专题03 平行线中的拐点模型之牛角模型（原卷版）

专题03平行线中的拐点模型之牛角模型平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（牛角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。模型1：牛角模型图1图2如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180°【模型证明】在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°图1图2∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3.在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°.注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。例1．（2023下·绵阳市·七年级统考期末）如图，直线，点C是直线上一点，点D是直线外一点，若，，则度．

例2．（2023·河南周口·校联考三模）空竹是我国传统的一项游戏，其器材简单但是动作花样繁多，深受大众喜爱．彤彤在跑步时发现广场上抖空竹的老奶奶的某个动作可以抽象成一个简单的数学图形，如图所示，，，，则的度数是．

例3．（2023下·山东青岛·七年级统考期末）某种零件的形状如图所示，现要判断与是否平行，工人师傅分别测量了，和的度数后，就做出了判断．试猜想，和之间满足什么关系时，并证明你的猜想．

例4．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，，点在上方，连接，若，则度．

例5．（2023下·山东烟台·七年级统考期末）如图，，．(1)如图1，写出与的数量关系，并证明你的结论；(2)如图2，，，与交于点，求的度数．例6．（2023下·北京海淀·七年级校考期中）已知，，点C在上方，连接、．(1)如图1，若，，求的度数；(2)如图2，过点C作交的延长线于点F，直接写出和之间的数量关系______(3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点G，连接并延长至点H，若平分，求的值．

例7．（2023·广东七年级课时练习）已知，点为之外任意一点．

（1）如图1，探究与之间的数量关系，并说明理由；（2）如图2，探究与之间的数量关系，并说明理由．【拓展变式】如图，“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．在“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，将图1抽象成一个数学问题：如图2，若，则_______________．课后专项训练1．（2023下·四川内江·九年级统考阶段练习）如图，已知直线，，，那么的大小为（

）

A． B． C． D．2．（2023下·江苏泰州·七年级校考阶段练习）已知：如图，，，，则的值为（）A．65° B．40° C．20° D．15°3．（2023下·辽宁营口·七年级校联考期中）如图，把含角的直角三角板的直角顶点放在直线上，其中，直角边和斜边分别与直线相交，如果，且，则的度数为（

）

A． B． C． D．4．（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在多边形中，，，，则的大小的为（

）

A． B． C． D．5．（2023下·四川·八年级统考期末）已知直线，将以，为两腰的等腰的顶点P，N按如图所示的方式分别放在a，b上，若，，则（

）

A． B． C． D．6．（2023下·浙江温州·七年级校联考阶段练习）如图，，的直角顶点C在直线b上，若，，则等于（

）

A． B． C． D．7．（2023下·山东烟台·六年级统考期末）如图是螳螂的示意图，已知，则的度数为．

8．（2023下·江苏无锡·七年级校考阶段练习）欢欢观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是．

9．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，，的角平分线和的角平分线的反向延长线交于点，且，则．

10．（2023·湖北武汉·七年级统考期中）如图，直线，，，则．11．（2023下·广东深圳·七年级校考期中）如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、，，平分，平分，在的下方有一点，平分，平分，求的度数为．12．（2023下·浙江温州·七年级期中）如图，，作如图所示的折线，，，反向延长CG交BF于点F，已知，，则．13．（2023下·福建莆田·七年级统考期中）如图，直线分别交，于点，．，分别平分与，交于点，延长交于点，作，交于点，连接．是上一点，连接，，平分交于点，则．

14．（2023下·湖北·七年级黄石市有色中学校联考期末）如图，直线，直线EF与，分别交于点E，F，与的角平分线交于点P，延长交于点G，过点G作交直线于点Q，连接，点M是延长线上的一点，且，若平分交于点N，则的度数为．

15．（2023下·辽宁葫芦岛·七年级统考阶段练习）如图，，，，求的度数．

16．（2023下·河南信阳·七年级统考阶段练习）如图①，E是直线、内部一点，，连接，。(1)若，，则___________；(2)猜想图①中、、的关系，并证明你的结论．(3)如图②，射线与、分别交于点E、F，，a、b、c、d分别是被射线隔开的4个区域（不含边界），其中区域c、d位于直线下方，P是位于以上四个区域上的任意一点，猜想：、、的关系？（选择其中一种情况画出图形，并直接写出结论）

17．（2023下·山东临沂·七年级统考期末）在综合与实践课上，老师让同学们以两条平行线，和一块含的直角三角尺（，）．(1)如图（1），若三角尺的角的顶点G放在上，若，求的度数；(2)如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系．

18．（2023下·辽宁大连·七年级统考期中）（1）如图1，已知，，求的度数．（2）如图2，，点P在的上方，之间有何数量关系？并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，已知，求的度数．

19．（2023下·四川成都·七年级校考阶段练习）已知，点E为直线、所确定的平面内一点．

(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，点在的延长线上，连接、，若，，，求的度数．(3)在（2）的条件下，如图3，过点F作交的延长线于点G，连接，作交于点H，使，当时，求的度数．20．（2023·四川遂宁·七年级校考阶段练习）如图，直线，点C是之间（不在直线上）的一个动点．(1)若与都是锐角，如图甲，写出与之间的数量关系并说明原因；(2)若把一块三角尺（）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若，求的度数；(3)将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段上，连接，且有，求的值．

21．（2023下·广东惠州·七年级校联考期中）如图，直线，点C是之间（不在直线上）的一个动点．(1)若与都是锐角，如图甲，请直接写出与之间的数量关系；(2)若把一块三角尺（）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若，求的度数；(3)将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段上，连接，且有，求值．

22．（2023上·吉林长春·七年级校考期末）如图，，点P为平面内一点．

(1)如图①，当点P在与之间时，若，则＝°；(2)如图②，当点P在点B右上方时，之间存在怎样的数量关系？请给出证明；（不需要写出推理依据）(3)如图③，平分平分，若，则＝°．23．（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）我们知道两直线的位置关系与角的数量关系存在联系．由角的数量关系可以判定直线的位