人教版九年级数学上册重难考点01配方法、根的判别式应用通关专练特训(原卷版+解析)

微专题01配方法、根的判别式应用专练一、单选题1．（2023·山东临沂·统考一模）已知P=x2−x，Q=x−2为任意实数，则P−QA．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定2．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）已知A=x2+6x+n2A．B−A的最大值是0 B．B−A的最小值是−1C．当B=2A时，x为正数 D．当B=2A时，x为负数3．（2023春·广东广州·九年级校考阶段练习）若一元二次方程ax2+bx+1=0有两个相同的实数根，则aA．5 B．1 C．−9 D．−14．（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知关于x的多项式−x2+mx+6A．2 B．4 C．3 D．55．（2022·山东临沂·九年级校考阶段练习）若p=a2+b2A．2021 B．2015 C．2016 D．没有最小值6．（2023春·八年级课时练习）已知M=t−2，N=t2−t（t为任意实数），那么M、NA．M>N B．M<N C．M=N D．不能确定7．（2022春·辽宁阜新·八年级统考期中）已知等腰△ABC中的三边长a，b，c满足2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，则△ABC的周长是（）A．6 B．9 C．6或9 D．无法确定8．（2023年河南省驻马店市中考二模数学试题）若关于x的一元二次方程x2−3x+2−m=0有两个相等的实数根，则m的值是（A．−12 B．14 C．19．（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令y=4bA．y>1 B．y≥1 C．y≤1 D．y<110．（2023·河南周口·统考一模）若k<0，则关于x的一元二次方程x2A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根11．（2023·河南信阳·统考一模）定义新运算：a◎b=ab−b2，例如1◎2=1×2−22=2−4=−2A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．只有一个实数根12．（2023·四川德阳·统考一模）若关于x的方程k−2x2−2kx+k=6有实数根，则kA．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k≥32 D．k≥13．（2022秋·四川眉山·九年级校考期末）若关于x的一元二次方程(12k+1)A．k<14且k≠−2 B．k<1414．（2023春·河南商丘·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，若一次函数y=kx−2（k是常数，且k≠0）的图象不经过第一象限，则关于x的方程x2−2x+k=0的根的情况是（A．存一个实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根15．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0a≠0时，只抄对了a=1，发现ax2+bx+c可以分解为x−2x+3，他核对时发现所抄的b比原方程的A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根C．有一个根是x=−3 D．有两个相等的实数根二、填空题16．（2023·北京房山·统考一模）关于x的一元二次方程ax2+4x+c=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，c的值：a=17．（2023·辽宁盘锦·统考一模）已知函数y=(k−3)x2+2x+0.5的图象与x18．（2023·山东淄博·统考一模）已知关于x的一元二次方程3a−1x2−ax+19．（2023·广东珠海·校考一模）若关于x的方程kx2+2x−1=020．（2023·河北唐山·统考一模）嘉琪准备完成题目：解一元二次方程x2−6x+□=0．若“□”表示一个字母，且一元二次方程x221．（2023·浙江台州·统考一模）已知点A(a,b)在一次函数y=2x−1图象上，则a222．（2023春·福建福州·九年级福建省罗源第一中学校考期中）已知实数m、n满足m−n2=823．（2023春·安徽合肥·八年级校考阶段练习）已知代数式3x2（1）无论x为何值，代数式的值较大的代数式是___________．（2）若这两个代数式的和为5，则x的值为___________．24．（2023春·八年级课时练习）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，则其面积S=pp−ap−b25．（2022·湖北荆州·九年级专题练习）用配方法解方程12x2+x−5三、解答题26．（2023春·浙江·八年级期中）已知关于x的方程a2(1)证明：当a取任何实数时，方程都是一元二次方程；(2)当a=1时，解这个方程．27．（2022秋·甘肃武威·九年级校联考阶段练习）“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：x2+4x+5=x2+4x+4+1=x+22(1)求代数式x2(2)已知x2−4x+y(3)比较代数式x2−1与28．（2022秋·山东枣庄·九年级校考阶段练习）“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：x2+4x+5=x2+4x+4+1=(1)填空：因为x2−4x+6=（x___）(2)比较代数式x2−1与29．