2024-2025学年北京市朝阳区第八十中学高三上学期10月月考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市朝阳区第八十中学高三上学期10月月考数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=−1,0,1，集合B={x∈Z|x2−2x≤0}，那么A∪BA.−1 B.0,1 C.0,1,2 D.−1,0,1,22.在复平面，复数z对应的点坐标为1,−1，则z1+i=(

)A.i B.−i C.1−i D.1+i3.若a>0>b，则(

)A.a3>b3 B.a>b4.已知a=log21.41,b=1.41A.b>a>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b5.设l是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是(

)A.若l//α，l//β，则α//β B.若l//α，l⊥β，则α⊥β

C.若l⊥β，α⊥β，则l//α D.若l//α，α⊥β，则l⊥β6.将函数y=sin2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到的图象恰好关于直线x=π6对称，则φA.π12 B.π6 C.π47.“一尺之锤，日取其半，万世不竭”语出《庄子·天下》，意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完(一尺约等于33.33厘米).若剩余的棍棒长度小于0.33厘米，则需要截取的最少次数为(

)A.5 B.6 C.7 D.88.已知Sn等差数列an的前n项和，则“Sn≥nanA.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.在▵ABC中，∠BAC=90∘，BC=2，点P在BC边上，且AP⋅AB+ACA.12,1 B.22,1 10.已知无穷数列an，a1=1.性质s:∀m，n∈N∗，am+n>am+①若an=3−2n，则an②若an=n2，则③若an具有性质s，则a④若等比数列an既满足性质s又满足性质t，则其公比的取值范围为2,+∞则所有正确结论的个数为(

)A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知角α，β的终边关于原点O对称，则cosα−β=

．12.已知向量a=2,0,b=m,1，且a与b的夹角为π313.等比数列{ an}的前n项和为Sn，能说明“若{an}为递增数列，则∀n∈N∗,Sn<Sn+114.设函数fx=x3−3x,x≤a−x,x>a,①若a=0，则fx的最大值为

；②若15.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E,F分别为棱AD,B①线段A1P长度的最大值为②存在点P，使得DP//EF；③存在点P，使得B1④▵EPF是等腰三角形．

其中，所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ABB1A1⊥底面ABC，AB⊥AC，(1)A1C(2)AC⊥B117.设函数fx=sinωx+(1)求fx(2)若对于任意的x∈π2,π，都有f条件①：函数fx的图象经过点−条件②：fx在区间−条件③：x=π12足f18.已知▵ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a(1−3cosC)=3c(1)求ba(2)若c=2，求B最大时▵ABC的面积．19.已知直线y=kx与函数f(x)=xlnx−(1)求k的值；(2)求函数fx的极大值．20.已知函数fx=a(1)当a<0时，求fx(2)若函数fx存在正零点x(i)求a的取值范围；(ii)记x1为fx的极值点，证明：x21.给定正整数N≥3，已知项数为m且无重复项的数对序列A：x1,y1,x2,y2,⋅⋅⋅,xm,y(1)当N=3，m=3时，写出所有满足x1=1的数对序列(2)当N=6时，证明：m≤13；(3)当N为奇数时，记m的最大值为TN，求TN．参考答案1.D

2.B

3.A

4.B

5.B

6.A

7.C

8.B

9.A

10.C

11.−1

12.313.−1

；

；

；

；

； (答案不唯一)；114.2

；

；

；

；

；；(−∞,−15.①③④

16.(1)在▵ABC中，E，F分别是棱AB，BC的中点，所以EF//AC．又在三棱柱ABC=A1B所以A1又因为A1C1⊄平面B1所以A1C1(2)因为侧面ABB1A1⊥底面ABCAB⊥AC，AC⊂平面ABC，所以AC⊥平面ABB又因为B1E⊂平面ABB

17.(1)因为fx若选①②：由①函数f(x)的图象经过点−π则−πω6+π3=π由②f(x)在区间−5π12,π12又ω>0且T=2πω，即2πω≥π，所以选条件②③：由②f(x)在区间−5π12,π12又ω>0且T=2πω，即2πω由③x=π12是f(x)的一条对称轴，则π12所以ω=2+12k，k∈Z，所以ω=2，所以f(x)=2sin2x+π3，则由π2+2kπ≤2x+π所以f(x)的单调递减区间为π12若选①③：由①函数f(x)的图象经过点−π则−πω6+π3=π由③x=π12是f(x)的一条对称轴，则π12ω+π3=此时ω不存在；(2)由(1)可知f(x)=2sin因为x∈π2,π所以sin2x+π3因为对于任意的x∈π2,π，都有f(x)≤c即c的取值范围为3

18.解：(1)因为a(1−3cosC)=3ccosA，

由正弦定理得sinA(1−3cosC)=3sinCcosA，

得sinA=3sinAcosC+3cosAsinC=3sin(A+C)=3sinB，

由正弦定理得a=3b，所以ba=13．

(2)由余弦定理得cosB=19.解：(1)由已知，设切点为

(x0又f′(x)=lnx−2x+2，故切线的斜率为

k=ln即切线方程为

y−(x代入

(0,0)，即

x02−x0=0，解得

x(2)由(1)f′(x)=lnx−2x+2，易知f(1)=0，

设

g(x)=lnx−2x+2，则

g′(x)=1令

g′(x)=0，得

x=12.

当

x∈(0,12)时，

g′(x)>0；

从而

g(x)在(0,12)故

g(x)≤g(12)=1−ln2>0，又所以存在x1∈(1e综上可得当x∈(0,x1)时，f′(x)<0，当x∈(x1,1)时，f′(x)>0，从而f(x)在(0,x1)，(1,+∞)故

f(x)存在唯一极大值f(1)=0.

20.(1)由已知可得fx的定义域为−1,+∞且f′x因此当a<0时，a−(x+1)2e所以fx的单减区间是−1,+∞(2)(ⅰ)由(1)知，f′x令gx当x∈−1,+∞时，g′①当a≤0时，可知f′x<0,fx又f0=0，故当x>0时，fx②当0<a≤e时，g0fx在(0,+∞)单调递减，故当x>0时，f③当a>e时，lna−1>0，此时g所以存在α∈0,lna−1所以fx在−1,α内单调递增，在α,+∞令ℎx=lnx−x+1，则当故ℎ(x)在(0,1)内单调递增，在(1,+∞从而当x>1时，ℎx<ℎ1所以fln又因为f0=0，所以因此，此时存在正零点x0综上，实数a的取值范围为e,+∞；(ⅱ)由题意，f′x1从而lnx0+1由(ⅰ)知当x>1时，lnx<x−1，即x>0，有ln又x0>x两边取对数，得lne于是x0−x

21.解：(1)依题意，当N=3，m=3时有：A:1,2,2,3(2)当N=6时，因为p,q与q,p不同时在数对序列A中，所以m≤C62=15，所以又因为xi+1所以只有x1,y所以m≤1(3)当N为奇数时，先证明TN+2因为p,q与q,p不同时在数对序列A中，所以TN当N=3时，构造A:1,2,2,3,3,1恰有C32项，

对奇数N，如果可以构造一个恰有CN2项的序列A，

且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为那么对奇数N+2而言，可按如下方式构造满足条件的序列A′：首先，对于如下2N+1个数对集合：1,N+1,2,N+1,……N,N+1,N+1,N+2,每个集合中都至多有一个数对出现在序列A′中，所以TN+2其次，对每个不大于N的偶数i∈2,4,6,⋯,N−1将如下4个数对