高考真题+知识总结+方法总结+题型突破14立体几何中的计算问题专题练习(学生版+解析)

第页近年高考真题+优质模拟题汇编(全国通用)专题14立体几何中的计算问题【高考真题】1．(2022·新高考Ⅰ)已知正方体，则()A．直线与所成的角为B．直线与所成的角为C．直线与平面所成的角为D．直线与平面ABCD所成的角为1．答案ABD解析如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确；连接，因为平面，平面，则，因为，，所以平面，又平面，所以，故B正确；连接，设，连接，因为平面，平面，则，因为，，所以平面，所以为直线与平面所成的角，设正方体棱长为1，则，，，所以，直线与平面所成的角为，故C错误；因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确。故选ABD．2．(2022·全国甲理)在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则()A．B．AB与平面所成的角为C．D．与平面所成的角为2．答案D解析如图所示：不妨设，依题以及长方体的结构特征可知，与平面所成角为，与平面所成角为，所以，即，，解得．对于A，，，，A错误；对于B，过作于，易知平面，所以与平面所成角为，因为，所以，B错误；对于C，，，，C错误；对于D，与平面所成角为，，而，所以．D正确．故选D．3．(2022·浙江)如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则()A．B．C．D．3．答案A解析如图所示，过点作于，过作于，连接，则，，，，，，所以，故选A．4．(2022·新高考Ⅱ)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A．B．C．D．4．答案A解析设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选A．5．(2022·北京)已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为()A．B．C．D．5．答案B解析设顶点在底面上的投影为，连接，则为三角形的中心，且，故．因为，故，故S的轨迹为以O为圆心，1为半径的圆，而三角形内切圆的圆心为O，半径为，故S的轨迹圆在三角形内部，故其面积为．故选B．6．(2022·全国甲理)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则()A．B．C．D．6．答案D解析设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，则，所以，又，则，所以，所以甲圆锥的高，乙圆锥的高，所以．故选C．7．(2022·新高考Ⅱ)如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则()A．B．C．D．7．答案CD解析设，因为平面，，则，，连接交于点，连接，易得，又平面，平面，则，又，平面，则平面，又，过作于，易得四边形为矩形，则，则，，，则，，，则，则，，，故A、B错误；C、D正确．故选CD．8．(2022·全国乙理)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为()A．B．C．D．8．答案C解析设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线夹角为，则(当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立)，即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为，又，则当且仅当即时等号成立，故选C．9．(2022·新高考Ⅰ)已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3eq\r(3)，则该正四棱锥体积的取值范围是()A．[18，eq\f(81,4)]B．[eq\f(27,4)，eq\f(81,4)]C．[eq\f(27,4)，eq\f(64,3)]D．[18，27]9．答案C解析∵球的体积为36π，所以球的半径R＝3，设正四棱锥的底面边长为2a，高为h，则l2＝2a2＋h2，32＝2a2＋(3－h)2．所以6h＝l2，2a2＝l2－h2，所以正四棱锥的体积V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×4a2×h＝eq\f(2,3)×(l2－eq\f(l4,36))×eq\f(l2,6)＝eq\f(1,9)(l4－eq\f(l6,36))，所以V′＝eq\f(1,9)(4l3－eq\f(l5,6))＝eq\f(1,9)l3(eq\f(24－l2,6))，当3≤l≤2eq\r(6)时，V′＞0，当2eq\r(6)≤l≤3eq\r(3)时，V′＜0，所以当l＝2eq\r(6)时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为eq\f(64,3)，又l＝3时，V＝eq\f(27,4)，l＝3eq\r(3)时，V＝eq\f(81,4)．