（2023秋·福建泉州·九年级统考期末）请阅读下列材料：形如m±2n的式子的化简，我们只要找到两个正数a，b，使a+b=m,ab=n，即(a)例如：化简7+43解：首先把7+43化为7+212，这里由于4+3=7,4×3=12，即(4所以7+43请根据材料解答下列问题：(1)填空：5−26(2)化简：21−12330．（2022秋·贵州毕节·九年级校联考期末）已知△ABC的三条边分别是a、b、c．(1)判断a−c2(2)若a、b、c满足a2+c31．（2023·北京延庆·统考一模）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：方程总有两个实数根；(2)如果方程有一个根为正数，求m的取值范围．32．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知关于x的方程x2(1)求证：无论实数m取何值时，方程总有实数根；(2)若方程有一个根的平方等于4，求m的值．33．（2023春·安徽马鞍山·八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：对于任意给定的实数m，方程恒有两个实数根；(2)若方程的两个实数根分别为α，β，且α−3β=5，求m的值．34．（2022春·广西梧州·八年级校考期中）关于x的方程x2(1)有两个不相等的实数根，求m的取值范围；(2)若方程有实数根，而且m为非负整数，求方程的根．35．（2023春·安徽滁州·八年级校考阶段练习）关于x的一元二次方程mx(1)求m的取值范围；(2)当m取最小整数时，求x的值．

微专题01配方法、根的判别式应用专练一、单选题1．（2023·山东临沂·统考一模）已知P=x2−x，Q=x−2为任意实数，则P−QA．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定【答案】A【分析】根据整式的加减化简，然后根据配方法得出P−Q=x−1【详解】解：∵P=x2∴P−Q=∴P−Q的值大于0，故选：A．【点睛】本题考查了整式的加减，配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键．2．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）已知A=x2+6x+n2A．B−A的最大值是0 B．B−A的最小值是−1C．当B=2A时，x为正数 D．当B=2A时，x为负数【答案】B【分析】利用配方法表示出B−A，以及B=2A时，用含n的式子表示出x，确定x的符号，进行判断即可．【详解】解：∵A=x2+6x+∴B−A=2=2==x−1∴当x=1时，B−A有最小值−1；当B=2A时，即：2x∴2x∴−8x=n∴x≤0，即x是非正数；故选项A,C,D错误，选项B正确；故选B．【点睛】本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键．3．（2023春·广东广州·九年级校考阶段练习）若一元二次方程ax2+bx+1=0有两个相同的实数根，则aA．5 B．1 C．−9 D．−1【答案】B【分析】由方程有两个相等的实数根，结合根的判别式，即可得出Δ=b2−4a=0，即b2【详解】解：∵一元二次方程ax∴Δ=∴b2∴a2故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及配方法的应用，由方程有两个相等的实数根得出b24．（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知关于x的多项式−x2+mx+6A．2 B．4 C．3 D．5【答案】A【分析】将多项式配方后解答即可．【详解】解：−x因为关于x的多项式−x所以m2解得：m=±2，所以可能为2．故选：A．【点睛】此题考查配方法的运用，关键是将多项式配方后解答．5．（2022·山东临沂·九年级校考阶段练习）若p=a2+b2A．2021 B．2015 C．2016 D．没有最小值【答案】C【分析】将等式右边分组，配成两个完全平方式，即可根据平方的非负性进行解答．【详解】解：p====a+1∵a+12≥0，∴p的最小值为2016，故选：C．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，解题的关键是将原式分组配方．6．（2023春·八年级课时练习）已知M=t−2，N=t2−t（t为任意实数），那么M、NA．M>N B．M<N C．M=N D．不能确定【答案】B【分析】利用作差法判断M与N大小即可．【详解】解：∵M=t−2，N=t2−t∴M−N=t−2−=t−2−=−=−∵t−1∴−t−1即−t−1则M<N．故选：B．【点睛】本题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，数量掌握完全平方公式是解题的关键．7．（2022春·辽宁阜新·八年级统考期中）已知等腰△ABC中的三边长a，b，c满足2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，则△ABC的周长是（）A．6 B．9 C．6或9 D．无法确定【答案】B【分析】根据配方法可求出a与b的值，然后根据等腰三角形的性质即可求出答案．【详解】解∵2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0∴2（a﹣1）2+（b﹣4）2＝0∴a﹣1＝0，b﹣4＝0解得a＝1，b＝4∵3＜c＜5∵△ABC是等腰三角形∴c＝4故△ABC的周长为：1+4+4＝9故选：B．