第8章 第6节　双曲线-2022届高三数学一轮复习讲义（新高考）

第六节双曲线一、教材概念·结论·性质重现1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当a<c时，点P的轨迹是双曲线．(2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线．(3)当a>c时，点P不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)实虚轴实轴|A1A2|＝2a；虚轴|B1B2|＝2b；实半轴长a，虚半轴长ba，b，c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)3.常用结论(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为eq\f(2b2,a)，也叫通径．(2)与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同的渐近线的方程可表示为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(4)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)平面内到点F1(0,2)，F2(0，－2)距离之差的绝对值等于4的点的轨迹是双曲线． (×)(2)方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦点在y轴上的双曲线． (×)(3)双曲线方程eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝0，即eq\f(x,m)±eq\f(y,n)＝0.(√)(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq\r(2).(√)2．双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的焦点坐标是()A．(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0) B．(－2,0)，(2,0)C．(0，－eq\r(2))，(0，eq\r(2)) D．(0，－2)，(0,2)B解析：由题可知双曲线的焦点在x轴上，又c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2,0)，(2,0)．3．若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,4)＝1(a>0)的离心率为eq\f(\r(5),2)，则a＝________.4解析：由题意可得，e2＝eq\f(a2＋4,a2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))eq\s\up8(2)，即a2＝16.又a>0，所以a＝4.4．经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为__________．eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1解析：设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，把点A(3，－1)代入，得λ＝8，故所求双曲线方程为eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1.5．已知双曲线x2－eq\f(y2,16)＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．6解析：设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2.又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c－a＝eq\r(17)－1，故|PF2|＝6.考点1双曲线的定义——基础性(1)(2020·浙江卷)已知点O(0,0)，A(－2,0)，B(2,0)．设点P满足|PA|－|PB|＝2，且P为函数y＝3eq\r(4－x2)图象上的点，则|OP|＝()A．eq\f(\r(22),2)B．eq\f(4\r(10),5)C．eq\r(7)D．eq\r(10)D解析：由双曲线定义可知，点P在以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的右支上．设P(x，y)，则x2－eq\f(y2,3)＝1(x≥1)，将y＝3eq\r(4－x2)代入可得x2＝eq\f(13,4)，所以y2＝3(x2－1)＝eq\f(27,4)，所以|OP|＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(10).故选D．(2)(2020·肥东县综合高中高三三模)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左焦点为F1，点Q(0，eq\r(3)c)(c为半焦距)．P是双曲线C的右支上的动点，且|PF1|＋|PQ|的最小值为6，则双曲线C的方程为______________．x2－eq\f(y2,3)＝1解析：设双曲线右焦点为F2，则|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＋|PQ|＝2a＋|PF2|＋|PQ|，而|PF2|＋|PQ|的最小值为|QF2|＝eq\r(c2＋\r(3)c2)＝2c，所以|PF1|＋|PQ|最小值为2a＋2c＝6.又eq\f(c,a)＝2，解得a＝1，c＝2，于是b2＝3，故双曲线C的方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.利用双曲线的定义求方程要注意的问题(1)距离之差的绝对值．(2)2a＜|F1F2|.(3)焦点所在坐标轴的位置．1．(2020·咸阳市高三三模)设F1，F2是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上一点．若∠F1PF2＝90°，c＝2，Seq\s\do4(△PF2F1)＝3，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±2x B．y＝±eq\r(2)xC．y＝±eq\f(\r(3),3)x D．y＝±eq\r(3)xD解析：由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|2＋|PF2|2＝16，,\f(1,2)|PF1||PF2|＝3，))所以(|PF1|－|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4，|PF1|－|PF2|＝2＝2a，得a＝1，b＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，所以渐近线方程为y＝±eq\r(3)x.2．(2020·深圳市高三二模)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点分别为F1(－5,0)，F2(5，0)，P为双曲线C上一点，PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝eq\f(3,4)，则双曲线C的方程为()A．