专题08 角度中的动态模型（原卷版）

专题08角度中的动态模型角度的动态（旋转）模型属于七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点研究与角有关的旋转模型（求值模型；定值模型；探究模型；分类讨论模型）。【知识储备】1、角度旋转模型解题步骤：①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度：1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间；2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间；3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角③列——根据题意列方程求解。注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。2、常见的三角板旋转模型：三角板有两种，一种是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一种是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。模型1、旋转中的求值模型例1．（2023春·福建福州·七年级统考开学考试）如图1，已知绕点在的内部转动，平分，平分．(1)如图2，当与重合时，求的度数；(2)请判断的大小是否随的位置的变化发生改变？并说明理由；：(3)当时，求的度数．

例2．（2023·福建福州·七年级期末）在一次数学活动课上，李磊同学将一副宜角三角板、按如图1放置，点A、C、D在同一直线上，（°、），并将三角板绕点A顺时针旋转一定角度，且始终保持．(1)在旋转过程中，如图2，当点A、C、E在同一直线上时，则____；(2)在旋转过程中，如图3，当时．请说明平分；(3)在旋转过程中，如图4，当时，求此时的度数．模型2、旋转中的定值模型例1．（2022·四川成都·七年级期末）已知，如图1，，分别为定角（大小不会发生改变）内部的两条动射线，，．（1）求的度数；（2）如图2，射线分别为的平分线，当绕着点O旋转时，的位置也会变化但大小保持不变，请求出的度数；（3）如图3，是外部的两条射线，且，平分，平分．当绕着点O旋转时，的大小是否会发生变化？若不变，求出其度数；若变化，说明理由．例2．（2022秋·河南南阳·七年级校考期末）将一副三角尺如图①摆放，，，现将绕点C以/秒的速度逆时针方向旋转，旋转时间为秒．

(1)如图②，当______时，恰好平分；(2)如图③，当______时，恰好平分；(3)如图④，当______时，恰好平分；(4)绕点C旋转到如图⑤的位置，平分，平分，求的度数；(5)若旋转到如图⑥的位置，（4）中结论是否发生变化？请说明理由．模型3、旋转中的探究类模型（判断角的数量之间的关系）例1．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，在内部存在，平分，平分．(1)当在的内部，与不重合时．①如图1若，求的角度．②如图2，若，画出图形并探究与的数量关系．(2)如图3，若旋转到的外部，平分，平分，则______例2．（2023·上海·七年级专题练习）（1）已知：如图1，P是直角三角板ABC斜边AB上的一个动点，CD、CE分别是∠ACP和∠BCP的平分线．当点P在斜边AB上移动时，∠DCE＝°；（2）把直角三角板的直角顶点C放在直尺的一边MN上：①点A和点B在直线MN的上方（如图2），此时∠ACM与∠BCN的数量关系是∠ACM+∠BCN＝；②当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A在直线MN的下方、点B仍然在直线MN的上方时（如图3），∠ACM与∠BCN的数量关系是；③当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A和点B都在直线MN的下方时（如图4），∠ACM与∠BCN的数量关系是．模型4、旋转中的分类讨论模型例1．（2023·重庆·西南大学附中七年级期中）如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的3倍，则称射线为的“幸福线”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．）(1)角的三等分线________这个角的“幸福线”（填“是”或“不是”）；(2)如图①，，射线为的“幸福线”，求的度数；(3)如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒（）．若、、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸福线”，求出所有可能的值．例2．（2022·成都市七中育才学校七年级月考）一副三角板（直角三角板和直角三角板）如图1所示放置，两个顶点重合于点，与重合，且，，，．将三角板绕着点逆时针旋转一周，旋转过程中，平分，平分，（和均是指小于180°的角）探究的度数．（1）当三角板绕点旋转至如图2的位置时，与重合，______°，______°．（2）三角板绕点旋转过程中，的度数还有其他可能吗？如果有，请研究证明结论，若没有，请说明理由．（3）类比拓展：当的度数为时，其他条件不变，在旋转过程中，请直接写出的度数．（用含的式子来表示）课后专项训练1．（2023·内蒙古鄂尔多斯·七年级统考期末）（1）如图1，点在线段上，图中共有3条线段：和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”．则线段上共有____________个“二倍点”．（2）类似的如图1，射线在内部，图中共有3个角：和，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“二倍线”．则内部共有_____________条“二倍线”．（3）如图2，若线段，点从点的位置开始，以每秒的速度向点运动，当点到达点时停止运动，设运动的时间为秒．问为何值时，点是线段的“二倍点”．（4）如图3，若，射线从射线的位置开始，绕点按逆时针方向以每秒5°的速度向射线旋转，当射线到达射线的位置时停止旋转，设射线旋转的时间为秒，若射线是的“二倍线”，求的值．（5）在（4）的条件下，同时射线从射线的位置开始，绕点按顺时针方向以每秒10°的速度向射线旋转，当射线到达射线的位置时停止旋转，同时射线也停止旋转．请直接写出当射线是的“二倍线”时的值．2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考开学考试）如图1，是直线上的一点，，平分．