【点睛】本题考查配方法，解题的关键是熟练运用配方法以及等腰三角形的性质，本题属于中等题型．8．（2023年河南省驻马店市中考二模数学试题）若关于x的一元二次方程x2−3x+2−m=0有两个相等的实数根，则m的值是（A．−12 B．14 C．1【答案】D【分析】先计算根的判别式Δ=b2-4ac的值．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0，由此建立关于m的方程解答即可．【详解】解：∵关于x的方程x2∴−32解得：m=−1故选：D．【点睛】此题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）当△>0则方程有两个不相等的实数根；（2）当△=0则方程有两个相等的实数根；（3）当9．（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令y=4bA．y>1 B．y≥1 C．y≤1 D．y<1【答案】A【分析】先根据一元二次方程根的判别式得到m<1，再根据一元二次方程解的定义求出4b2−8b=−4m【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2∴Δ=∴m<1，∵此方程的一个实数根为b，∴b2∴b2∴4b∴y=4b∵m<1，即−m>−1∴y=−m+2>1，故选A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程解的定义，对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，若Δ=10．（2023·河南周口·统考一模）若k<0，则关于x的一元二次方程x2A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根【答案】A【分析】先计算根的判别式的值可得Δ=5−4k，再利用k<0即可判断Δ【详解】解：∵Δ而k<0，∴5−4k>0，即Δ>0∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的性质，一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与Δ=b211．（2023·河南信阳·统考一模）定义新运算：a◎b=ab−b2，例如1◎2=1×2−22=2−4=−2A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．只有一个实数根【答案】C【分析】先根据定义得到关于x的一元二次方程，然后计算一元二次方程的判别式即可得解．【详解】方程2◎x=5化为2x−x一元二次方程化为一般式为x2∵Δ∴方程没有实数根．故选：C．【点睛】本题考查新定义下的方程应用，熟练掌握所给定义的应用、一元二次方程根的判别式的计算及应用是解题关键．12．（2023·四川德阳·统考一模）若关于x的方程k−2x2−2kx+k=6有实数根，则kA．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k≥32 D．k≥【答案】D【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k【详解】解：(k−2)x∵关于x的一元二次方程(k−2)x∴k−2≠0Δ解得：k≥32且故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式Δ≥0，列出关于k13．（2022秋·四川眉山·九年级校考期末）若关于x的一元二次方程(12k+1)A．k<14且k≠−2 B．k<14【答案】A【分析】依据一元二次方程的定义得12k+1≠0，及一元二次方程有两个不相等实数根时【详解】解：依题意得，Δ=−32解得：k<14故选：A.【点睛】本题考查了一元二次方程的定义与根据根的情况求参数，还考查了解不等式；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义及根的情况.14．（2023春·河南商丘·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，若一次函数y=kx−2（k是常数，且k≠0）的图象不经过第一象限，则关于x的方程x2−2x+k=0的根的情况是（A．存一个实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根【答案】C【分析】先根据一次函数的性质得到k<0，再计算判别式的值得到Δ=4−4k>0【详解】解：由题意，可知k<0，对于方程x2Δ=故关于x的方程x2故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与Δ=b215．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0a≠0时，只抄对了a=1，发现ax2+bx+c可以分解为x−2x+3，他核对时发现所抄的b比原方程的A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根C．有一个根是x=−3 D．有两个相等的实数根【答案】B【分析】将抄错的方程展开得x2+x−6=0，则a=1，b=1，c=−6，根据他核对时发现所抄的b比原方程的b值大2，c比原方程的c值小2得b=−1，c=−4，即可得正确的方程为【详解】解：∵x−2x+3∴x2x2则抄错后的方程为x2∴a=1，b=1，c=−6，∵他核对时发现所抄的b比原方程的b值大2，c比原方程的c值小2，∴b=1−2=∴正确的方程为x2∴Δ=∴原方程有两个不相等的实数根，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，解题意的关键是理解题意，写出正确的方程，掌握求根公式．