第08讲解析几何(原卷版+解析)

第08讲解析几何一、单选题1．（2021·山西高三月考（文））古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用周长为72的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD的四边相切.设椭圆τ在平面直角坐标系中的方程为，下列选项中满足题意的方程为（）A． B．C． D．2．（2021·广东高三月考）著名的天文学家、数学家约翰尼斯·开普勒（JohannesKepler）发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳处在椭圆的一个焦点上.记地球绕太阳运动的轨道为椭圆C，在地球绕太阳运动的过程中，若地球与太阳的最远距离与最近距离之比为，则C的离心率为（）A． B． C． D．3．（2020·江苏省涟水中学高二期中）阿基米德（公元前年-公元前年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的方程为（）A． B． C． D．4．（2021·辽宁鞍山·高二期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短路程为（）A． B． C． D．5．（2021·全国高二课时练习）曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小.已知椭圆：（）上点处的曲率半径公式为．若椭圆上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．6．（2022·全国高三专题练习（理））阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两个定点距离的比为常数的点的轨还是圆，后人把这个国称为阿波罗尼斯圆，已知定点、，动点满足，则动点的轨迹为一个阿波罗尼斯圆，记此圆为圆，已知点在圆上（点在第一象限），交圆于点，连接并延长交圆于点，连接，当时，直线的斜率为（）A． B． C． D．7．（2022·全国）第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．8．（2022·全国高三专题练习（文））阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆、点和点，M为圆O上的动点，则的最大值为（）A． B． C． D．二、多选题9．（2020·江苏省通州高级中学高二学业考试）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2＋y2＝1＋|xy|就是其中之一.给出下列四个结论，其中正确的选项是（）A．曲线C关于坐标原点对称B．曲线C上任意一点到原点的距离的最小值为1C．曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)D．曲线C所围成的区域的面积等于410．（2021·广东实验中学高二期中）双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理.椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线.伯努利将这种曲线称为lemniscate，为拉丁文中“悬挂的丝带”之意.双纽线在数学曲线领域的地位占有至关重要的地位.双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多设计者设计作品的主要几何元素.曲线是双纽线，则下列结论正确的是（）A．曲线经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）B．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过2C．曲线关于直线对称的曲线方程为D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为11．（2021·广东汕头·高三）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上两个动点.直线的方程为.下列说法正确的是（）A．的蒙日圆的方程为B．对直线上任意点，C．记点到直线的距离为，则的最小值为D．若矩形的四条边均与相切，则矩形面积的最大值为12．（2021·广东汕头·金山中学）黄金分割是一种数学上的比例，是自然的数美．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．应用时一般取0.618．北京新机场，自然也留下了黄金数的足迹．人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处．艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美．设离心率为黄金比的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若分别是实半轴、虚半轴、半焦距的长，则对黄金双曲线，有（）A．当焦点在轴时，其标准方程为：B．若双曲线的弦的中点为，则C．双曲线中成等比数列D．双曲线的右顶点，点和左焦点构成是直角三角形．三、填空题13．（2021·江苏南京·高三开学考试）如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于某焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，，两点关于抛物线的对称轴对称，是抛物线的焦点，是馈源的方向角，记为，焦点到顶点的距离与口径的比值称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等.