x2－eq\f(y2,24)＝1 B．eq\f(x2,24)－y2＝1C．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 D．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1A解析：如图，因为PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝eq\f(3,4)，|F1F2|＝10，所以|PF1|＝8，|PF2|＝6.根据双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a＝2，即a＝1，所以b2＝c2－a2＝25－1＝24，所以双曲线C的方程为x2－eq\f(y2,24)＝1.考点2双曲线的方程——综合性(1)已知方程eq\f(x2,m2＋n)－eq\f(y2,3m2－n)＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A．(－1,3)B．(－1，eq\r(3))C．(0,3)D．(0，eq\r(3))A解析：因为双曲线的焦距为4，所以c＝2，即m2＋n＋3m2－n＝4，解得m2＝1.又由所给方程表示双曲线得(1＋n)(3－n)>0，解得－1<n<3.(2)(2020·天津卷)设双曲线C的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为()A．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1 B．x2－eq\f(y2,4)＝1C．eq\f(x2,4)－y2＝1 D．x2－y2＝1D解析：由题意知双曲线的两条渐近线互相垂直，所以双曲线C为等轴双曲线，渐近线的斜率分别为1和－1.因为直线l与一条渐近线平行，抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，所以eq\f(b－0,0－1)＝－1，即b＝1.所以双曲线C的方程为x2－y2＝1.故选D．求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值；与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．1．已知双曲线C：eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1，则双曲线C的焦点坐标为()A．(±5,0)B．(±eq\r(7)，0)C．(0，±5)D．(0，±eq\r(7))C解析：双曲线的焦点坐标在y轴上，又a2＝16，b2＝9，则c2＝a2＋b2＝25，即c＝5，故双曲线的焦点坐标为(0，±5)．2．与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程为____________．eq\f(y2,2)－eq\f(x2,4)＝1解析：设与双曲线eq\f(x2,2)－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为eq\f(x2,2)－y2＝k.将点(2，－2)代入得k＝eq\f(22,2)－(－2)2＝－2，所以双曲线的标准方程为eq\f(y2,2)－eq\f(x2,4)＝1.3．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)解析：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B．根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)．考点3双曲线的几何性质——综合性考向1双曲线的渐近线双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\r(3)，则其渐近线方程为()A．y＝±eq\r(2)xB．y＝±eq\r(3)xC．y＝±eq\f(\r(2),2)xD．y＝±eq\f(\r(3),2)xA解析：(方法一)由题意知，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)，所以c＝eq\r(3)a，所以b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(2)a，即eq\f(b,a)＝eq\r(2)，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(2)x.(方法二)由e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up8(2))＝eq\r(3)，得eq\f(b,a)＝eq\r(2)，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(2)x.求双曲线的渐近线的方法已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的方程，求渐近线的方程时，可令eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，得y＝±eq\f(b,a)x；或令eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝0，得y＝±eq\f(a,b)x.反之，已知渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，可设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．考向2求双曲线的离心率(1)(2020·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,5)＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝eq\f(\r(5),2)x，则该双曲线的离心率是________．eq\f(3,2)解析：因为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,5)＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(5),a)x，所以eq\f(\r(5),a)＝eq\f(\r(5),2)，所以a＝2，则离心率e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋\f(5,4))＝eq\f(3,2).(2)(2020·浏阳一模)已知双曲线C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋eq\f(3,4)a2＝0.若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，＋∞))C．(1,2)D．(2，＋∞)A解析：由双曲线方程可得其渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，即bx±ay＝0，圆C2：x2＋y2－2ax＋eq\f(3,4)a2＝0可化为(x－a)2＋y2＝eq\f(1,4)a2，圆心C2的坐标为(a,0)，半径r＝eq\f(1,2)a.