专题11 特殊的平行四边形中的图形变换模型-翻折（折叠）模型（原卷版）

专题11.特殊的平行四边形中的图形变换模型--翻折（折叠）模型几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。翻折以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（菱形、矩形、正方形等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。【知识储备】折叠问题的解决,大都是以轴对称图形的性质作为切入点，而数形变化,是解决这类问题的突破口。有了“折”就有了”形”--轴对称图形、全等形；有了“折”就有了“数”--线段之间、角与角之间的数量关系。"折”就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁。特殊平行四边形中的折叠问题,还要考虑特殊平行四边形本身的性质,有时也需要用到计算工具：相似和勾股定理。折叠的性质:重合部分是全等图形,对应边、对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分。【知识储备】1）矩形的翻折模型【常见模型】例1．（2023春·辽宁营口·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，点为的中点，连接，将沿着翻折得到，连接，则的长为（

）A．3.6 B．4.8 C．7.2 D．8.6例2．（2023春·河南商丘·八年级统考期末）如图，在长方形中．，，将沿翻折，使得点D落在边上处，则的长是（

）

A．3 B．4 C． D．例3．（2023春·广东潮州·八年级统考期末）如图矩形沿着对角线翻折，点落在点处，与相交于点，若．(1)求证：；(2)求的长．

例4．（2023·贵州·八年级统考期末）如图，在矩形中，点是的中点，连接，将沿着翻折得到，交于点，延长交的延长线于点．若，，则（）

A． B． C． D．例5．（2023春·四川南充·八年级期末）如图，现有一张长方形纸片，将长方形纸片沿直线翻折，使点B与点D重合，折痕分别交边于点E，F，点A的对应点为，则折痕的长为（

）

A． B． C．5 D．例6．（2023春·江苏连云港·八年级统考期末）如图，矩形中，，，点O为矩形的对称中心，点E为边上的动点，连接并延长交于点F．将四边形沿着翻折，得到四边形边交边于点G，连接、，则的面积的最小值为．

例7．（2023春·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，，，则矩形ABCD的周长为（

）A．18cm B．18.4cm C．19.6cm D．20cm例8．（2023秋·山西·九年级专题练习）综合与实践：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线．(1)如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则＝

°，＝

；(2)如图2，若F为的中点，平分，，，求的度数及的长；(3)，，若F为的三等分点，请直接写出的长．2）菱形的翻折模型【常见模型】例1．（2023春·广西来宾·八年级校考期末）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与、重合），折痕为，若，，则的长为．

例2．（2023春·河北保定·八年级统考期末）如图，在平行四边形中，，M是边的中点，N是边上的动点，将沿所在的直线翻折得到，连接．对于结论I、Ⅱ，下列判断正确的是（

）

结论I：当时，四边形是菱形；结论Ⅱ：当点在线段上时，的长度为A．I对Ⅱ不对 B．I不对Ⅱ对 C．I、Ⅱ都不对 D．I、Ⅱ都对例3．（2023·山东枣庄·九年级校考阶段练习）如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点A落在的中点处，折痕为，点，分别在边，上，则的长为（

）A． B． C． D．例4．（2023春·湖北十堰·八年级校联考期中）如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为，与交于点H，有如下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是（

）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④例5．（2023·浙江·九年级期末）对角线长分别为6和8的菱形如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，两点重合，是折痕．若，则的长为．例6．（2023秋·重庆·九年级专题练习）如图，在菱形中，，，点是的中点，点是上一点，以为对称轴将折叠得到，以为对称轴将折叠得到，使得点落到上，连接．下列结论错误的是（

）

A． B． C． D．3）正方形的翻折模型【常见模型】例1．（2023·陕西渭南·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是CD的中点，将△BCE沿BE翻折至△BFE，G是BE的中点，连接FG，则FG的长度是（

）A． B． C． D．例2．（2023·广西玉林·统考模拟预测）如图，在正方形ABCD的边AB上取一点E，连接CE，将△BCE沿CE翻折，点B恰好与对角线AC上的点F重合，连接DF，若BE＝2，则△CDF的面积是（）A．1 B．3 C．6 D．例3．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，ABCD是一张边长为4cm的正方形纸片，E，F分别为AB，CD的中点，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在EF上的点A′处，则EG＝cm．例4．（2023春·重庆·八年级专题练习）如图，在正方形中，，点、分别在边、上，沿翻折，使点的对应点恰好落在边的中点处，若点的对应点为，则线段的长为；若线段的垂直平分线分别交、于点、，则.例5．（2023·四川广元·统考一模）如图，在正方形中，，点E在边上，且，将沿对折至，延长交边于点G，连接，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（填序号）．例6．（2023·广东深圳·统考中考模拟）如图在正方形中，，将沿翻折，使点对应点刚好落在对角线上，将沿翻折，使点对应点落在对角线上，求.例7．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）问题情境：如图1，在正方形中，，点是边上一点（点不与重合），将沿直线翻折，点落在点处．(1)如图2，当点落在对角线上时，求的长．(2)如图3，连接分别交于点，点，连接并延长交于点，当为中点时，试判断与的位置关系，并说明理由．

