数学学案：第二章算法的基本思想

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§1算法的基本思想1．通过对解决具体问题的过程与步骤的分析，体会算法的思想，了解算法的含义．2．学会用自然语言来描述算法；初步学会为一个具体问题设计算法．算法(1）定义:在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤，通过实施这些步骤来解决问题，通常把这些______称为解决这些问题的算法．这种描述不是算法的严格定义，但是反映了算法的基本思想．(2）算法的性质:①确定性：算法中的每一步都应该是确定的，并且能有效地执行并得到确定的结果，而不能含糊其辞，含有歧义．②有限性:对于一个算法来说，它的操作步骤必须是有限的，必须在有限的步骤之内完成．③普遍性:一个算法通常能解决一类问题，不是仅仅解决一个单独的问题．(3）作用:使________代替人完成某些工作．（4）注意：解决一个问题可能有多个算法，但有优劣之分，其中操作简单、步骤少且能解决一类问题的算法称为最优算法．算法与一般意义上具体问题的解法既有联系又有区别，它们之间是一般与特殊、抽象与具体的关系．算法的获得要借助于一般意义上具体问题的求解方法,而任何一个具体问题都可以利用这类问题的一般算法来解决．在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤,这些步骤称为解决这些问题的算法，这种解决问题的思想方法称为算法的思想．【做一做1】下列对算法的理解不正确的是(）．A．算法有一个共同特点就是对一类问题都有效(而不是个别问题）B．算法要求是一步步执行，每一步都能得到唯一的结果C．算法一般是机械的，有时要进行大量重复的计算，它的优点是是一种通法D．任何问题都可以用一个算法来解决【做一做2】求半径r＝2的圆的周长,写出算法．一个好的算法应满足哪些要求？剖析：一般来说，一个好的算法应满足以下要求：(1）写出的算法必须能解决一类问题（例如解任意一个二元一次方程组)，并且能够重复使用；（2）算法的过程要能一步一步执行,每一步操作,必须明确,不能含混不清，而且要在有限步之内得出结果；(3）算法要简洁,要清晰可读，不能繁杂，也就是说在解决同一类问题的许多种不同的算法中，我们所确定的算法步骤应该是最简单有效的，即最优化算法．题型一算法的概念【例题1】下列关于算法的叙述中,不正确的是(）．A．计算机解决任何问题都需要算法B．只有将要解决的问题分解为若干步骤，并且用计算机能够识别的语言描述出来，计算机才能解决问题C．算法执行后可以不产生确定的结果D．解决同一个问题的算法并不唯一，而且每一个算法都要一步一步执行，每一步都要产生确切的结果题型二求正约数的算法设计【例题2】求18的所有正约数，请设计两种算法．分析：分别对1，2，3，…，18逐一检验,或者对18进行因数分解，写出相关步骤即可．反思:解决一个问题可以有多个算法，可以选择其中最优的、最简单的、步骤尽量少的算法．上面的两种算法都符合题意，但算法二运用了因数分解原理，这样步骤就比算法一少了许多,因此更为科学．本题体现了算法的特征：(1)一个算法往往具有代表性,能够解决一类问题；(2)算法不是唯一的；(3）两种算法各自体现了不同的思想内涵．题型三计算问题的算法设计【例题3】写出求两底面半径分别为1和4,高为4的圆台的侧面积、表面积及体积的算法．分析：可先由两底面半径r1，r2和高h计算出圆台母线长l，进而求出圆台侧面积S侧＝π(r1＋r2)l。同时由r1，r2计算出两底面积S1，S2，然后由体积公式V＝eq\f(1,3)（S1＋S2＋eq\r（S1S2）)·h及表面积公式S＝S1＋S2＋S侧求得结果．反思:写数值性问题的算法一定要掌握有关知识及公式的正确运用和计算,要注意过程的条理化和步骤的清晰化．题型四用二分法求方程近似解的算法设计【例题4】用二分法设计一个求方程x2－2＝0的近似解的算法．分析：若令f（x)＝x2－2，则求方程x2－2＝0的近似解,就是求函数f（x)的零点的近似值．