如果某抛物面天线的焦径比等于，那么馈源方向角的正切值为_______.14．（2021·全国高二专题练习）舒腾尺是荷兰数学家舒腾(1615-1660)设计的一种作图工具，如图，是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处的铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动.当点在滑槽内作往复移动时，带动点绕转动，点也随之而运动.记点的运动轨迹为，点的运动轨迹为.若，，过上的点向作切线，则切线长的最大值为___________.15．（2021·全国高三（理））数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为的小圆在一个半径为的大圆内部，沿着圆的圆周滚动，小圆圆周上的任一点形成的轨迹即为星形线．如图，已知星形线的方程为，周长为，有如下结论：①曲线的周长大于星形线的周长；②曲线上任意两点距离的最大值为；③曲线与圆有且仅有个公共点；④从曲线上任一点作，轴的垂线，垂线与，轴所围成图形的面积最大值为．其中所有正确结论的序号是________．16．（2021·江苏南京师大附中）三等分角是古希腊三大几何难题之一，公元3世纪末，古希腊数学家帕普斯利用双曲线解决了三等分角问题，如图，已知圆心角ACB是待三等分的角(0<∠ACB<π)，具体操作方法如下∶在弦AB上取一点D，满足AD=2DB，以AD为实轴，为虚轴作双曲线，交圆弧AB于点M，则∠ACM=2∠MCB，即CM为∠ACB的三等分线，已知双曲线E的方程为，点A，D分别为双曲线E的左，右顶点，点B为其右焦点，点C为双曲线E的右准线上一点，且不在x轴上，线段CB交双曲线E于点P，若扇形CMB的面积为，则的值为___________.五、解答题17．（2021·全国高三专题练习（文））地球围绕太阳公转的轨道是一个椭圆，太阳位于该椭圆的一个焦点，每单位时间地球公转扫过椭圆内区域的面积相同．我国古代劳动人民根据长期的生产经验总结创立了二十四节气，将一年（地球围绕太阳公转一周）划分为24个节气，规则是：任意2个相邻节气地球与太阳的连线成．地球在小寒前约三四天到达近日点，在小暑前约三四天到达远日点．（1）从冬至到小寒与从夏至到小暑，哪一段时间更长?并说明理由．（2）以立春为始，排在偶数位的12个节气又称为中气，农历规定没有中气的那个月为闰月．经统计，1931年至2050年间，闰月最多的3个月份是：闰4月7次，闰5月9次，闰6月8次；闰月最少的3个月份是：闰11月1次，闰12月0次，闰1月0次．为什么会出现这种现象?请说明理由．18．（2021·黎川县第一中学高一期末（文））数学家欧拉在1765年提出：三角形的重心､外心､垂心位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，若的顶点，，且的欧拉线的方程为．（注：如果三个顶点坐标分别为，则重心的坐标是.）（1）求外心(外接圆圆心)的坐标；（2）求顶点的坐标．19．（2021·全国高二课时练习）规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球是指该球的球心点．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：

（1）如图1，设母球的位置为，目标球的位置为，要使目标球向处运动，求母球的球心运动的直线方程；（2）如图2，若母球的位置为，目标球的位置为，让母球击打目标球后，能否使目标球向处运动？20．（2021·临川一中实验学校（文））有一种画椭圆的工具如图1所示.定点是滑槽的中点，短杆绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，且，.当栓子在滑槽内作往复运动时，带动绕转动一周(不动时，也不动)，处的笔尖画出的曲线记为.以为原点，所在的直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系.（1）求曲线的方程；（2）在平面直角坐标系中，过点的动直线与曲线交于､两点，是否存在异于点的定点，使得平分？若存在，求点坐标；若不存在，说明理由.21．（2021·安徽黄山·高三（理））在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上且满足，当且时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.现有双曲线，分别为双曲线的左､右焦点，A，B为双曲线虛轴的上､下端点，动点P满足，面积的最大值为4.点M，N在双曲线上，且关于原点O对称，Q是双曲线上一点，直线和的斜率满足，（1）求双曲线方程；（2）过的直线与双曲线右支交于C，D两点(其中C点在第一象限)，设点､分别为､的内心，求的范围.22．（2021·四川绵阳·广安中学（理））古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点，距离之比为常数且的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体中，，点在棱上，，动点满足．（1）若点在平面内运动，求点所形成的阿氏圆的半径；（2）若点在长方体内部运动，为棱的中点，为的中点，求三棱锥的体积的最小值．第08讲解析几何一、单选题1．（2021·山西高三月考（文））古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用周长为72的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD的四边相切.