专题06 全等模型-角平分线模型（原卷版）

专题06全等模型-角平分线模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）【模型解读与图示】条件：如图1，为的角平分线、于点A时，过点C作.结论：、≌.图1图2常见模型1（直角三角形型）条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作.结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.）图3常见模型2（邻等对补型）条件：如图3，OC是∠COB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。结论：①；②；③.例1．（2023秋·山东菏泽·八年级统考期末）如图，在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点D、E．②分别以点D、E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F．③作射线交于点G．如果，，的面积为18，则的面积为（

）

A．20 B．36 C．27 D．例2．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）如图，的外角的平分线与内角的平分线交与点P，若，则（

）

A． B． C． D．例3．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，四边形中，，点O为的中点，且平分．(1)求证：平分；(2)求证：；(3)求证：．

例4．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）【模型解读与图示】条件：如图1，为的角平分线，，结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三线合一等。图1图2图3条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F.结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。例1．（2023·浙江宁波·八年级校考期中）如图，△ABC的面积为16，∠PBC与∠PAB互余，AP⊥BP，则△PBC的面积．例2．（2022·绵阳市·九年级期中）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）如图1，点F为BC上一点，连接AF交BD于点E．若AB=BF，求证：BD垂直平分AF．（2）如图2，CE⊥BD，垂足E在BD的延长线上．试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点F为BC上一点，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足为E，EF与AC交于点M．直接写出线段CE与线段FM的数量关系．例3．（2022秋·河南信阳·八年级统考期末）情景观察：如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为D、E，CD与AE交于点F．①写出图1中所有的全等三角形；②线段AF与线段CE的数量关系是，并写出证明过程．问题探究：如图2，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足为D，AD与BC交于点E．求证：AE=2CD．模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）【模型解读与图示】条件：如图，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结.结论：≌，CB=CA。条件：如图，分别为和的角平分线，，在上截取，连结.结论：≌，≌，AB+CD=BC。例1．（2022秋·江苏·八年级专题练习）在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为．（2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．（3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）．例2．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，，是的平分线，延长至点，，试求的度数．例3．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．例4．（2022·山东烟台·九年级期末）已知在中，满足，(1)【问题解决】如图1，当，为的角平分线时，在上取一点使得，连接，求证：．(2)【问题拓展】如图2，当，为的角平分线时，在上取一点使得，连接，（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明：若不成立，请说明理由．(3)【猜想证明】如图3，当为的外角平分线时，在的延长线上取一点使得，连接，线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．课后专项训练1．（2022春·江苏宿迁·七年级校考阶段练习）如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④四边形，其中正确的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．12．（2023春·广东深圳·八年级统考开学考试）如图，在中，，是边上的高，是的平分线，交于点F，下面说法：①；②；③；④．其中正确的说法有（

）个．

A．1 B．2 C．3 D．43．（2023春·山东威海·七年级统考期末）如图，在中，，，，分别是和的角平分线，，交于点O，分别过点O作于点M，作于点N．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（

）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个4．（2023春·广东惠州·八年级校考开学考试）如图，在中，平分，，，则与之间的大小关系是（）

A． B． C． D．无法确定5．（2023春·陕西西安·七年级校考期末）如图，，和分别平分和，过点P且与垂直，若，，则的面积为（

）

A．15 B．20 C．30 D．806．（2023春·山东泰安·七年级校考开学考试）如图，在中，交于点平分交于点的面积为20，则的长为．

7．（2023春·江苏苏州·七年级统考期末）如图，在中，，．以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、边于点、；再分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点；作射线交边于点．若的面积为，则的面积为．8．（2023春·山东枣庄·八年级校联考阶段练习）如图所示，已知直线平分且，求与之间的关系并说明理由．

9．（2023·重庆·八年级专题练习）阅读与思考下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题．例：如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积．

该问题的解答过程如下：解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点，

平分，．，．在和中，，（依据1）（依据2），，，．……任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________；任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整；应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长．

10．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝CD．11．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知在四边形ABCD中，BD是的平分线，．2求证：．12．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，已知B（-1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．（1）求证：∠ABD=∠ACD；（2）求证：AD平分∠CDE；（3）若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．13．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在四边形中，，点E是的中点，平分．求证：是的平分线．14．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，四边形中，，点E为的中点，且平分．(1)求证：平分；(2)求证：．15．（2022春·江西萍乡·八年级统考期中）已知是的平分线，点P是射线上一点，，点C、D分别在射线、上，连接、．(1)如图①，当，时，则与的数量关系是___________．(2)如图②，点C、D在射线、上滑动，且，当时与在（1）中的数量关系还成立吗?说明理由．(3)在问题（2）中，则四边形的面积S是否会发生变化?若不会发生变化，请直接写出面积S的值，若发生变化，请说明理由16．（2022·江苏·一模）如