所以正四棱锥的体积V的最小值为eq\f(27,4)，所以该正四棱锥体积的取值范围是[eq\f(27,4)，eq\f(64,3)]．故选C．10．(2022·新高考Ⅰ)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）()A．B．C．D．10．答案C解析依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．棱台上底面积，下底面积，∴．故选C．【方法总结】1．求异面直线所成的角的方法求异面直线所成的角常用方法是平移法，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解．解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．2．求直线与平面所成角的方法求直线与平面所成角的关键是寻找过直线上一点与平面垂直的垂线、垂足与斜足的连线即为直线在平面内的射影，直线与直线在平面内射影所成的角即为线面角．然后转化为解三角形问题，进而求解．3．求二面角的方法求二面角是常见题型，根据所求两面是否有公共棱可分为两类：有棱二面角、无棱二面角，对于前者的二面角通常采用定义法或三垂线法等手段来定位出二面角的平面角，转化为解三角形问题，进而求解；而对于无棱二面角，一般通过延展平面找到棱使其转化为有棱二面角．或用面积射影定理(若多边形的面积为S，它在一个平面内的射影图形的面积为S′，且多边形与该平面所成的二面角为θ，则cosθ＝eq\f(S′,S)．)去解决(如例3(5))．4．求几何体的表面积的方法(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面图形问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得所给几何体的表面积．5．求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当分割或补形，转化为易计算体积的几何体．【题型突破】题型一空间角的计算1．(2018·全国Ⅱ)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A．eq\f(\r(2),2)B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(\r(5),2)D．eq\f(\r(7),2)1．答案C解析如图，连接BE，因为AB∥CD，所以AE与CD所成的角为∠EAB．在Rt△ABE中，设AB＝2，则BE＝eq\r(5)，则tan∠EAB＝eq\f(BE,AB)＝eq\f(\r(5),2)，所以异面直线AE与CD所成角的正切值为eq\f(\r(5),2)．2．如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A．eq\f(1,5)B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5)D．eq\f(4,5)2．答案D解析连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，易得A1C1＝eq\r(2)，A1B＝BC1＝eq\r(5)，故cos∠A1BC1＝eq\f(5＋5－2,2×\r(5)×\r(5))＝eq\f(4,5)，即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为eq\f(4,5)．3．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为()A．eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2)D．－eq\f(\r(3),2)3．答案A解析如图，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，EG，OG，FO，FG，则EF∥BD，EG∥AC，所以∠FEG为异面直线AC与BD所成的角．易知FO∥AB，因为AB⊥平面BCD，所以FO⊥平面BCD，所以FO⊥OG，设AB＝2a，则EG＝EF＝eq\r(2)a，FG＝eq\r(a2＋a2)＝eq\r(2)a，所以∠FEG＝60°，所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为eq\f(1,2)，故选A．4．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°4．答案C解析如图，延长CA到点D，使得AD＝AC，连接DA1，BD，则四边形ADA1C1为平行四边形，所以∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角．又A1D＝A1B＝DB，所以△A1DB为等边三角形，所以∠DA1B＝60°．故选C．5．如图所示，在四棱锥PABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为________．5．答案90°解析如图所示，延长DA至E，使AE＝DA，连接PE，BE．∵∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，∴DE＝BC，DE∥BC．