设椭圆τ在平面直角坐标系中的方程为，下列选项中满足题意的方程为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由方程的要求，排除两个选项，再由矩形的周长确定正确选项．【详解】由题意椭圆方程是方程为，排除BD，矩形的四边与椭圆相切，则矩形的周长为，．在椭圆中，，,不满足题意，在椭圆中，,满足题意．故选：C．2．（2021·广东高三月考）著名的天文学家、数学家约翰尼斯·开普勒（JohannesKepler）发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳处在椭圆的一个焦点上.记地球绕太阳运动的轨道为椭圆C，在地球绕太阳运动的过程中，若地球与太阳的最远距离与最近距离之比为，则C的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】设椭圆C的焦距为2c，长轴长为2a，根据题意可得地球与太阳的最远距离为，最近距离为，再由地球与太阳的最远距离与最近距离之比为，列出方程，即可得出答案.【详解】解：设椭圆C的焦距为2c，长轴长为2a，根据题意可得地球与太阳的最远距离为，最近距离为，则，解得，即C的离心率为.故选：C.3．（2020·江苏省涟水中学高二期中）阿基米德（公元前年-公元前年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的方程为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用已知条件列出方程组，求出a，b，即可得到椭圆方程．【详解】由题意可得：，解得，因为椭圆的焦点坐标在y轴上，所以椭圆方程为：．故选：A．4．（2021·辽宁鞍山·高二期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短路程为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题首先可结合题意绘出图像，然后求出点关于直线方程的对称点，最后通过的长度减去圆的半径即可求出结果.【详解】如图，结合题意绘出图像，作点关于直线方程的对称点，则有，设，则，中点坐标为，因为与关于直线方程对称，所以，解得，，，结合图像易知，“将军饮马”的最短路程即的长度减去圆的半径，故最短路程为，故选：B.5．（2021·全国高二课时练习）曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小.已知椭圆：（）上点处的曲率半径公式为．若椭圆上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据曲率半径的定义可判断何时曲率半径最大，合适曲率半径最小，再由题设可得基本量的关系，从而可求离心率.【详解】因为曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小，故椭圆在处曲率半径最小，则，而椭圆在处曲率半径最大，则，因为，所以，所以，．故选：C.6．（2022·全国高三专题练习（理））阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两个定点距离的比为常数的点的轨还是圆，后人把这个国称为阿波罗尼斯圆，已知定点、，动点满足，则动点的轨迹为一个阿波罗尼斯圆，记此圆为圆，已知点在圆上（点在第一象限），交圆于点，连接并延长交圆于点，连接，当时，直线的斜率为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设点，根据求出点的轨迹方程，过圆心作于点，求出、，可求出的值，利用同角三角函数的基本关系可求得直线的斜率.【详解】如图所示，设动点，则，化简可得，化为标准方程可得圆．因为，，则为等边三角形，过圆心作于点，则，，所以，所以，

故选：A．7．（2022·全国）第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别设内外层椭圆方程为、，进而设切线、分别为、，联立方程组整理并结合求、关于a、b、m的关系式，再结合已知得到a、b的齐次方程求离心率即可.【详解】若内层椭圆方程为，由离心率相同，可设外层椭圆方程为，∴，设切线为，切线为，∴，整理得，由知：，整理得，同理，，可得，∴，即，故.故选：B.【点睛】关键点点睛：根据内外椭圆的离心率相同设椭圆方程，并写出切线方程，联立方程结合及已知条件，得到椭圆参数的齐次方程求离心率.8．（2022·全国高三专题练习（文））阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆、点和点，M为圆O上的动点，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，则，由阿氏圆的定义可知：，由数形结合可知的最大值.【详解】设，令，则，由题知圆是关于点A、C的阿波罗尼斯圆，且，设点，则，整理得：，比较两方程可得：，，，即，，点，当点M位于图中的位置时，的值最大，最大为.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线和圆的位置关系，圆上动点问题，解题的关键是通过数形结合知两线段距离差的最值是在两端点为起点的的射线上，属于一般题.二、多选题9．（2020·江苏省通州高级中学高二学业考试）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2＋y2＝1＋|xy|就是其中之一.给出下列四个结论，其中正确的选项是（）A．