以t＝－1时，ymax＝0.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)5．y＝sinx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，则y的取值范围是________．解析：由正弦函数图象，对于x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，当x＝eq\f(π,2)时，ymax＝1，当x＝eq\f(π,6)时，ymin＝eq\f(1,2)，从而y∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))6．函数y＝sin(x＋π)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，π))上的单调递增区间为__________．解析：因为sin(x＋π)＝－sinx，所以要求y＝sin(x＋π)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，π))上的单调递增区间，即求y＝sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，π))上的单调递减区间，易知为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))7．函数y＝1－λcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的最大值与最小值的差等于2，则实数λ的值为________．解析：λ>0时，ymax＝1＋λ，ymin＝1－λ，∴1＋λ－(1－λ)＝2λ＝2，∴λ＝1；∴λ<0时，同理得(1－λ)－(1＋λ)＝－2λ＝2，∴λ＝－1.答案：－1或1三、解答题(每小题10分，共20分)8．比较下列各组数的大小：(1)sineq\f(10,17)π与sineq\f(11,17)π；(2)coseq\f(5π,3)与coseq\f(14π,9).解析：(1)∵函数y＝sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递减，且eq\f(π,2)＜eq\f(10,17)π＜eq\f(11,17)π＜π，∴sineq\f(10,17)π＞sineq\f(11,17)π.(2)coseq\f(5π,3)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,3)))＝coseq\f(π,3)，coseq\f(14π,9)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(4π,9)))＝coseq\f(4π,9).∵函数y＝cosx在[0，π]上单调递减，且0＜eq\f(π,3)＜eq\f(4π,9)＜π，∴coseq\f(π,3)＞coseq\f(4π,9)，∴coseq\f(5π,3)＞coseq\f(14π,9).9．求下列函数的最大值和最小值：(1)y＝eq\r(1－\f(1,2)sinx)；(2)y＝3＋2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).解析：(1)∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)sinx≥0，,－1≤sinx≤1，))∴－1≤sinx≤1.∴当sinx＝－1时，ymax＝eq\f(\r(6),2)；当sinx＝1时，ymin＝eq\f(\r(2),2).(2)∵－1≤coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))≤1，∴当coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝1时，ymax＝5；当coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝－1时，ymin＝1.eq\x(尖子生题库)☆☆☆10．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(|φ|<eq\f(π,2))，直线x＝eq\f(π,6)是函数y＝f(x)图象的一条对称轴．(1)求y＝f(x)的单调递增区间．(2)若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))，求y＝f(x)的值域．解析：(1)因为直线x＝eq\f(π,6)是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，所以2×eq\f(π,6)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，φ＝kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z.又|φ|<eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,6).所以函数的解析式是y＝sin(2x＋eq\f(π,6))．令2x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))，k∈Z，解得x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))，k∈Z.所以函数的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))，k∈Z.(2)因为x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))，所以2x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\]