(3)如图4，在线段上取一点，且使，连接，则在点从点运动到点的过程中，的值是否存在最小值？如果存在，请求出其值；若果不存在，请说明理由．课后专项训练1．（2023春·湖北·八年级专题练习）如图，折叠菱形纸片，使得对应边过点C，若，当时，的长是（

）A． B． C． D．2．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，菱形的对角线相交于点O，，，将菱形按如图所示的方式折叠，使点B与O重合，折痕为，则五边形的周长为（）A． B． C． D．3．（2023春·湖北恩施·八年级校考期末）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，P为AB的中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC的度数是（）A．45° B．60° C．75° D．80°4．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，菱形ABCD中，点E在AD上，将△ABE沿着BE翻折，点A恰好落在CD上的点F处．若∠A=65°，则∠DFE的度数为（）A． B． C． D．5．（2023·浙江·八年级期中）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将沿AE对折至，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．则下列结论：①；②BG＝CG；③；④；⑤∠AGB+∠AED＝135°．其中正确的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．26．（2022春·河北邢台·八年级校考期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，，点E在边AD上，，点F在边BC上，将四边形CDEF沿EF所在的直线翻折，点D恰好落在点O处，点C落在点处．下列结论中，正确的有（

）①；②过点O作于点P，是等腰直角三角形；③AB的长为A．3个 B．2个 C．0个 D．1个7．（2023春·重庆铜梁·八年级校考期末）如图，在矩形中，点P在边上，连接，将沿翻折得到，沿翻折得到，与交于点E．若，，则的度数为（）A． B． C． D．8．（2023春·重庆合川·八年级统考期末）如图，在矩形中，，为的中点，连接，将沿所在直线翻折至四边形所在平面内，得，延长与交于点，若，则四边形的面积为（）

A． B．8 C．12 D．169．（2023春·重庆南岸·八年级校联考期中）如图，四边形是一张矩形纸片，，若沿过点的折痕将角翻折，使点落在上的处，折痕交于点，则的度数为（

）A． B． C． D．10．（2023春·广东八年级期中）如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片翻折，使点C恰好落在对角线交点O处，折痕为，点E在边上，则的长为（）A．12 B．15 C．10 D．1511．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，正方形的边长为10，点是边的中点，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，则的最小值是（

）

A． B． C． D．12．（2023·陕西西安·八年级校考期末）如图，正方形ABCD的边长为5，点E是CD上的一点，且DE＝2，将正方形沿AE翻折，点D落在点M处，延长EM交BC于点F，则BF的长为（）A． B． C． D．13．（2023·广东深圳·一模）如图，将正方形翻折，使点、分别与点、重合，折痕为，交于点，交于点，连接、．给出以下结论：①垂直平分；②；③；④的周长等于的2倍．其中正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个14．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，正方形沿BE翻折，延长交于G，正方形边长为12，E是中点，．

15．（2023·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）在矩形中，，，点E在边上，连接，将沿翻折，得到，交于点F，连接．若点F为的中点，则的长度为．16．（2023春·福建泉州·八年级统考期中）已知：如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、将矩形纸片沿着翻折，使点与点重合，点与点重合，连接，①如图1，若，，则；②如图2，直线分别交平行四边形的边、于点、，将平行四边形沿着翻折，使点与点重合，点与点重合，连接，若，，，则四边形的面积是．17．（2023·河南信阳·校考三模）如图，在矩形ABCD中，，，将矩形翻折，使边AD与边BC重合，展开后得到折痕MN，E是AD的中点，动点F从点D出发，沿的方向在DC和CB上运动，将矩形沿EF翻折，点D的对应点为G，点C的对应点为，当点G恰好落在MN上时，点F运动的距离为．

18．（2023春·江苏无锡·八年级校考期中）如图，矩形中，，，将沿对角线翻折得到，与交于点E，再以为折痕，将进行翻折，得到．若两次折叠后，点恰好落在的边上，则的长为．19．（2023·江苏苏州·八年级统考期末）如图，在正方形中，点E是边的中点，将沿翻折得到．延长交于点H，连接．(1)求证：；(2)若，求的长．

20．（2022秋·江西景德镇·九年级统考期中）【操作体验】如图，在正方形中，点在边上，点在边上．将四边形沿直线翻折，得到四边形，顶点落在边上的点（不与点、重合）处，点落在正方形右侧的点处，与相交于点．（1）在图1中，若，，则_____，的度数为_________【操作体验】（2）当时，如图2，求证：．【操作体验】（3）利用图3探究，当正方形边长不变时，随着折痕的变化，的周长是否会发生变化？如果会，请说明变化规律；如果不会，请加以证明，并探究正方形周长与的周长的关系．

21．（2023·广东深圳·校考三模）在四边形中，E是上一点，连接，将沿翻折得到，