曲线C关于坐标原点对称B．曲线C上任意一点到原点的距离的最小值为1C．曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)D．曲线C所围成的区域的面积等于4【答案】AB【分析】选项A，用代替验证；选项B，根据题中条件，得出的范围，即可判断B；选项C，由，要使得x，y均为整数，则x，y只能为0，1，再列举来判断C；选项D，根据题意，可分析，时的情况，确定第一象限部分图象应在，与坐标轴围成的正方形外部，对应的面积一定大于，根据对称性，即可判定D.【详解】将代入，整理得，所以关于原点对称，故A正确；因为，当点为时取等号，即曲线上任意一点到原点的距离的最小值为，故B正确；，要使得x，y均为整数，则x，y只能为0，1，则可得整点有8个分别为，，，故C错误；令，可得，令，因为，所以函数有两个零点，又因为，，所以两个零点一个小于0，一个大于1，即曲线上当时，同理当时，即第一象限部分图象应在，与坐标轴围成的正方形外部，所以第一象限内的面积应大于；由图象的对称性可得，曲线所围成的区域的面积应大于4，故D错误.故选：AB10．（2021·广东实验中学高二期中）双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理.椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线.伯努利将这种曲线称为lemniscate，为拉丁文中“悬挂的丝带”之意.双纽线在数学曲线领域的地位占有至关重要的地位.双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多设计者设计作品的主要几何元素.曲线是双纽线，则下列结论正确的是（）A．曲线经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）B．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过2C．曲线关于直线对称的曲线方程为D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为【答案】BCD【分析】A，曲线C经过整点（2，0），（﹣2，0），（0，0）；B，根据曲线C：（x2+y2）2＝4（x2﹣y2），可知22≥x2+y2，即可判定；C，曲线方程中x，y互换可得曲线C关于直线y＝x对称的曲线方程；D，利用x2≥y2，比较直线y＝kx的斜率即可判定；【详解】解：对于A，令，解得：或或，当时，无解.所以曲线C经过整点（2，0），（﹣2，0），（0，0），故A错；对于B，根据曲线C：（x2+y2）2＝4（x2﹣y2），可知22≥x2+y2，所以双曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2，故B正确；对于C，曲线方程中x，y互换可得曲线C关于直线y＝x对称的曲线方程为（x2+y2）2＝4（y2﹣x2），故C正确；对于D，据据曲线C：（x2+y2）2＝4（x2﹣y2），可知x2≥y2，可得若直线y＝kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），故D正确；故选：BCD．11．（2021·广东汕头·高三）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上两个动点.直线的方程为.下列说法正确的是（）A．的蒙日圆的方程为B．对直线上任意点，C．记点到直线的距离为，则的最小值为D．若矩形的四条边均与相切，则矩形面积的最大值为【答案】AD【分析】由在蒙日圆上可得蒙日圆的方程，结合离心率可得关系，由此可知A正确；由过且在蒙日圆上，可知当恰为切点时，，知B错误；根据椭圆定义可将转化为，可知时，取得最小值，由点到直线距离公式可求得最小值，代入可得的最小值，知C错误；由题意知蒙日圆为矩形的外接圆，由矩形外接圆特点可知矩形长宽与圆的半径之间的关系，利用基本不等式可求得矩形面积最大值，知D正确.【详解】对于A，过可作椭圆的两条互相垂直的切线：，，在蒙日圆上，蒙日圆方程为：；由得：，的蒙日圆方程为：，A正确；对于B，由方程知：过，又满足蒙日圆方程，在圆上，过，当恰为过作椭圆两条互相垂直切线的切点时，，B错误；对于C，在椭圆上，，；当时，取得最小值，最小值为到直线的距离，又到直线的距离，，C错误；对于D，当矩形的四条边均与相切时，蒙日圆为矩形的外接圆，矩形的对角线为蒙日圆的直径，设矩形的长和宽分别为，则，矩形的面积（当且仅当时取等号），即矩形面积的最大值为，D正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥曲线中的新定义问题的求解，解题关键是能够根据蒙日圆的定义，结合点在蒙日圆上，得到蒙日圆的标准方程，从而结合圆的方程来判断各个选项.12．（2021·广东汕头·金山中学）黄金分割是一种数学上的比例，是自然的数美．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．应用时一般取0.618．北京新机场，自然也留下了黄金数的足迹．人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处．艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美．设离心率为黄金比的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若分别是实半轴、虚半轴、半焦距的长，则对黄金双曲线，有（）A．当焦点在轴时，其标准方程为：B．若双曲线的弦的中点为，则C．双曲线中成等比数列D．双曲线的右顶点，点和左焦点构成是直角三角形．