二、填空题16．（2023·北京房山·统考一模）关于x的一元二次方程ax2+4x+c=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，c的值：a=【答案】14【分析】先根据一元二次方程的定义和根的判别式求出a与c的关系，再写出一组符合题意的值即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax∴Δ=∴ac=4，∴符合题意的一组值可以为a=1，故答案为：1，4（答案不唯一，满足ac=4且a≠0即可）．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，若Δ=17．（2023·辽宁盘锦·统考一模）已知函数y=(k−3)x2+2x+0.5的图象与x【答案】k≤5【分析】分类讨论：①当k=3时，原函数为y=2x+0.5，根据一次函数的性质可知此时其图象与x轴有一个交点，符合题意；②当k≠3时，原函数为二次函数，根据二次函数的图象与x轴有交点，即为其相关一元二次方程有实数解，最后结合一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：分类讨论：①当k=3时，y=(3−3)x直线y=2x+0.5与x轴有一个交点，符合题意；②当k≠3时，∵函数y=(k−3)x2+2x+0.5∴方程(k−3)x∴Δ=解得：k≤5．综上可知当k≤5时，函数y=(k−3)x2+2x+0.5故答案为：k≤5．【点睛】本题考查一次函数的图象与x轴的交点问题，二次函数的图象与x轴的交点问题，一元二次方程根的判别式．能分类求出每种情况的k是解此题的关键．18．（2023·山东淄博·统考一模）已知关于x的一元二次方程3a−1x2−ax+【答案】2023【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，则判别式为0，从而可得关于a的等式a2【详解】解：∵关于x的一元二次方程3a−1x∴Δ∴a2则a2−2a=a−1，∴a2故答案为：2023．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，整体代入求代数式的值，关键是把得到的等式进行变形．19．（2023·广东珠海·校考一模）若关于x的方程kx2+2x−1=0【答案】k≥−1【分析】讨论：当k=0时，方程化为一元一次方程，有一个实数解；当k≠0时，根据根的判别式的意义得到△=22−4k×(−1)≥0，解得k≥−1且k≠0【详解】解：当k=0时，方程化为2x−1=0，解得x=1当k≠0时，则△=22−4k×(−1)≥0，解得k≥−1综上所述，k的取值范围为k≥−1．故答案为：k≥−1．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△20．（2023·河北唐山·统考一模）嘉琪准备完成题目：解一元二次方程x2−6x+□=0．若“□”表示一个字母，且一元二次方程x2【答案】9x【分析】设□中为m，根据判别式的意义得到Δ=62【详解】解：设□中为m，则x2由题意得，Δ=解得m≤9，∴□的最大的值为9．此时方程为：x2−6x+9=0，即：∴x故答案为：9；x1【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2−4ac21．（2023·浙江台州·统考一模）已知点A(a,b)在一次函数y=2x−1图象上，则a2【答案】1【分析】将点A(a,b)代入一次函数解析式得出，b=2a−1，代入代数式，根据配方法即可求解．【详解】解：∵点A(a,b)在一次函数y=2x−1图象上，∴b=2a−1∴a2+b+3==故答案为：1．【点睛】本题考查了一次函数的性质，配方法的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．22．（2023春·福建福州·九年级福建省罗源第一中学校考期中）已知实数m、n满足m−n2=8【答案】58【分析】根据题意把原式变形，根据配方法把原式写成含有完全平方的形式，根据m≥8，即可求解．【详解】∵m−n∴n2=m−8，则m====∵m≥8∴当m=8时取得最小值，最小值为8−12故答案为：58．【点睛】本题考查配方法的应用和非负数的性质，解题的关键是掌握配方法的应用和非负数的性质.23．（2023春·安徽合肥·八年级校考阶段练习）已知代数式3x2（1）无论x为何值，代数式的值较大的代数式是___________．（2）若这两个代数式的和为5，则x的值为___________．【答案】3x2−7x+12【分析】（1）两式相减，所得结果用配方法化成完全平方形式，利用平方的非负性求解；（2）两式相加，利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：（1）3=2=2x−2因此无论x为何值，代数式的值较大的代数式是3x故答案为：3x（2）3x整理，得2x因式分解，得2x−1x−12x−1=0或x−1=0，解得x1=1故答案为：12【点睛】本题考查配方法的应用、解一元二次方程等，解题的关键是掌握配方法、因式分解法．24．（2023春·八年级课时练习）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，则其面积S=pp−ap−b【答案】3【分析】根据公式算出a+b的值，代入公式，根据完全平方公式的变形即可求出解．【详解】解：∵p=a+b+c2，p=3，c∴3=a+b+2∴a+b=4，∴a=4−b，∴S=======3∴当b=2时，S有最大值为3．