专题03 相似三角形重要模型-手拉手模型（原卷版）

专题03相似三角形重要模型-手拉手模型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。手拉手模型相似是手拉手模型当中相对于手拉手全等模型较难的一种模型，在实际的应用和解题当中出现时，对于同学们来说，都比较困难。而深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“手拉手”模型（旋转模型）。手拉手相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。模型1.“手拉手”模型(旋转模型)【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。1）手拉手相似模型（任意三角形）条件:如图，∠BAC=∠DAE=，；结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；.2）手拉手相似模型（直角三角形）条件:如图，，（即△COD∽△AOB）；结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，.3）手拉手相似模型（等边三角形与等腰直角三角形）条件:M为等边三角形ABC和DEF的中点；结论：△BME∽△CMF；.条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形；结论：△ABD∽△ACE.例1．（2023春·贵州铜仁·九年级校联考阶段练习）在中，，D、E分别时、边上的点，．将绕点A旋转．（一）发现问题（1）如图①，、、满足的数量关系为________；（二）探究问题（2）如图②，，相交于点M，连接，求证：平分；（三）拓展应用（3）如图③，在四边形中，，，，求的度数．例2．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图（1），等腰三角形中，，．点，分别在，上，．

(1)操作发现：将图（1）中的绕点逆时针旋转，当点落在边上时，交于点，如图（2）．发现：．请证明这个结论．(2)实践探究：将图（1）中的绕点顺时针旋转（），当，，三点在同一条直线上时，连接，如图（3）．请解答以下问题：①求证：；②探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．例3．（2022·四川达州·中考真题）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：(1)【初步探究】如图2，当时，则_____；(2)【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出，，之间的数量关系：_________；(3)【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．(4)【拓展延伸】如图5，在与中，，若，（m为常数）．保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接，如图6．试探究，，之间的数量关系，并说明理由．例4．（2021·四川乐山·中考真题）在等腰中，，点是边上一点（不与点、重合），连结（1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，结，，则________；（2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．①在图2中补全图形；②探究与的数量关系，并证明；（3）如图3，若，且，试探究、、之间满足的数量关系，并证明．例5．（2023·四川·九年级专题练习）如图1，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且．(1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是；(2)如图2，在(1)的条件下，若，，，求的长；(3)如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值．

