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文档简介
专题03圆中的重要模型-圆弧的中点模型当圆中出现弧的中点时,我们要注意考虑几个方面:三角形的中位线,垂径定理,圆周角定理,弦,弧,圆心角,圆周角的关系等等。其关系复杂,在理解其做辅助线的方法和分析技巧的基础之上,还要注意各知识点之间的联系,才是形成稳固的解题思路以及推导模式的最佳选择,以便于最后才能突破复杂的综合题型以及压轴题型。当圆中出现弦的中点或弧的中点时,我们联想到的是利用垂径定理以及圆周角定理进行思路的突破,这样的解决方式比较直接,而且能够提高大家解题的效率模型1、与垂径定理相关的中点模型图1图2图31)如图1,已知点P是中点,连接OP,则OP⊥AB.2)如图2,已知过点P作MN∥AB,则MN是圆O的切线.3)如图3,变换条件:连接BP、AP,若∠BPN=∠A,则MN是圆O切线.例1.(2023·浙江·九年级假期作业)如图,是半径为8的的弦,点C是优弧的中点,,则弦的长度是(
)A.8 B.4 C. D.例2.(2023·山东临沂·统考一模)如图,是半圆的直径,点在半圆上,点为的中点,连接,,,与相交于点,过点作直线,交的延长线于点.(1)求证:是的切线;(2)若,,求阴影部分的面积.例3.(2023·福建龙岩·统考一模)如图,点C是的中点,直线与相切于点C,直线与切线相交于点E,与相交于另一点D,连接,.(1)求证:;(2)若,求的度数.例4.(2023·山东潍坊·统考二模)如图,为的直径,点D为圆周上一点(不与A,B重合),点C为的中点,连接BC并延长至点E,连接AE,AC,恰有AC平分.(1)求证:为的切线;(2)作,,垂足分别为点D,F,若,,求AE的长.
模型2、与圆周角定理相关的中点模型(母子型)图1图2图31)如图1,已知点P是中点,点C是圆上一点,则∠PCA=∠PCB.2)如图2,已知点P是半圆中点,则∠PCA=∠PCB=45°.3)如图3,已知点P是中点,则∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB.可得:△PDA∽△PAC;△PDB∽△PBC.可得:△CAP∽△CDB;△CAD∽△CPB.例1.(2023·浙江温州·九年级校考阶段练习)如图,在中,点A是的中点,若,则的度数为(
)A. B. C. D.例2.(2023·山东德州·统考二模)如图1,内接于,点是劣弧的中点,且点与点位于的异侧.(1)请用圆规和无刻度直尺在图1中确定劣弧的中点;(2)在图1中,连接交于点,连接,求证;(3)如图2,点是半圆的中点,若⊙O的直径,求和的长.
例3.(2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习)如图,已知是圆的直径,点在圆上,且,过点作弦的平行线与的延长线交于点(1)若圆的半径为,且点为弧的中点时,求线段的长度;(2)在(1)的条件下,当,α时,求线段的长度;(答案用含α的代数式表示);(3)若,且,求的面积.例4.(2023·四川巴中·统考一模)如图,是半圆O的直径,D为半圆O上的点(不与A,B重合),连接,点C为的中点,过点C作,交的延长线于点F,连接,交于点E.(1)求证:是半圆O的切线.(2)求证:.(3)若,,求阴影部分的面积.模型3、垂径定理与圆周角定理结合的中点模型如图,AB是直径,点P是中点,过点P作PH⊥AB交AB于点H,则△ADP∽△APC.以下作图可证明:∠PAC=∠APH,即可得△PAD是等腰三角形.例1.(2023·湖南长沙·长沙市统考一模)如图,已知是的直径,与相切于点,与相交于点,是弧的中点,现有如下几个结论:,,,,其中正确的个数为(
)A.个 B.个 C.个 D.个例2.(2023·浙江金华·校联考二模)如图,是的直径,C是上一点,点D是弧的中点,于点E,交于点F,已知,的半径为2,则的长为.例3.(2023·河南信阳·统考一模)如图,是的直径,点是圆上一点,点是的中点,,过点作的切线交的延长线于点.(1)求证:;(2)若,的半径是3,求的长.例4.(2023·四川成都·统考二模)如图,是的一条弦,点是中点,连接,,交于点.过点作的切线交的延长线于点,延长交于点,连接交于点,连接.(1)求证:;(2)已知,求的值.