∴四边形CBED为平行四边形，∴CD∥BE．∴∠PBE就是异面直线CD与PB所成的角．在△PAE中，AE＝PA，∠PAE＝120°，由余弦定理，得PE＝eq\r(PA2＋AE2－2PA·AEcos∠PAE)＝eq\r(AE2＋AE2－2AE·AE·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq\r(3)AE．在△ABE中，AE＝AB，∠BAE＝90°，∴BE＝eq\r(2)AE．∵△PAB是等边三角形，∴PB＝AB＝AE，∴PB2＋BE2＝AE2＋2AE2＝3AE2＝PE2，∴∠PBE＝90°．6．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为eq\f(9,4)，底面是边长为eq\r(3)的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为________．6．答案60°解析如图所示，设O为△ABC的中心，连接PO，AO，易知PO⊥平面ABC，则∠PAO为PA与平面ABC所成的角．S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(3)×sin60°＝eq\f(3\r(3),4)，∴VABC­A1B1C1＝S△ABC·OP＝eq\f(3\r(3),4)×OP＝eq\f(9,4)，∴OP＝eq\r(3)．又OA＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)×eq\f(2,3)＝1，∴tan∠OAP＝eq\f(OP,OA)＝eq\r(3)，∴∠OAP＝60°．故PA与平面ABC所成角为60°．7．(2018·全国Ⅰ)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为()A．8B．6eq\r(2)C．8eq\r(2)D．8eq\r(3)7．答案C解析如图，连接AC1，BC1，AC．∵AB⊥平面BB1C1C，∴∠AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角，∴∠AC1B＝30°．又AB＝BC＝2，在Rt△ABC1中，AC1＝eq\f(2,sin30°)＝4．在Rt△ACC1中，CC1＝eq\r(AC\o\al(2,1)－AC2)＝eq\r(42－(22＋22))＝2eq\r(2)，∴V长方体＝AB×BC×CC1＝2×2×2eq\r(2)＝8eq\r(2)．8．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，点D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为()A．eq\f(\r(10),4)B．eq\f(\r(6),4)C．eq\f(\r(10),5)D．eq\f(\r(6),5)8．答案B解析如图，取AC，A1C1的中点分别为M，M1，连接MM1，BM，过点D作DN∥BM交MM1于点N，则易证DN⊥平面AA1C1C，连接AN，则∠DAN为AD与平面AA1C1C所成的角．在Rt△DNA中，sin∠DAN＝eq\f(DN,AD)＝eq\f(\f(\r(3),2),\r(2))＝eq\f(\r(6),4)．9．如图，正四棱锥P－ABCD的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中点，则直线BE与平面PAC所成的角为()A．60°B．30°C．45°D．90°9．答案A解析如图，在正四棱锥P－ABCD中，根据底面积为6可得，BC＝eq\r(6)．连接BD交AC于点O，连接PO，则PO为正四棱锥P－ABCD的高，根据体积公式可得，PO＝1．因为PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BD，又BD⊥AC，PO∩AC＝O，所以BD⊥平面PAC，连接EO，则∠BEO为直线BE与平面PAC所成的角．在Rt△POA中，因为PO＝1，OA＝eq\r(3)，所以PA＝2，OE＝eq\f(1,2)PA＝1，在Rt△BOE中，因为BO＝eq\r(3)，所以tan∠BEO＝eq\f(BO,OE)＝eq\r(3)，即∠BEO＝60°．故直线BE与平面PAC所成角为60°．10．如图，在三棱锥S－ABC中，若AC＝2eq\r(3)，SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝4，E为棱SC的中点，则直线AC与BE所成角的余弦值为______，直线AC与平面SAB所成的角为_______．10．答案eq\f(1,4)60°解析取SA的中点M，连接ME，BM，则直线AC与BE所成的角等于直线ME与BE所成的角，因为ME＝eq\r(3)，BM＝BE＝2eq\r(3)，cos∠MEB＝eq\f(3＋12－12,2×\r(3)×2\r(3))＝eq\f(1,4)，所以直线AC与BE所成角的余弦值为eq\f(1,4)．取SB的中点N，连接AN，CN，则AN⊥SB，CN⊥SB⇒SB⊥平面ACN⇒平面SAB⊥平面ACN，因此直线AC与平面SAB所成的角为∠CAN，因为AN＝CN＝AC＝2eq\r(3)，所以∠CAN＝60°，因此直线AC与平面SAB所成的角为60°．