【答案】ACD【分析】利用双曲线的性质，逐个分析判断即可【详解】解：对于A，若双曲线为黄金双曲线，则离心率为，因为，所以，所以黄金双曲线的方程为，所以A正确；对于B，由A可知黄金双曲线的方程为，设，线段的中点，则，，两式相减得，所以，所以，所以，所以，所以，所以B错误；对于C，由以上可知，，所以，所以双曲线中成等比数列，所以C正确；对于D，因为，所以，所以，所以D正确，故选：ACD三、填空题13．（2021·江苏南京·高三开学考试）如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于某焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，，两点关于抛物线的对称轴对称，是抛物线的焦点，是馈源的方向角，记为，焦点到顶点的距离与口径的比值称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等.如果某抛物面天线的焦径比等于，那么馈源方向角的正切值为_______.【答案】【分析】设抛物线方程为，由已知得，根据直线的斜率公式求得，再由正切的二倍角公式可求得答案.【详解】设抛物线方程为，则，又，所以，所以，直线的斜率，所以，所以.故答案为：.14．（2021·全国高二专题练习）舒腾尺是荷兰数学家舒腾(1615-1660)设计的一种作图工具，如图，是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处的铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动.当点在滑槽内作往复移动时，带动点绕转动，点也随之而运动.记点的运动轨迹为，点的运动轨迹为.若，，过上的点向作切线，则切线长的最大值为___________.【答案】【分析】以滑槽所在的直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，分别求出曲线和的方程，进而可求得结果.【详解】以滑槽所在的直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示.因为，所以点的运动轨迹是以为圆心，半径为1的圆，其方程为.设点的坐标为，由于，易得，由可得，设，则，解得，所以点的运动轨迹是椭圆，其方程为.设上的点，则，则切线长为，即切线长的最大值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：通过建立直角坐标系分别求出曲线和的方程，将实际问题转化为数学问题.15．（2021·全国高三（理））数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为的小圆在一个半径为的大圆内部，沿着圆的圆周滚动，小圆圆周上的任一点形成的轨迹即为星形线．如图，已知星形线的方程为，周长为，有如下结论：①曲线的周长大于星形线的周长；②曲线上任意两点距离的最大值为；③曲线与圆有且仅有个公共点；④从曲线上任一点作，轴的垂线，垂线与，轴所围成图形的面积最大值为．其中所有正确结论的序号是________．【答案】②③【分析】对于①，由于的周长为，从而可进行判断；对于②，由图可知左右两端点或上下两端点的距离最远；对于③，由于曲线上一点到原点的最短距离为，结合图形可得结论；对于④，利用基本不等式求解即可【详解】解：曲线的周长为，所以①错误；曲线上左右两端点，或上下两端点，的距离最远，等于，②正确；曲线上一点到原点的最短距离为，此类点共有个，故曲线与圆有且仅有个公共点，③正确；不妨设点为第一象限上的点则，，④错误．故答案为：②③【点睛】关键点点睛：此题考查新文化试题，考查曲线与方程的应用，解题的关键是利用星形线的方程为和其性质求解即可，考查计算能力，属于中档题16．（2021·江苏南京师大附中）三等分角是古希腊三大几何难题之一，公元3世纪末，古希腊数学家帕普斯利用双曲线解决了三等分角问题，如图，已知圆心角ACB是待三等分的角(0<∠ACB<π)，具体操作方法如下∶在弦AB上取一点D，满足AD=2DB，以AD为实轴，为虚轴作双曲线，交圆弧AB于点M，则∠ACM=2∠MCB，即CM为∠ACB的三等分线，已知双曲线E的方程为，点A，D分别为双曲线E的左，右顶点，点B为其右焦点，点C为双曲线E的右准线上一点，且不在x轴上，线段CB交双曲线E于点P，若扇形CMB的面积为，则的值为___________.【答案】【分析】由可得，右准线方程为，然后设，，然后可得，，然后可求出，然后联立直线的方程和双曲线的方程求出点的纵坐标即可.【详解】由可得，右准线方程为设，，则圆C∶，由题意可得，又有，即可得，则BC：，联立，可得所以故答案为：四、解答题17．（2021·全国高三专题练习（文））地球围绕太阳公转的轨道是一个椭圆，太阳位于该椭圆的一个焦点，每单位时间地球公转扫过椭圆内区域的面积相同．我国古代劳动人民根据长期的生产经验总结创立了二十四节气，将一年（地球围绕太阳公转一周）划分为24个节气，规则是：任意2个相邻节气地球与太阳的连线成．地球在小寒前约三四天到达近日点，在小暑前约三四天到达远日点．（1）从冬至到小寒与从夏至到小暑，哪一段时间更长?并说明理由．（2）以立春为始，排在偶数位的12个节气又称为中气，农历规定没有中气的那个月为闰月．经统计，1931年至2050年间，闰月最多的3个月份是：闰4月7次，闰5月9次，闰6月8次；闰月最少的3个月份是：闰11月1次，闰12月0次，闰1月0次．为什么会出现这种现象?请说明理由．【答案】（1）从夏至到小暑的时间长，理由见解析；（2）答案见解析.【分析】（1）小寒（最接近近日点），夏至，小暑（最接近远日点）四个节气时地球所在的位置，每单位时间地球公转扫过椭圆内区域的面积相同，则在远日点转过相同的角度面积较大，得出答案.