模型4、与托勒密定理相关的中点模型图1图21)同侧型:条件:如图5,A为弧BC中点,D为圆上等腰三角形底边下方一点,结论:BD+CD=2AD×cosθ;特别地:1)当三角形为等边三角形时(即θ=60°);结论:BD+CD=AD2)当三角形为等腰直角三角形时(即θ=90°);结论:BD+CD=AD3)当三角形为120°的等腰直角三角形时(即θ=120°);结论:BD+CD=AD2)异侧型:条件:如图5,A为弧BC中点,D为圆上等腰三角形底边下方一点,结论:BD-CD=2AD×cosθ;特别地:1)当三角形为等边三角形时(即θ=60°);结论:BD-CD=AD2)当三角形为等腰直角三角形时(即θ=90°);结论:BD-CD=AD3)当三角形为120°的等腰直角三角形时(即θ=120°);结论:BD-CD=AD例1.(2023·浙江·九年级期中)如图,为圆内接四边形的对角线,且点D为的中点;(1)如图1,若、直接写出与的数量关系;(2)如图2、若、平分,,求的长度.例2.(2023·云南红河·统考二模)如图,在中,为的直径,过点C作射线,,点B为弧的中点,连接,,.点P为弧上的一个动点(不与B,C重合),连接,,,.(1)若,判断射线与的位置关系;(2)求证:.
例3.(2023·山西阳泉·九年级统考期末)阅读下列材料,并完成相应的任务.任务:(1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别指什么?依据1:
依据2:(2)当圆内接四边形ABCD是矩形时,托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理:(请写出定理名称).(3)如图(3),四边形ABCD内接于⊙O,AB=3,AD=5,∠BAD=60°,点C是弧BD的中点,求AC的长.课后专项训练1.(2023·陕西宝鸡·统考三模)如图,,是的两条直径,点是劣弧的中点,连接,.若,则的度数为(
)
A. B. C. D.2.(2023·重庆·三模)如图,是半径为6的的直径,是弦,是弧的中点,与相交于点,若为的中点,则的长为(
)A. B. C. D.3.(2023·浙江温州·校考二模)如图,点A,B在以为直径的半圆上,B是的中点,连接交于点E,若,则的度数是(
)A. B. C. D.4.(2023·山东德州·统考一模)如图,是的直径,点E,C在上,点A是的中点,过点A作的切线,交的延长线于点D,连接.若,则的度数(
)A. B. C. D.5.(2023·安徽滁州·校考三模)如图,圆内接四边形的边过圆心O,过点C的切线与边的延长线交于点E,若点D是的中点,,则的度数为(
)
A. B. C. D.6.(2023·重庆·校考二模)如图,在中,是圆的直径,过点B作的切线,连接交于点D,点E为弧中点,连接,若,,则的长为(
)A.2 B. C. D.7.(2023·湖北十堰·统考模拟预测)如图,⊙O的内接四边形中,,,,点C为弧的中点,则的长是(
)A. B. C. D.8.(2023·江苏盐城·景山中学校考三模)如图,四边形内接于,A为中点,,则等于()
A. B. C. D.9.(2023·河南三门峡·统考二模)如图,在扇形中,,,点是中点,点分别为线段上的点,连接,当的值最小时,图中阴影部分的面积为.
10.(2022·广东东莞·九年级校考期末)如图,A,B,C,D是圆上的四个点,点是弧的中点,如果,那么.
11.(2023·安徽安庆·校考二模)已知,如图,点是优弧的中点,,,则的半径是.
12.(2023·黑龙江哈尔滨·校考二模)如图,是的内接三角形,点D是弧的中点,已知,,则度.13.(2023·湖南岳阳·统考中考真题)如图,在中,为直径,为弦,点为的中点,以点为切点的切线与的延长线交于点.(1)若,则的长是(结果保留);(2)若,则.
14.(2023·辽宁鞍山·统考三模)如图,是的直径,是中点,若,则.15.(2023·四川南充·统考中考真题)如图,是的直径,点D,M分别是弦,弧的中点,,则的长是.
16.(2023春·浙江金华·九年级校联考期中)如图,是的切线,为切点,直线交于两点,连接,.过圆心作的平行线,分别交的延长线、及于点.(1)求证:是的中点;(2)求证:;(3)若是的中点,的半径为6,求阴影部分的面积.
17.(2023春·广东东莞·九年级校考开学考试)如图,是的直径,是半圆上的一点,平分,垂足为,交于,连接.(1)求出:是的切线;(2)若,求的长;(3)若是弧的中点,的半径为,求图中阴影部分的面积.18.(2023·河南周口·校考三模)如图,为的直径,点C、D为上两点,且点D为的中点,连接.过点D作于点F,过点D作的切线,交的延长线于点E.(1)求
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