11．已知二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2eq\r(17)，则该二面角的大小为()A．150°B．45°C．120°D．60°11．答案D解析如图，AC⊥AB，BD⊥AB，过A在平面ABD内作AE∥BD，过D作DE∥AB，连接CE，所以DE＝AB且DE⊥平面AEC，∠CAE即二面角的平面角．在Rt△DEC中，CD＝2eq\r(17)，DE＝4，则CE＝2eq\r(13)，在△ACE中，由余弦定理可得cos∠CAE＝eq\f(CA2＋AE2－CE2,2CA×AE)＝eq\f(1,2)，所以∠CAE＝60°，即所求二面角的大小为60°．12．如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在平面，C是圆周上不同于A，B两点的任意一点，且AB＝2，PA＝BC＝eq\r(3)，则二面角A－BC－P的大小为________．12．答案60°解析因为AB为⊙O的直径，所以AC⊥BC，又因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，因为AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以∠PCA为二面角A­BC­P的平面角．因为∠ACB＝90°，AB＝2，PA＝BC＝eq\r(3)，所以AC＝1，所以在Rt△PAC中，tan∠PCA＝eq\f(PA,AC)＝eq\r(3)．所以∠PCA＝60°．即所求二面角的大小为60°．13．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法正确的是()A．A1C1⊥BDB．B1C与BD所成的角为60°C．二面角A1－BC－D的平面角为45°D．AC1与平面ABCD所成的角为45°13．答案ABC解析A1C1⊥B1D1且B1D1∥BD，∴A1C1⊥BD，∴A正确；B1C∥A1D，B1C与BD所成的角即为∠A1DB＝60°，∴B正确；∠A1BA即为二面角A1－BC－D的平面角，∠A1BA＝45°，∴C正确；CC1⊥平面ABCD，∴∠C1AC为AC1与平面ABCD所成的角，∵CC1≠AC，∴∠C1AC≠45°，∴D错误．14．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点E为AD的中点，将△ABE沿BE折起，在翻折过程中，记点A对应的点为A′，二面角A′－DC－B的平面角的大小为α，则当α最大时，tanα＝()A．eq\f(\r(2),2)B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,2)14．答案D解析如图，取BC的中点F，连接AF，交BE于点O，则AF⊥BE，连接OA′，A′F，则OA′＝OA＝eq\f(\r(2),2)，OA′⊥BE，OF⊥BE，又OA′∩OF＝O，所以BE⊥平面OA′F，又BE⊂平面ABCD，所以平面OA′F⊥平面ABCD．设A′在AF上的投影为M，连接A′M，设∠A′OM＝β，则A′M＝eq\f(\r(2),2)sinβ，OM＝eq\f(\r(2),2)cosβ，过点M作MN⊥CD交CD于点N，连接A′N，则∠A′NM＝α．易得α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，MN＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)cosβ，所以当α最大时，tanα最大，tanα＝eq\f(\f(\r(2),2)sinβ,\f(3,2)－\f(1,2)cosβ)＝eq\f(\r(2)sinβ,3－cosβ)，令eq\f(\r(2)sinβ,3－cosβ)＝t，所以eq\r(2)sinβ＝3t－tcosβ，所以3t＝eq\r(2)sinβ＋tcosβ＝eq\r(2＋t2)sin(β＋θ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanθ＝\f(t,\r(2))))，所以3t≤eq\r(2＋t2)，所以t≤eq\f(1,2)，即tanα≤eq\f(1,2)，故选D．15．已知在矩形ABCD中，AD＝eq\r(2)AB，沿直线BD将△ABD折成△A′BD，使得点A′在平面BCD上的射影在△BCD内(不含边界)，设二面角A′－BD－C的大小为θ，直线A′D，A′C与平面BCD所成的角分别为α，β，则()A．α<θ<βB．β<θ<αC．β<α<θD．α<β<θ15．答案D解析如图，∵四边形ABCD为矩形，∴BA′⊥A′D，当A′点在底面上的射影O落在BC上时，有平面A′BC⊥底面BCD，又DC⊥BC，平面A′BC∩平面BCD＝BC，DC⊂平面BCD，可得DC⊥平面A′BC，则DC⊥BA′，∴BA′⊥平面A′DC，在Rt△BA′C中，设BA′＝1，则BC＝eq\r(2)，∴A′C＝1，说明O为BC的中点；当A′点在底面上的射影E落在BD上时，可知A′E⊥BD，设BA′＝1，则A′D＝eq\r(2)，∴A′E＝eq\f(\r(6),3)，BE＝eq\f(\r(3),3)．要使点A′在平面BCD上的射影F在△BCD内(不含边界)，则点A′的射影F落在线段OE上(不含端点)．