(1)若，求的度数；(2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置．①探究和的度数之间的关系，并说明理由；②在的内部有一条射线，内部有一条射线，且，试确定与的度数之间的关系，并说明理由．3．（2022·湖北武汉·七年级统考期末）已知150°．（1）如图1，若60°，为内部的一条射线，，平分，求的度数．（2）如图2，若、是内部的两条射线，、分别平分，，且，求的值．（3）如图3，为射线的反向延长线上一点，将射线绕点顺时针以的速度旋转，旋转后OB对应射线为，旋转时间为秒（），平分，为的三等分线，且，若，则的值为_______（直接填写答案）．4．（2022•江北区期末）将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O．（1）如图1，若∠AOD＝35°，求∠BOC的度数．（2）若三角板AOB保持不动，将三角板COD的边OD与边OA重合，然后将其绕点O旋转．试猜想在旋转过程中，∠AOC与∠BOD有何数量关系？请说明理由．5．（2022•洪山区期末）将一副直角三角板ABC，ADE，按如图1叠加放置，其中B与E重合，∠BAC＝45°，∠BAD＝30°．（1）如图1，点F在直线AC上，且位于点A的左侧，求∠FAD的度数；（2）将三角板ADE从图1位置开始绕A点顺时针旋转，并记AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的角平分线．①当三角板ADE旋转至如图2的位置时，求∠MAN的度数．②若三角板ADE的旋转速度为每秒5°，且转动到∠DAC＝180°时停止，运动时间记为t（单位：秒），试根据不同的t的值，求∠MAN的大小（直接写出结论）．6．（2022•绵阳七年级期中）如图1，摆放一个三角形纸板ODE，边OD在正东方向的射线上，点A，B分别在正西，正东方向上，∠COF＝30°，现将三角形纸板ODE从图1位置开始绕点O以每秒5度的速度逆时针方向匀速旋转，设旋转的时间为t秒，在旋转一周的过程中．（1）当t＝5时，求∠AOD的度数，并写出点D的方向角；（2）如图2，当三角形纸板ODE旋转至△OD1E1时，边OE1恰好落在射线OF上，且OF平分∠AOD1，OD1平分∠BOC，求t的值，并写出点F的方向角；（3）当旋转至△OD2E2时，OE2所在直线平分∠AOC，求t的值．7．（2022•镇海区七年级期中）新定义问题如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）【阅读理解】（1）角的平分线这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）【初步应用】（2）如图①，∠AOB＝45°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC的度数为；【解决问题】（3）如图②，已知∠AOB＝60°，射线OM从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒（0＜t＜9）．若OM、ON、OA三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求出所有可能的t值．8．（2022·湖北武汉·七年级期末）【学习概念】如图1，在∠AOB的内部引一条射线OC，则图中共有3个角，分别是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“好好线”．【理解运用】（1）①如图2，若∠MPQ＝∠NPQ，则射线PQ∠MPN的“好好线”（填“是”或“不是”）；②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射线PQ是∠MPN的“好好线”，请用含α的代数式表示∠MPN；【拓展提升】（2）如图3，若∠MPN＝120°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒12°的速度逆时针旋转，旋转的时间为t秒．当PQ与PN成110°时停止旋转．同时射线PM绕点P以每秒6°的速度顺时针旋转，并与PQ同时停止．当PQ、PM其中一条射线是另一条射线与射线PN的夹角的“好好线”时，则t＝秒．9．（2022·河北·泊头市教师发展中心七年级期中）【实践操作】三角尺中的数学．(1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，．①若，则_________；若，则______；②猜想与的大小有何特殊关系，并说明理由；(2)如图2，若是两个同样的直角三角尺锐角的顶，点A重合在一起，，则与的大小又有何关系，请说明理由；(3)已知，（都是锐角），如图3，若把它们的顶点O重合在一起，请直接写出与的大小关系：________．10．