借助用二分法求函数零点近似值的方法，我们便可以设计出求方程近似解的算法．反思：从本例可以发现，求解某类问题的算法不同于求解一个具体问题的方法，它必须能解决一类问题．只要有了解决问题的算法，不管借助的工具是纸笔、计算器，还是计算机，都能按照算法步骤求得相同的结果．题型五易错辨析【例题5】设计一个解方程ax2＋bx＋c＝0的算法．错解:小华采用的算法描述如下:1．计算Δ＝b2－4ac；2．若Δ＜0，则输出“方程无实根”;3．若Δ＞0，则输出方程的根．错因分析：上述算法中有两处错误：第一处是没有考虑a是否为0，显然a＝0时，方程无判别式,上述算法无效；第二处错误是漏掉了Δ＝0的情况．1下列关于算法的说法中,正确的是()．A．算法就是某个问题的解题过程B．算法执行后可以不产生确定的结果C．解决某类问题的算法不一定是唯一的D．算法可以无限地操作下去不停止2下列语句表达中是算法的有（）．①从济南到巴黎可以先乘火车到北京,再坐飞机抵达;②＞2x＋4；③求M（1，2）与N（－3，－5）两点连线的方程，可先求MN的斜率，再利用点斜式方程求得．A．0个B．1个C．2个D．3个3给出算法：1．输入n＝10.2．令i＝1，S＝0。3．判断i≤n是否成立，若不成立,输出S，结束算法；若成立,执行下一步．4．令S的值加i,仍用S表示,令i的值增加1，仍用i表示，返回第3步．该算法的功能是_______________________________________________________．4已知长方体的长、宽、高分别为3,4,5，设计算法求其体积．5写出解方程x2－2x－3＝0的一个算法．答案：基础知识·梳理（1)步骤（3)计算机【做一做1】D【做一做2】分析：直接用公式C＝2πr求解．解：算法如下：1．取r＝2.2．计算C＝2πr。3．输出C.典型例题·领悟【例题1】C算法的主要特征是确定性和顺序性，确定性包括结果明确，每一步产生的结果和最后的结果都是明确的；顺序性包括步骤确切,每一步执行什么是明确的；因此，C项不正确，故选C。【例题2】解：算法一：1．1是18的正约数，将1列出；2．2是18的正约数，将2列出;3．3是18的正约数，将3列出；4．4不是18的正约数,将4删除；……18．18是18的正约数,将18列出．算法二:1．18＝2×9;2．18＝2×32；3．列出18的所有正约数：1，2，3，32,2×3，2×32.【例题3】解：算法步骤如下：1．取r1＝1，r2＝4，h＝4；2．计算l＝eq\r((r2－r1)2＋h2)；3．计算S1＝πr21，S2＝πr22，S侧＝π(r1＋r2)l；4．计算S表＝S1＋S2＋S侧;5．计算V＝eq\f（1,3）(S1＋eq\r（S1S2）＋S2)h.【例题4】解：我们先假设所求近似值与精确解的差的绝对值不超过0.005.算法步骤如下:1．令f（x)＝x2－2。因为f（1）＜0,f（2)＞0，所以设x1＝1，x2＝2.2．令m＝eq\f(x1＋x2,2),判断f（m）是否为0.若是,则m为所求；若否，则继续判断f(x1)·f(m）大于0还是小于0。3．若f(x1）·f（m)＞0，则令x1＝m；否则，令x2＝m。4．判断｜x1－x2|＜0。005是否成立．若是，则x1，x2之间的任意取值均为满足条件的近似根；若否，则返回第2步．【例题5】正解:1.输入a，b，c的值．2．若a＝0，b≠0，则输出方程的根x＝－eq\f（c,b）;若a＝b＝0,c≠0，则输出“方程无实根”；若a＝b＝c＝0,则输出“方程有无数个实根”．3．若a≠0，计算Δ＝b2－4ac:若Δ＜0，则输出“方程无实根”；若Δ≥0，则输出方程的根x1＝eq\f（－b－\r（Δ），2a)，x2＝eq\f(－b＋\r(Δ)，2a)。随堂练习·巩固1．C2．C3．计算1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10的值4．分析：利用公式V长方体＝长×宽×高,写出算法．解：算法如下：1．输入长方体的长a，宽b，高h.2．计算V＝abh.3．输出V.5．解:方