【点睛】本题考查了二次根式与完全平方公式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的三角形的面积．25．（2022·湖北荆州·九年级专题练习）用配方法解方程12x2+x−5【答案】-6【分析】把方程12x2【详解】∵12∴12∴12∵可配方为12∴k=−6.故答案为−6.【点睛】本题考查用配方法来解一元二次方程，熟练配方是解决此题的关键.三、解答题26．（2023春·浙江·八年级期中）已知关于x的方程a2(1)证明：当a取任何实数时，方程都是一元二次方程；(2)当a=1时，解这个方程．【答案】(1)证明见解析(2)当a=1时，原方程无解【分析】（1）无论a取何实数满足一元二次方程的条件是，二次项系数不为0，即a2（2）求出Δ=−7<0【详解】（1）证明：a==a−2∵a−22∴a−22+1≥1，即∴当a取任何实数时，关于x的方程a2（2）解：当a=1，原方程为1−4+5x2+2x+4=0∴Δ=1−2×4×1=−7<0∴此时方程无解．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，配方法的应用，根的判别式，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．27．（2022秋·甘肃武威·九年级校联考阶段练习）“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：x2+4x+5=x2+4x+4+1=x+22(1)求代数式x2(2)已知x2−4x+y(3)比较代数式x2−1与【答案】(1)有最小值2(2)x+y=1(3)x【分析】（1）根据完全平方式的特征求解；（2）先配方，再求最值；（3）作差后配方比较大小．【详解】（1）解：x故当x−2=0，即x=2时，代数式x2（2）∵x2−4x+y∴x−22+y+12=0∴x=2，y=−1，∴x+y=2−1=1；（3）x2∵x−12∴x−12∴x2【点睛】本题考查配方法的应用，正确配方，充分利用平方的非负性是求解本题的关键．28．（2022秋·山东枣庄·九年级校考阶段练习）“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：x2+4x+5=x2+4x+4+1=(1)填空：因为x2−4x+6=（x___）(2)比较代数式x2−1与【答案】(1)−2，2，2，小，2(2)大于【分析】（1）把原式利用平方法化为完全平方算与一个常数的和的形式，利用偶次方的非负性解答；（2）利用求差法和配方法解答即可．【详解】（1）x2所以当x=2时，代数式x2故答案为：−2；2；2；小；2；（2）x==则x【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是解题的关键，注意偶次方的非负性的应用．29．（2023秋·福建泉州·九年级统考期末）请阅读下列材料：形如m±2n的式子的化简，我们只要找到两个正数a，b，使a+b=m,ab=n，即(a)例如：化简7+43解：首先把7+43化为7+212，这里由于4+3=7,4×3=12，即(4所以7+43请根据材料解答下列问题：(1)填空：5−26(2)化简：21−123【答案】(1)3(2)23【分析】（1）根据题意，将5−26（2）21−123【详解】（1）解：5−26故答案为：3−（2）解：由21−123可得21−2108，这里∵9+12=21,9×12=108，即(9∴21−123【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方根式的运用及二次根式性质的运用．30．（2022秋·贵州毕节·九年级校联考期末）已知△ABC的三条边分别是a、b、c．(1)判断a−c2(2)若a、b、c满足a2+c【答案】(1)a−c2(2)△ABC等边三角形【分析】（1）运用因式分解法将a−c2−b（2）运用配方法，将所给等式的左边变形、配方，利用非负数的性质问题即可解决．【详解】（1）解：a−c2∵△ABC的三条边分别是a、b、c，∴a+b−c>0，a−c2（2）解：a2∴a即a−b2又∵a−b2≥0∴a−b=0，∴a=b=c，【点睛】本题主要考查了因式分解、配方法在代数式的化简求值、几何图形形状的判断等方面的应用问题，解题的关键是灵活运用，正确变形，准确判断．31．（2023·北京延庆·统考一模）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：方程总有两个实数根；(2)如果方程有一个根为正数，求m的取值范围．【答案】(1)见解析(2)m<1【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式及完全平方式的非负性，即可证得结论；（2）首先解一元二次方程，再根据根的情况，利用不等式，即可求解．【详解】（1）证明：Δ∵无论m取何值，m−22∴方程总有两个实数根．（2）解：由原方程得：x+1x+m−1解得x1=−1，∵方程有一个根为正数，−1<0，∴1−m>0，∴m<1．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根据根的情况求参数，完全平方式的非负性，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式及解方程的方法是解决本题的关键．32．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知关于x的方程x2(1)求证：无论实数m取何值时，方程总有实数根；(2)若方程有一个根的平方等于4，求m的值．【答案】(1)证明见解析(2)0或