数学学案：第三章第节综合法与分析法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§3综合法与分析法1．了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法．2．了解综合法和分析法的思考过程与特点，能熟练运用综合法和分析法证明命题．1．综合法从命题的______出发，利用______________________，通过______推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．我们把这样一种思维方法称为________．【做一做1】已知p＝a＋eq\f(1，a－2)(a＞2)，q＝2－a2＋4a－2(a＞2），则(）．A．p＞q B．p＜qC．p≥q D．p≤q 2．分析法从求证的______出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的______条件，直到归结为这个命题的______，或者归结为__________________等．我们把这样一种思维方法称为________．综合法：(1)综合法是“由因到果”,即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．（2)综合法格式-—从已知条件出发，顺着推证，由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”,逐步推出求证的结论，这就是顺推法的格式,它的常见书面表达式是“∵，∴”或“⇒"．分析法：（1)分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件，因此分析法又叫作逆证法或执果索因法．(2）分析法格式——与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知,由需知逐渐地靠近已知（已知条件,已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．这种证明方法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的,它的常见书写表达式是“要证明……需要证明……”或“⇐”．【做一做2】已知函数f(x)＝lgeq\f（1－x，1＋x)，若f（a)＝b，则f（－a）等于（）．A．b B．－bC.eq\f（1,b） D．－eq\f(1,b）答案：1．条件定义、公理、定理及运算法则演绎综合法【做一做1】A∵a＞2,∴p＝a＋eq\f（1，a－2）＝a－2＋eq\f(1,a－2）＋2≥2＋2＝4。而－a2＋4a－2＝－（a－2)2＋2＜∴q＝2－a2＋4a－2＜4.∴p＞q2．结论充分条件定义、公理、定理分析法【做一做2】Bf（－a)＝lgeq\f（1＋a，1－a)＝lgeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1－a，1＋a）)）－1＝－lgeq\f(1－a,1＋a）＝－f（a)＝－b.1．如何选择综合法或分析法证明不等式？剖析：（1)综合法是证明不等式的最基本、最常用的方法，由条件或一些重要不等式入手，难度不大的不等式证明多直接采用综合法，但对于比较复杂的不等式的证明还需要结合分析法等其他方法及技巧才能完成．(2）对于一些条件复杂、结论简单的等式或不等式的证明经常用综合法；对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明常用分析法．2．用分析法证题时过程的写法剖析:(1）证明不等式时往往误用分析法,把“逆求”作“逆推”，分析法过程没有必要“步步可逆"，仅需寻求充分条件即可，而不是充要条件．（2)用分析法证明时，要正确使用一些联结关联词，如“要证明"“只需证明”“即证”等．题型一用综合法证明不等式【例题1】已知x＞0，y＞0，x＋y＝1，求证:eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1＋\f(1,x)))eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（1＋\f(1,y））)≥9.分析:观察要证明的不等式，可以由条件入手，将x＋y＝1代入要证明的不等式，用综合法可证；也可从基本不等式入手，用综合法证明不等式．反思：用综合法证明不等式时，可以从条件出发，也可以从基本不等式出发，通过换元、拼凑等方法构造定值，但若连续两次或两次以上利用基本不等式，需要注意几次利用基本不等式时等号成立的条件是否相同．题型二用分析法证明不等式【例题2】已知a＞b＞0，求证：eq\f(a－b2，8a)＜eq\f（a＋b，2）－eq\r（ab)＜eq\f（a－b2，8b)。分析:本题条件较为简单，结论比较复杂，我们可以从要证的结论入手，一步步探求结论成立的充分条件，即用分析法．反思:由于题目中条件比较简单，结论比较复杂，用综合法比较困难，可以从结论出发,逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件．题型三用分析法探索命题成立的条件【例题3】给出一个不等式eq\f(x2＋1＋c,\r(x2＋c)）≥eq\f(1＋c,\r(c））（x∈R），经验证：当c＝1,2，3时，对于x取一切实数，不等式都成立．试问：当c取任何正数时，不等式对任何实数x是否都成立?若能成立，请给出证明；若不成立，请求出c的取值范围，使不等式对任何实数x都能成立．