第5讲 基本不等式的综合问题

第5讲基本不等式的综合问题【典例1】若实数a，b满足eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，则ab的最小值为()A.eq\r(2)B.2C.2eq\r(2)D.4【解析】由eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，知a＞0，b＞0，∵eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(2,ab))，∴eq\r(ab)≥eq\f(2\r(2),\r(ab))，∴ab≥2eq\r(2).故选C.【典例2】若直线eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于()A.2B.3C.4D.5【解析】由题意eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，∴a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号．故选C.【典例3】设x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为()A．0B．1C．2D．3【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,平移直线y=-x,当直线经过点A(3,0)时,z=x+y取得最大值,此时zmax=3+0=3.故选D.【典例4】设满足约束条件,则的最小值是A.B.C.D 【解析】绘制不等式组表示的可行域(图略)，结合目标函数的几何意义可得函数在点处取得最小值.故选A.【典例5】若x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x－2y＋1≤0，,2x－y＋2≥0，))则z＝3x＋y的最大值为________．【解析】x，y满足条件的可行域如图阴影部分所示.当z＝3x＋y过A(1，1)时有最大值，z＝4.【典例6】已知，，且，则下列说法正确的是（）A．当时，取得最小值B．当时，取得最大值C．当，时，取得最小值D．当，时，取得最大值【解析】，，且，，，，，当且仅当即，时，等号成立，所以当，时，取得最小值，最小值为.故选：C.【典例7】若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（）A．0 B． C． D．【解析】因为不等式对于一切恒成立，所以对一切恒成立，所以，又因为在上单调递减，所以，所以，所以的最小值为，故选：C.【典例8】若关于x的不等式在内有解，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】由题意，可得，设，若，则，不等式在内有解，则只需，即，解得.故选：C【典例9】已知方程在区间上有解，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】方程在区间上有解，当时，方程无解；当时，则有，令，，即在时为减函数，由于，所以，当时，，所以，只要，方程在区间上有解故选：A【典例10】若，使得不等式成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【解析】因为，使得不等式成立，所以，使得不等式成立，令，，因为对称轴为，所以，所以，故选：C【典例11】（多选）使得成立的充分非必要条件有（）A． B．C． D．或【解析】由可得，如下图所示：所以，不等式的解集为或，A、B、C选项中的集合均为集合或的真子集，因此，使得成立的充分非必要条件有A、B、C选项.故选：ABC.【典例12】（多选）下列结论正确的是（）A．当x>0时，+≥2B．当x>3时，x+的最小值是2C．当x<时，2x1+的最小值是4D．设x>0，y>0，且2x+y=1，则的最小值是9【解析】对于选项A，当时，，，当且仅当时取等号，结论成立，故A正确；对于选项B，当时，，当且仅当时取等号，但，等号取不到，因此的最小值不是2，故B错误；对于选项C，因为，所以，则，当且仅当，即时取等号，故C错误；对于选项D，因为，，则，当且仅当，即时，等号成立，故D正确.故选：AD.【典例13】（多选）下列函数中最小值为2的是（）A． B．C． D．【解析】时，，A错；，，当且仅当，即时等号成立，B正确；同理，但时，等号才能成立，而无解．故2取不到，C错；，则，，当且仅当，即时等号成立，D正确．故选：BD．【典例14】已知，，且，则的最小值为________．【解析】因为，，，则，所以，所以当且仅当，即（不在范围内，舍去）时，等号成立.【答案】为：.【典例15】如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P(x，y)为D中任意一点，则z＝2x＋3y的最大值为________．【解析】z＝2x＋3y，化为y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(1,3)z，当直线y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(z,3)在点A(2，1)处时，z取最大值，z＝2×2＋3＝7.【答案】7【典例16】已知a，b∈R，且a–3b+6=0，则2a+的最小值为__________．【解析】：由可知，且：，因为对于任意x，恒成立，结合均值不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.【典例17】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是.【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立.【典例18】已知a＞0，b＞0，ab＝8，则当a的值为________时，log2a·log2(2b)取得最大值．【解析】log2a·log2(2b)＝log2a·(1＋log2b)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(log2a＋1＋log2b,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(log2ab＋1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(log28＋1,2)))eq\s\up12(2)＝4，当且仅当log2a＝1＋log2b，即a＝2b时，等号成立，此时a＝4，b＝2.【典例19】已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x≤1，,x＋\f(6,x)－6，x＞1，))则f(f(－2))＝________，f(x)的最小值是________．