可知∠A′EF为二面角A′－BD－C的平面角θ，直线A′D与平面BCD所成的角为∠A′DF＝α，直线A′C与平面BCD所成的角为∠A′CF＝β，可求得DF＞CF，∴A′C＜A′D，且A′E＝eq\f(\r(6),3)<1，而A′C的最小值为1，∴sin∠A′DF＜sin∠A′CF＜sin∠A′EO，则α＜β＜θ．题型二几何体的面积与体积的计算16．(2018·全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．12eq\r(2)πB．12πC．8eq\r(2)πD．10π16．答案B解析设圆柱的轴截面的边长为x，则x2＝8，得x＝2eq\r(2)，∴S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×(eq\r(2))2＋2π×eq\r(2)×2eq\r(2)＝12π．故选B．17．(2018·全国Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为eq\f(7,8)，SA与圆锥底面所成角为45，若△SAB的面积为5eq\r(15)，则该圆锥的侧面积为________．17．答案40eq\r(2)π解析如图，∵SA与底面成45角，∴△SAO为等腰直角三角形．设OA＝r，则SO＝r，SA＝SB＝eq\r(2)r．在△SAB中，cos∠ASB＝eq\f(7,8)，∴sin∠ASB＝eq\f(\r(15),8)，∴S△SAB＝eq\f(1,2)SA·SB·sin∠ASB＝eq\f(1,2)×(eq\r(2)r)2×eq\f(\r(15),8)＝5eq\r(15)，解得r＝2eq\r(10)，∴SA＝eq\r(2)r＝4eq\r(5)，即母线长l＝4eq\r(5)，∴S圆锥侧＝πrl＝π×2eq\r(10)×4eq\r(5)＝40eq\r(2)π．18．九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体，如图所示，四边形ABCD为矩形，棱EF∥AB.若此几何体中，AB＝4，EF＝2，△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，则该几何体的表面积为()A．8eq\r(3)B．8＋8eq\r(3)C．6eq\r(2)＋2eq\r(3)D．8＋6eq\r(2)＋2eq\r(3)18．答案B解析如图所示，取BC的中点P，连接PF，则PF⊥BC，过F作FQ⊥AB，垂足为Q．因为△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，且EF∥AB，所以四边形ABFE为等腰梯形，FP＝eq\r(3)，则BQ＝eq\f(1,2)(AB－EF)＝1，FQ＝eq\r(BF2－BQ2)＝eq\r(3)，所以S梯形EFBA＝S梯形EFCD＝eq\f(1,2)×(2＋4)×eq\r(3)＝3eq\r(3)，又S△ADE＝S△BCF＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)，S矩形ABCD＝4×2＝8，所以该几何体的表面积S＝3eq\r(3)×2＋eq\r(3)×2＋8＝8＋8eq\r(3)．故选B．19．如图所示，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若将该直角梯形绕BC边旋转一周，则所得的几何体的表面积为______．19．答案(eq\r(2)＋3)π解析根据题意可知，此旋转体的上半部分为圆锥(底面半径为1，高为1)，下半部分为圆柱(底面半径为1，高为1)，如图所示．则所得几何体的表面积为圆锥的侧面积、圆柱的侧面积以及圆柱的下底面积之和，即表面积为eq\f(1,2)·2π·1·eq\r(12＋12)＋2π·12＋π·12＝(eq\r(2)＋3)π．20．若圆锥的侧面展开图是半径为l的半圆，则这个圆锥的表面积与侧面积的比值是()A．eq\f(3,2)B．2C．eq\f(4,3)D．eq\f(5,3)20．答案A解析设该圆锥的底面半径为r，由题意可得其母线长为l，且2πr＝πl，所以l＝2r，所以这个圆锥的表面积与侧面积的比值是(πrl＋πr2)∶πrl＝3πr2∶2πr2＝3∶2，故选A．21．把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为()A．10B．10eq\r(3)C．10eq\r(2)D．5eq\r(3)21．答案B解析设圆锥的底面半径为r，高为h．因为半圆的弧长等于圆锥的底面周长，半圆的半径等于圆锥的母线，所以2πr＝20π，所以r＝10，所以h＝eq\r(202－102)＝10eq\r(3)．22．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝________cm2．22．答案2600π解析将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面展开图的面积S＝eq\f(1,2)×(50＋80)×(π×40)＝2600π(cm2)．23．(2020·全国Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A．eq\f(\r(5)－1,4)B．eq\f(\r(5)－1,2)C．