（2）由（1）知，远日点附近两个相邻节气之间的时间间隔长于近日点附近两个相邻节气之间的时间间隔，从而得出近日点和远日点附近农历一个月内含中气的概率的大小,得出答案.【详解】（1）如图所示，太阳处于地球公转椭圆轨道的一个焦点F，A，B，C，D分别为冬至，小寒（最接近近日点），夏至，小暑（最接近远日点）四个节气时地球所在的位置，则，因此椭圆轨道内椭圆扇形的面积大于椭圆扇形的面积，根据“每单位时间地球公转扫过椭圆内区域的面积相同”可知从夏至到小暑的时间长于从冬至到小寒的时间．（2）农历从朔日到下一个朔日前一日为一个月，大约是月亮围绕太阳地球转一周的时间（约29天半）．由（1）知，远日点附近两个相邻节气之间的时间间隔长于近日点附近两个相邻节气之间的时间间隔，所以远日点附近农历一个月内不含中气的概率较高，出现闰月较多；而近日点附近农历一个月内不含中气的概率较低，出现闰月较少．18．（2021·黎川县第一中学高一期末（文））数学家欧拉在1765年提出：三角形的重心､外心､垂心位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，若的顶点，，且的欧拉线的方程为．（注：如果三个顶点坐标分别为，则重心的坐标是.）（1）求外心(外接圆圆心)的坐标；（2）求顶点的坐标．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先由已知条件求出边上的中垂线方程，因为外心中三边中垂线的交点，外心又在欧拉线上，所以由可求得外心坐标；（2）设，则的重心坐标为，因为重心在欧拉线上，所以将重心坐标代入欧拉线方程化简可得，由可得，然后解方程组可求出顶点的坐标【详解】（1）三角形外心是三边中垂线的交点，由已知条件知顶点，则中点坐标为所以边上的中垂线方程为，化简得.又因为三角形的外心在欧拉线上，联立，解得所以外心的坐标为（2）设，则的重心坐标为，由题意可知重心在欧拉线上，故满足，化简得由（1）得外心的坐标为，则，即，整理得联立，解得或，当时，点与点重合，故舍去，所以顶点的坐标为.19．（2021·全国高二课时练习）规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球是指该球的球心点．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：

（1）如图1，设母球的位置为，目标球的位置为，要使目标球向处运动，求母球的球心运动的直线方程；（2）如图2，若母球的位置为，目标球的位置为，让母球击打目标球后，能否使目标球向处运动？【答案】（1）；（2）不能使目标球向处运动．【分析】（1）利用，两球碰撞时，球的球心在两点连线上，且球A与球B外切，列出方程组，即可求得两球碰撞时，球的坐标，即得解；（2）由（1）知球需运动到处，且到达处前不与目标球接触，，过点作于点，分析可得，即得解.【详解】（1）点，所在的直线方程为，如图，可知，两球碰撞时，球的球心在直线上，且在第一象限，设，两球碰撞时，球的球心坐标为，此时，则，解得，，即，两球碰撞时，球的球心坐标，所以母球的球心