反思：探索性问题，可以探索条件，探索结论,探索方法，而分析法是用来探索条件的重要手段． 答案：【例题1】证法1：∵x＋y＝1，∴eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（1＋\f（1，x)）)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1，y)））＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1＋\f（x＋y，x)））eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（1＋\f（x＋y,y）））＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2＋\f（y,x)））eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（2＋\f（x，y)))＝5＋2eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(y，x)＋\f(x，y））)。又∵x＞0，y＞0,∴eq\f（y,x)＞0，eq\f（x，y)＞0。∴eq\f(y,x)＋eq\f（x,y)≥2，当且仅当eq\f(y,x)＝eq\f（x,y）,即x＝y＝eq\f（1,2）时取等号．则有eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1＋\f（1,x）))eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,y）））≥5＋2×2＝9成立．证法2：∵x＞0,y＞0,1＝x＋y≥2eq\r(xy)，当且仅当x＝y＝eq\f（1，2）时取等号，∴xy≤eq\f（1,4）。则有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（1＋\f（1，x)））eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f（1,y）））＝1＋eq\f(1,x）＋eq\f（1，y)＋eq\f(1，xy)＝1＋eq\f（x＋y，xy)＋eq\f（1,xy）＝1＋eq\f(2,xy)≥1＋8＝9成立．【例题2】证明：因为a＞b＞0，所以要证eq\f(a－b2，8a)＜eq\f(a＋b，2)－eq\r（ab）＜eq\f(a－b2,8b）成立，即证eq\f（a－b2，4a）＜(eq\r(a）－eq\r(b)）2＜eq\f（a－b2,4b）成立．只需证eq\f(a－b，2\r(a）)＜eq\r(a)－eq\r(b)＜eq\f(a－b，2\r(b）)成立．只需证eq\f(\r（a)＋\r（b)，2\r(a)）＜1＜eq\f（\r(a)＋\r（b）,2\r(b))成立，即证eq\r（a）＋eq\r（b)＜2eq\r(a）且eq\r（a)＋eq\r(b)＞2eq\r（b），即eq\r(b）＜eq\r（a).∵a＞b＞0,∴eq\r(b）＜eq\r(a)成立．∴eq\f(a－b2，8a）＜eq\f(a＋b,2)－eq\r（ab)＜eq\f（a－b2,8b）成立．【例题3】解：不成立．设f(x）＝eq\f（x2＋1＋c,\r（x2＋c）)，令μ＝x2＋c,则μ≥c,则f(x)＝eq\f（μ＋1,\r（μ))（μ≥c），∴f(x）－eq\f（c＋1，\r(c））＝eq\f（μ＋1，\r(μ）)－eq\f（c＋1，\r(c)）＝eq\f(\r(c）μ＋1－\r（μ）c＋1,\r(μc））＝eq\f(\r（cμ)－1\r(μ）－\r（c），\r（μc）)。∴要使不等式eq\f(x2＋1＋c,\r（x2＋c)）≥eq\f(1＋c，\r(c)）对任何实数x都成立,即f(x）－eq\f（c＋1,\r（c）)≥0成立．∵eq\r(μ)≥eq\r(c），∴只需eq\r（cμ)－1≥0,即cμ≥1。∴μ≥eq\f（1,c)（c＞0)，也就是x2＋c≥eq\f(1，c），即x2≥eq\f（1，c）－c对任意的x都成立．∴只需eq\f（1，c)－c≤0，又c＞0，∴c≥1时原不等式对一切实数x都能成立．1设函数y＝f（x)(x∈R)的图像关于直线x＝0及直线x＝1对称，且x∈［0,1］时，f(x)＝x2，则等于（)．A. B. C。 D.答案：B由于函数f(x)的图像关于直线x＝0及直线x＝1对称,所以函数f(x)是偶函数,且f(1＋a）＝f（1－a),所以要求，只需求出，即求，而＝，即求,而.此题用了综合法与分析法相结合的方法．2已知a，b是不相等的正数,，，则x，y的关系是()．A．x＞y B．x＜y C．x＞y D．不确定答案：B∵x＞0，y＞0,∴要比较x，y的大小，只需比较x2，y2的大小，即比较与a＋b的大小．∵a，b为不相等的正数，∴＜a＋b。∴＜a＋b,即x2＜y2.∴x＜y。3已知不等边三角形的三边按从小到大的顺序排列成等比数列，则公比q的取值范围是(）．A。＜q＜1 B．1＜q＜C。＜q＜ D．0＜q＜答案：B设三角形的三边长为a，b，c,且a＜b＜c,则b＝aq,c＝aq2.∴∵a＞0,∴1＜q＜。4若sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)＝________.答案：观察已知条件中有三个角α，β，γ，而所求结论中只有两个角α,β，所以我们只需将已知条件中的角γ消去即可，依据sin2γ＋cos2γ＝1消去γ.由已知，得sinγ＝－(sinα＋sinβ)，co