eq\f(\r(5)＋1,4)D．eq\f(\r(5)＋1,2)23．答案C解析如图，设CD＝a，PE＝b，则PO＝eq\r(PE2－OE2)＝eq\r(b2－\f(a2,4))，由题意，得PO2＝eq\f(1,2)ab，即b2－eq\f(a2,4)＝eq\f(1,2)ab，化简，得4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2)－2·eq\f(b,a)－1＝0，解得eq\f(b,a)＝eq\f(\r(5)＋1,4)(负值舍去)．故选C．24．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，且底面边长与侧棱长都等于3．蚂蚁从A点沿侧面经过棱BB1上的点N和CC1上的点M爬到点A1，如图所示，则蚂蚁爬过的路程最短为________．24．答案3eq\r(10)解析将三棱柱ABC­A1B1C1的侧面展开如图所示，则有A′A′1＝3，AA′1＝eq\r((AA′)2＋(A′A′1)2)＝3eq\r(10)．所以蚂蚁爬过的路程最短为AA′1．25．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为eq\f(7,8)，SA与圆锥底面所成角为45°．若△SAB的面积为5eq\r(15)，则该圆锥的侧面积为________．25．答案40eq\r(2)π解析如图所示，设S在底面的射影为S′，连接AS′，SS′．△SAB的面积为eq\f(1,2)·SA·SB·sin∠ASB＝eq\f(1,2)·SA2·eq\r(1－cos2∠ASB)＝eq\f(\r(15),16)·SA2＝5eq\r(15)，所以SA2＝80，SA＝4eq\r(5)．因为SA与底面所成的角为45°，所以∠SAS′＝45°，AS′＝SA·cos45°＝4eq\r(5)×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(10)．所以底面周长l＝2π·AS′＝4eq\r(10)π，所以圆锥的侧面积为eq\f(1,2)×4eq\r(5)×4eq\r(10)π＝40eq\r(2)π．26．(2020·江苏)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0．5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是________cm3．26．答案12eq\r(3)－eq\f(π,2)解析正六棱柱的体积为6×eq\f(\r(3),4)×22×2＝12eq\r(3)cm3，挖去的圆柱的体积为πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×2＝eq\f(π,2)cm3，故所求几何体的体积为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12\r(3)－\f(π,2)))cm3．27．(2018·全国Ⅰ)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30，则该长方体的体积为()A．8B．6eq\r(2)C．8eq\r(2)D．8eq\r(3)27．答案C解析如图，连接AC1，BC1，AC．∵AB⊥平面BB1C1C，∴∠AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角，∴∠AC1B＝30．又AB＝BC＝2，在Rt△ABC1中，AC1＝eq\f(2,sin30°)＝4．在Rt△ACC1中，CC1＝eq\r(AC\o\al(2,1)－AC2)＝eq\r(42－22＋22)＝2eq\r(2)，∴V长方体＝AB×BC×CC1＝2×2×2eq\r(2)＝8eq\r(2)．28．(2018·江苏)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．28．答案eq\f(4,3)解析由题意知所给的几何体是棱长均为eq\r(2)的八面体，它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的，正四棱锥的高为1，所以这个八面体的体积为2V正四棱锥＝2×eq\f(1,3)×(eq\r(2))2×1＝eq\f(4,3)．29．(2018·天津)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D的体积为________．29．答案解析法一：直接法连接A1C1交B1D1于点E，则A1E⊥B1D1，A1E⊥BB1，则A1E⊥平面BB1D1D，所以A1E为四棱锥A1－BB1D1D的高，且A1E＝eq\f(\r(2),2)，矩形BB1D1D的长和宽分别为eq\r(2)，1，故VA1－BB1D1D＝eq\f(1,3)×(1×eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,3)．法二：割补法连接BD1，则四棱锥A1－BB1D1D分成两个三棱锥B－A1DD1与B­A1B1D1，所以VA1­BB1D1D＝VB­A1DD1＋VB­A1B1D1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,3)．