【解析】∵f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，x≤1,x＋\f(6,x)－6，x＞1，))∴f(－2)＝(－2)2＝4，∴f[f(－2)]＝f(4)＝－eq\f(1,2).当x≤1时，f(x)min＝f(0)＝0，当x＞1时，f(x)＝x＋eq\f(6,x)－6≥2eq\r(6)－6，当且仅当x＝eq\r(6)时“＝”成立．∵2eq\r(6)－6＜0，∴f(x)的最小值为2eq\r(6)－6.【答案】－eq\f(1,2)2eq\r(6)－6【典例20】定义运算“⊗”：x⊗y＝eq\f(x2－y2,xy)(x,y∈R,xy≠0),当x＞0,y＞0时,x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________．【解析】由题意得，x⊗y＋(2y)⊗x＝eq\f(x2－y2,xy)＋eq\f(（2y）2－x2,2yx)＝eq\f(x2＋2y2,2xy)≥eq\f(2\r(x2·2y2),2xy)＝eq\r(2)，当且仅当x＝eq\r(2)y时取等号．【典例21】(1)已知x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是_________________________．(2)设x≥0，y≥0，x2＋eq\f(y2,2)＝1，则x·eq\r(1＋y2)的最大值为________．(3)已知x>0，y>0，eq\f(1,x)＋eq\f(2,y＋1)＝2，则2x＋y的最小值为________．【答案】(1)由(x＋y)2＝xy＋1，得(x＋y)2≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))2＋1，则x＋y≤eq\f(2\r(3),3)(当且仅当x＝y＝eq\f(\r(3),3)时取等号)，故x＋y的最大值为eq\f(2\r(3),3).(2)x·eq\r(1＋y2)＝eq\r(2)x·eq\r(\f(1＋y2,2))≤eq\r(2)·eq\f(x2＋\f(1＋y2,2),2)＝eq\r(2)·eq\f(x2＋\f(y2,2)＋\f(1,2),2)＝eq\f(3\r(2),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当x＝\f(\r(3),2)，y＝\f(\r(2),2)时取等号))，故x·eq\r(1＋y2)的最大值为eq\f(3\r(2),4).(3)∵2x＋(y＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(2,y＋1)))[2x＋(y＋1)]＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(y＋1,x)＋\f(4x,y＋1)＋2))≥4，∴2x＋y＝2x＋(y＋1)－1≥3(当且仅当x＝1，y＝1时取等号)，故2x＋y的最小值为3.【典例22】记max{a，b}为a，b两数的最大值，则当正数x，y(x>y)变化时，t＝maxeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x2，\f(25,yx－y)))的最小值为________．【答案】方法一由题意知t≥x2，t≥eq\f(25,yx－y)，∴2t≥x2＋eq\f(25,yx－y)，又∵x2＋eq\f(25,yx－y)≥x2＋eq\f(25,\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(y＋x－y,2)))2)＝x2＋eq\f(100,x2)≥20，∴2t≥20，即t≥10.∴当正数x，y(x>y)变化时，t＝maxeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x2，\f(25,yx－y)))的最小值为10.方法二由题意知t≥x2>0，t≥eq\f(25,yx－y)>0，∴t2≥x2·eq\f(25,yx－y)，又∵x2·eq\f(25,yx－y)≥x2·eq\f(25,\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(y＋x－y,2)))2)＝x2·eq\f(100,x2)＝100，∴t2≥100，即t≥10.∴当正数x，y(x>y)变化时，t＝maxeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x2，\f(25,yx－y)))的最小值为10.【方法总结】(1)运用基本不等式求最值时，可通过配凑变量的系数或加减常数项出现定值，满足基本不等式求最值的条件．(2)将目标函数式中的常数用已知式进行等量代换，或者将目标函数式与已知代数式相乘，然后通过化简变形，求得目标函数的最值．【典例23】若正数a，b满足eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，则eq\f(1,a－1)＋eq\f(9,b－1)的最小值是()A．1B．6C．9D．16【答案】∵正数a，b满足eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，∴b＝eq\f(a,a－1)>0，解得a>1.同理可得b>1，∴eq\f(1,a－1)＋eq\f(9,b－1)＝eq\f(1,a－1)＋eq\f(9,\f(a,a－1)－1)＝eq\f(1,a－1)＋9(a－1)≥2eq\r(\f(1,a－1)·9a－1)＝6，当且仅当eq\f(1,a－1)＝9(a－1)，即a＝eq\f(4,3)时等号成立，∴所求最小值为6.【典例24】函数y＝eq\r(2x－1)＋eq\r(5－2x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<x<\f(5,2)))的最大值是________．【答案】y2＝(eq\r(2x－1)＋eq\r(5－2x))2＝4＋2eq\r(2x－15－2x)≤4＋(2x－1)＋(5－2x)＝8，又y>0，所以0<y≤2eq\r(2)，当且仅当2x－1＝5－2x，即x＝eq\f(3,2)时取等号．故函数的最大值是2eq\r(2).【典例25】已知a>0，b>0，且ab＝1，则eq\f(1,2a)＋eq\f(1,2b)＋eq\f(8,a＋b)的最小值为________．【答案】因为a>0，b>0，ab＝1，所以原式＝eq\f(ab,2a)＋eq\f(ab,2b)＋eq\f(8,a＋b)＝eq\f(a＋b,2)＋eq\f(8,a＋b)≥2eq\r(\f(a＋b,2)·\f(8,a＋b))＝4，当且仅当eq\f(a＋b,2)＝eq\f(8,a＋b)，即a＋b＝4时，等号成立．故eq\f(1,2a)＋eq\f(1,2b)＋eq\f(8,a＋b)的最小值为4.【典例26】设a＋b