由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得eq\f(|ab|,\r(a2＋b2))<eq\f(1,2)a，即c>2b，即c2>4b2.又知b2＝c2－a2，所以c2>4(c2－a2)，即c2<eq\f(4,3)a2，所以e＝eq\f(c,a)<eq\f(2\r(3),3).又知e>1，所以双曲线C1的离心率的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3))).求双曲线离心率或其取值范围的方法(1)求a，b，c的值，由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．考向3与双曲线有关的最值和范围问题已知M(x0，y0)是双曲线C：eq\f(x2,2)－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))<0，则y0的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),6)，\f(\r(3),6)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)，\f(2\r(2),3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))A解析：因为F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)，eq\f(x\o\al(2,0),2)－yeq\o\al(2,0)＝1，所以eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)－x0，－y0)·(eq\r(3)－x0，－y0)＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－3<0，即3yeq\o\al(2,0)－1<0，解得－eq\f(\r(3),3)<y0<eq\f(\r(3),3).与双曲线有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换求解．(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决．1．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，则双曲线C的离心率为()A．eq\f(4,3)B．eq\f(5,4)C．eq\f(16,9)D．eq\f(25,16)B解析：由题意知，双曲线C的渐近线方程为by±ax＝0，结合图形(图略)易知与圆相切的只可能是by－ax＝0.又圆心坐标为(2,1)，则eq\f(|b－2a|,\r(a2＋b2))＝1，得3a＝4b，所以9a2＝16b2＝16(c2－a2)，则e2＝eq\f(25,16).又e>1，故e＝eq\f(5,4).2．已知焦点在x轴上的双曲线eq\f(x2,8－m)＋eq\f(y2,4－m)＝1，求它的焦点到渐近线的距离的取值范围．解：对于焦点在x轴上的双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，它的一个焦点(c,0)到渐近线bx－ay＝0的距离为eq\f(|bc|,\r(b2＋a2))＝b.双曲线eq\f(x2,8－m)＋eq\f(y2,4－m)＝1，即eq\f(x2,8－m)－eq\f(y2,m－4)＝1，其焦点在x轴上，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－m>0，,m－4>0，))解得4<m<8，则焦点到渐近线的距离d＝eq\r(m－4)∈(0,2)．已知A，F，P分别为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左顶点、右焦点以及右支上的动点．若∠PFA＝2∠PAF恒成立，则双曲线的离心率为()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．2D．1＋eq\r(3)[四字程序]读想算思A，F分别是双曲线的左顶点和右焦点，P是双曲线上的动点1.双曲线的离心率的表达式是什么？2.如何把几何条件∠PFA＝2∠PAF转化为代数式子？设∠PAF＝α，建立∠PAF和∠PFA之间的联系数形结合∠PFA＝2∠PAF，求双曲线的离心率1.e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))；2.转化为直线的倾斜角，进而用直线的斜率表示二者之间的关系tan∠PFA＝tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)利用特殊值法或者代数运算，都要结合图形解决问题思路参考：特殊值法，不妨设∠PFA＝90°求解．C解析：因为∠PFA＝2∠PAF恒成立，不妨令∠PFA＝90°，则∠PAF＝45°.在双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1中，令x＝c，易得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，±\f(b2,a))).因为tan∠PAF＝1，所以eq\f(b2,a)＝a＋c，所以c2－ac－2a2＝0，所以(c＋a)(c－2a)＝0，解得c＝2a，即e＝2.思路参考：利用诱导公式表示出直线PA，PF之间斜率的关系求解．C解析：设∠PAF＝α，∠PFA＝2α，kPA＝k1，kPF＝k2，k2＝tan(π－2α)＝eq\f(－2tanα,1－tan2α)＝eq\f(－2k1,1－k\o\al(2,1)).设点P(x0，y0)，故eq\f(x\o\al(2,0),a2)－eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1.①因为k2＝eq\f(y0,x0－c)，k1＝eq\f(y0,x0＋a)，所以eq\f(y0,x0－c)＝eq\f(－2y0x0＋a,x0＋a2－y\o\al(2,0)).②联立①②消去y0得：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(c2,a2)))xeq\o\al(2,0)＋(4a－2c)x0＋c2－2ac＝0，(*)当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－\f(c2,a2)＝0，,4a－2c＝0，,c2－2ac＝0))时，(*)式恒成立，此时e＝eq\f(c,a)＝2.思路参考：造构相似三角形，结合平面几何知识求解．C解析：如图1，∠ACB＝2∠ABC，由平面几何知识，△ACD∽△BAD，故eq\f(b,c)＝eq\f(c,a＋b)，所以c2－b2＝ab，反之亦然．图1图2在双曲线中，设点P(x0，y0)，过点P作PM⊥AF，如图2.因为∠PFA＝2∠PAF，同理可得|PA|2－|PF|2＝|AF|·|PF|，又|PA|2－|PF|2＝(|AM|2＋|MP|2)－(|MF|2＋|MP|2)＝(|AM|＋|MF|)(|AM|－|MF|)＝|AF|·(2x0＋a－c)，所以|PF