30．在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2．将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A．eq\f(2π,3)B．eq\f(4π,3)C．eq\f(5π,3)D．2π30．答案C解析如图，过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－eq\f(1,3)·π·CE2·DE＝π×12×2－eq\f(1,3)π×12×1＝eq\f(5π,3)．31．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为CD的中点，则三棱锥A－BC1M的体积VA－BC1M＝()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,6)D．eq\f(1,12)31．答案C解析VA－BC1M＝VC1－ABM＝eq\f(1,3)S△ABM·C1C＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AB×AD×C1C＝eq\f(1,6)．故选C．32．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为eq\r(3)，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为()A．3B．eq\f(3,2)C．1D．eq\f(\r(3),2)32．答案C解析∵D是等边三角形ABC的边BC的中点，∴AD⊥BC．又ABC－A1B1C1为正三棱柱，∴AD⊥平面BB1C1C．∵四边形BB1C1C为矩形，∴＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)．又AD＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，∴＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\r(3)＝1．故选C．33．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，点P在棱CC1上，则三棱锥P－ABA1的体积为_______．33．答案eq\f(9\r(3),4)解析由题意，得V三棱锥P­ABA1＝V三棱锥C­ABA1＝V三棱锥A1­ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·AA1＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×32×3＝eq\f(9\r(3),4)．34．在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P在线段BD1上，且eq\f(BP,PD1)＝eq\f(1,2)，M为线段B1C1上的动点，则三棱锥M－PBC的体积为()A．1B．eq\f(3,2)C．eq\f(9,2)D．与M点的位置有关34．答案B解析∵eq\f(BP,PD1)＝eq\f(1,2)，∴点P到平面BCC1B1的距离是D1到平面BCC1B1距离的eq\f(1,3)，即为eq\f(D1C1,3)＝1．M为线段B1C1上的点，∴S△MBC＝eq\f(1,2)×3×3＝eq\f(9,2)，∴VM­PBC＝VP­MBC＝eq\f(1,3)×eq\f(9,2)×1＝eq\f(3,2)．35．如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为()A．eq\f(\r(3),12)B．eq\f(\r(3),4)C．eq\f(\r(6),12)D．eq\f(\r(6),4)35．答案A解析三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，三棱锥A－B1BC1的高为eq\f(\r(3),2)，底面积为eq\f(1,2)，故其体积为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12)．36．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，点D在棱AA1上，则三棱锥D－BB1C1的体积为________．36．答案eq\f(2\r(3),3)解析如图，取BC的中点O，连接AO．∵正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，∴AC＝2，OC＝1，则AO＝eq\r(3)．∵AA1∥平面BCC1B1，∴点D到平面BCC1B1的距离为eq\r(3)．又＝eq\f(1,2)×2×2＝2，∴＝eq\f(1,3)×2×eq\r(3)＝eq\f(2\r(3),3)．37．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，动点E在BB1上，动点F在A1C1上，O为底面ABCD的中心，若BE＝x，A1F＝y，则三棱锥O－AEF的体积()A．与x，y都有关B．与x，y都无关C．与x有关，与y无关D．与y有关，与x无关37．