（2022·河南·郑州市第四初级中学七年级期末）【阅读理解】如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有两个角的度数之比为1：2，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．(1)∠AOB的角平分线这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）(2)若∠AOB＝120°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC＝．【问题解决】(3)如图②，已知∠AOB=150°，射线OP从OA出发，以20°/s的速度顺时针方向旋转，射线OQ从OB出发，以10°/s的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当其中一条射线旋转到与∠AOB的边重合时，运动停止，设旋转的时间为t（s），当t为何值时，射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的幸运线？试说明理由．11．（2022·陕西·西安七年级期末）如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，射线OP从OF处开始出发，绕点O逆时针匀速旋转，旋转速度为每秒5度：射线OQ从OC处开始出发，绕点O顺时针匀速旋转，两条射线同时开始旋转（当射线OQ旋转至与射线OF重合时，OP、OQ同时停止运动），旋转时间为t秒.（旋转速度÷旋转角度：旋转时间）(1)当t＝秒，射线OP平分∠AOB时；(2)若射线OQ的旋转速度为每秒4度时，请求出当∠POQ=60°时，射线OP旋转的时间；(3)若射线OQ的旋转速度为每秒3度时，是否存在某个时刻，使得射线OQ，OP，OB中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的的值，若不存在，请说明理由．12．（2022成都市七中育才学校七年级期末）如图1，在表盘上12：00时，时针、分针都指向数字12，我们将这一位置称为“标准位置”(图中)．小文同学为研究12点分()时，时针与分针的指针位置，将时针记为，分针记为．如：12：30时，时针、分针的位置如图2所示，试解决下列问题：（1）分针每分钟转动°；时针每分钟转动°；（2）当与在同一直线上时，求的值；（3）当、、两两所夹的三个角、、中有两个角相等时，试求出所有符合条件的的值．(本小题中所有角的度数均不超过180°)13．（2022·江西莲花县·七年级期末）乐乐对几何中角平分线的兴趣浓厚，请你和乐乐一起探究下面问题吧．已知°，射线分别是和的平分线；（1）如图1，若射线在的内部，且，求的度数；（2）如图2，若射线在的内部绕点旋转，则的度数为；（3）若射线在的外部绕点旋转(旋转中，均指小于的角)，其余条件不变，请借助图3探究的大小，请直接写出的度数(不写探究过程)14．（2022·福建·福州时代中学七年级期末）已知，OC、OD是过点O的射线，射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB．(1)如图①，若OC、OD是∠AOB的三等分线，则______°(2)如图②，若，，则______°(3)如图③，在∠AOB内，若，则______°(4)将（3）中的∠COD绕着点O逆时针旋转到∠AOB的外部（，），求此时∠MON的度数．15．（2022·福建泉州·七年级期末）如图，射线OC在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线OC是的“倍分线”．(1)如图，若，射线OC绕点O从OB位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转t秒，且．①当秒时，OC______的“倍分线”；（填“是”或“不是”）②若射线OA是的“倍分线”，求t的值；(2)如图，射线AF绕点A从AB位置开始逆时针旋转，同时射线BG绕点B从BA的位置开始顺时针旋转，且，两条射线相交于点C．CD、CE分别是的高和角平线，是否存在CE是的“倍分线”的情况？若存在，请求出与应满足的数量关系；若不存在，请说明理由．16．（2022·贵州铜仁·七年级期末）沿河县某初中七年级的数学老师在课外活动中组织学生进行实践探究，用一副三角尺（分别含，，和，，的角）按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器刻度线重合，边AP与量角器刻度线重合，将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒的速度顺时针旋转，当边PB与刻度线重合时停止运动，设三角尺ABP的运动时间为t秒．(1)当时，__________；(2)若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转．①当t为何值时，边PB平分；②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．17．（2022·湖北孝感·七年级期末）如图，直线与相交于点O，将一直用三角尺AOB的直角顶点与点O重合．(1)如图1，若°，试说明；(2)小学时我们学习过，把一个图形绕着一个固定的点旋转某一角度，这个图形的形状和大小都不会发生改变．如图2，若°，OB平分，将三角尺AOB以每秒5°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为秒．如果，0≤≤42，当为何值时，直线EF平分？18．（2022·四川成都·七年级期末）点O直线AB上一点，过点O作射线OC，使得∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．（1）如图1，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，求∠MOC的度数