例6.（2023·浙江·九年级专题练习）一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现且．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：（1）将正方形绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到吗？若能，请给出证明，请说明理由；（2）把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当与的大小满足怎样的关系时，；（3）把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，，（如图3），连接，．试求的值（用a，b表示）．例7．（2023春·广东·九年级专题练习）已知在ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF，连接AE，CF．（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是；（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长．课后专项训练1、（2023.重庆.九年级月考）如图，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠BAD＝20°，则∠CAE的度数为（）A．10° B．20° C．40° D．无法确定2、（2023.广东.九年级期中）如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB与DE交于点O，AB＝4，AC＝3，F是DE的中点，连接BD，BF，若点E是射线CB上的动点，下列结论：①△AOD∽△FOB，②△BOD∽△EOA，③∠FDB+∠FBE＝90°，④BF=56AE，其中正确的是（）A．①② B．③④ C．②③ D．②③④3、（2023.江苏.九年级期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝，D、E分别在边AC、BC上，CD＝1，DE∥AB，将△CDE绕点C旋转，旋转后点D、E对应的点分别为D′、E′，当点E′落在线段AD′上时，连接BE′，此时BE′的长为（）A．2 B．3 C．2 D．34、（2023.绵阳市.九年级期末）已知正方形DEFG的顶点F在正方形ABCD的一边AD的延长线上，连结AG，CE交于点H，若，，则CH的长为________.5．（2022·浙江·九年级课时练习）观察猜想(1)如图1，在等边中，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等边，连接，则与的数量关系是______．(2)类比探究：如图2，在等边中，点M是延长线上任意一点（不含端点C），（1）中其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由．(3)拓展延伸：如图3，在等腰中，，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等腰，使顶角．连按．试探究与的数量关系，并说明理由．6．（2022湖北·九年级专题练习）如图，为等边三角形，D为AC边上一点，连接BD，M为BD的中点，连接AM．(1)如图1，若AB＝2+2，∠ABD＝45°，求的面积；(2)如图2，过点M作与AC交于点E，与BC的延长线交于点N，求证：AD＝CN；(3)如图3，在（2）的条件下，将沿AM翻折得，连接B'N，当B'N取得最小值时，直接写出的值．7．（2023·广西·九年级课时练习）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：（1）问题发现：如图1，在等边中，点是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接CQ，BP与CQ的数量关系是________；（2）变式探究：如图2，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长．8．（2022·河南开封·九年级期末）某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC中，其中，如图1，进行了如下操作：第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图2；第二步，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD；第三步，以D为圆心，DA的长为半径画弧，交射线AE于点G；(1)填空；写出∠CAD与∠GAD的大小关系为___；(2)①请判断AD与BC的位置关系，并说明理由．②当时，连接DG，请直接写出___；(3)如图3，根据以上条件，点P为AB的中点，点M为射线AD上的一个动点，连接PM，PC，当时，求AM的长．9．（2022·山东济南·一模）在中与中，，，将绕点顺时针旋转，连接，点分别是的中点，连接．（1）观察猜想：如图1，当点与点重合时，与的数量关系是__________，位置关系是__________；（2）类比探究：当点与点不重合时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请仅就图2的情形给出证明；如果不成立，请说明理由．（3）问题解决在旋转过程中，请直接写出的面积的最大值与最小值．10．（2022•莱芜区一模）在△ACB中，∠ACB＝120°，AC＝BC，点P在AB边上，AP＝AB，将线段AP绕点P顺时针旋转至PD，记旋转角为a，连接BD，以BD为底边，在线段BD的上方找一点E，使∠BED＝120°，ED＝EB，连接AD、CE．（1）如图1，当旋转角a＝180°时，请直接写出线段CE与线段AD的数量关系；（2）当0＜a＜180°时，①如图2，（1）中线段CE与线段AD的数量关系是否还成立？并说明理由．②如图3，当点A、D、E三点共线时，连接CD，判断四边形CDBE的形状，并说明理由．11．（2022·江苏·九年级课时练习）观察猜想(1)如图1，在等边中，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等边，连接，则与的数量关系是______．(2)类比探究：如图2，在等边中，点M是延长线上任意一点（不含端点C），（1）中其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由．(3)拓展延伸：如图3，在等腰中，，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等腰，使顶角．连按．试探究与的数量关系，并说明理由．12、（2023.湖北.九年级期末）如图1，在中，，，，点D，E分别为，的中点．绕点C顺时针旋转，设旋转角为（，记直线与直线的交点为点P．（1）如图1，当时，与的数量关系为_________，与的位置关系为_______；（2）当时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；（3）绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线距离的最大值．13、（2023.广东.九年级期末）尝试：如图①，中，将绕点A按逆时针方向旋转一定角度得到，点B、C的对应点分别为、，连接、，直接写出图中的一对相似三角形_______；拓展：如图②，在中，，，将绕点A按逆时针方向旋转一定角度得到，点B、C的对应点分别为、，连接、，若，求的长；应用：如图③，在中，，，，将绕点A按逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，当点B的对应点恰好落在的边所在的直线上时，直接写出此时点C的运动路径长．14、（2023.浙江.九年级期中）问题背景：如图（1），已知，求证：；尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值；拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长．15、（2023.山东.九年级期末）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．（1）求证：△MFC∽△MCA；（2）求证△ACF∽△ABE；（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长．16．（2022•南山区校级一模）（1）【问题发现】如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF．填空：①线段CF与DG的数量关系为；②直线CF与DG所夹锐角的度数为．（2）【拓展探究】如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．（3）【解决问题】如图③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝10，O为AC的中点．若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为（直接写出结果）．17、（2023.重庆.九年级期末）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：（1）问题发现：如图1，在等边中，点是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接CQ，BP与CQ的数量关系是________；（2）变式探究：如图2，在等腰中，，点是边