答案B解析由已知得V三棱锥O－AEF＝V三棱锥E－OAF＝eq\f(1,3)S△AOF·h(h为点E到平面AOF的距离)．连接OC，因为BB1∥平面ACC1A1，所以点E到平面AOF的距离为定值．又AO∥A1C1，OA为定值，点F到直线AO的距离也为定值，所以△AOF的面积是定值，所以三棱锥O－AEF的体积与x，y都无关．38．如图，∠ACB＝90，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于E，AF⊥DC交DC于F，且AD＝AB＝2，则三棱锥D－AEF体积的最大值为________．38．答案eq\f(\r(2),6)解析因为DA⊥平面ABC，所以DA⊥BC，又BC⊥AC，DA∩AC＝A，所以BC⊥平面ADC，所以BC⊥AF．又AF⊥CD，BC∩CD＝C，所以AF⊥平面DCB，所以AF⊥EF，AF⊥DB．又DB⊥AE，AE∩AF＝A，所以DB⊥平面AEF，所以DE为三棱锥D－AEF的高．因为AE为等腰直角三角形ABD斜边上的高，所以AE＝eq\r(2)，设AF＝a，FE＝b，则△AEF的面积S＝eq\f(1,2)ab≤eq\f(1,2)×eq\f(a2＋b2,2)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,2)＝eq\f(1,2)(当且仅当a＝b＝1时等号成立)，所以(VD­AEF)max＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),6)．39．在三棱锥P－ABC中，平面PBC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BC＝PC＝2，若AC＝PB，则三棱锥P－ABC体积的最大值为()A．eq\f(4\r(2),3)B．eq\f(16\r(3),9)C．eq\f(16\r(3),27)D．eq\f(32\r(3),27)39．答案D解析如图，取PB中点M，连接CM，∵平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，AC⊂平面ABC，AC⊥BC，∴AC⊥平面PBC，设点A到平面PBC的距离为h＝AC＝2x，∵PC＝BC＝2，PB＝2x(0＜x＜2)，M为PB的中点，∴CM⊥PB，CM＝eq\r(4－x2)，解得S△PBC＝eq\f(1,2)×2x×eq\r(4－x2)＝xeq\r(4－x2)，VA－PBC＝eq\f(1,3)×(xeq\r(4－x2))×2x＝eq\f(2x2\r(4－x2),3)，设t＝eq\r(4－x2)(0＜t＜2)，则x2＝4－t2，∴VA－PBC＝eq\f(2t（4－t2）,3)＝eq\f(8t－2t3,3)(0＜t＜2)，关于t求导，得V′(t)＝eq\f(8－6t2,3)，令V′(t)＝0，解得t＝eq\f(2\r(3),3)或t＝－eq\f(2\r(3),3)(舍去)，当0<t<eq\f(2\r(3),3)时，V′(t)>0，V(t)单调递增，当eq\f(2\r(3),3)<t<2时，V′(t)<0，V(t)单调递减．所以当t＝eq\f(2\r(3),3)时，(VA－PBC)max＝eq\f(32\r(3),27)．故选D．40．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°．若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD＝DA，PB＝BA，则四面体P—BCD的体积的最大值是________．40．答案eq\f(1,2)解析设PD＝DA＝x，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2－2·AB·BC·cos∠ABC)＝eq\r(4＋4－2×2×2×cos120°)＝2eq\r(3)，∴CD＝2eq\r(3)－x，且∠ACB＝eq\f(1,2)(180°－120°)＝30°，∴S△BCD＝eq\f(1,2)BC·DC·sin∠ACB＝eq\f(1,2)×2×(2eq\r(3)－x)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(2eq\r(3)－x)．要使四面体体积最大，当且仅当点P到平面BCD的距离最大，而P到平面BCD的最大距离为x．则V四面体P—BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)(2eq\r(3)－x)x＝eq\f(1,6)[－(x－eq\r(3))2＋3]，由于0＜x＜2eq\r(3)，故当x＝eq\r(3)时，V四面体P—BCD取最大值为eq\f(1,6)×3＝eq\f(1,2)．41．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若AA1＝4，AB＝2，则四棱锥B－ACC1D的体积为________．41．答案2eq\r(3)解析取AC的中点O，连接BO(图略)，则BO⊥AC，所以BO⊥平面ACC1D．因为AB＝2，所以BO＝eq\r(3)．因为D为棱AA1的中点，AA1＝4，所以AD＝2，所以S梯形ACC1D＝eq\f(1,2)×(2＋4)×2＝6，所以四棱锥B­ACC1D的体积为eq\f(1,3)×6×eq