专题03 圆中的重要模型-圆弧的中点模型（原卷版）

专题03圆中的重要模型-圆弧的中点模型当圆中出现弧的中点时，我们要注意考虑几个方面：三角形的中位线，垂径定理，圆周角定理，弦，弧，圆心角，圆周角的关系等等。其关系复杂，在理解其做辅助线的方法和分析技巧的基础之上，还要注意各知识点之间的联系，才是形成稳固的解题思路以及推导模式的最佳选择，以便于最后才能突破复杂的综合题型以及压轴题型。当圆中出现弦的中点或弧的中点时，我们联想到的是利用垂径定理以及圆周角定理进行思路的突破，这样的解决方式比较直接，而且能够提高大家解题的效率模型1、与垂径定理相关的中点模型图1图2图31）如图1，已知点P是中点，连接OP，则OP⊥AB．2）如图2，已知过点P作MN∥AB，则MN是圆O的切线．3）如图3，变换条件：连接BP、AP，若∠BPN=∠A，则MN是圆O切线．例1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，是半径为8的的弦，点C是优弧的中点，，则弦的长度是（

）A．8 B．4 C． D．例2．（2023·山东临沂·统考一模）如图，是半圆的直径，点在半圆上，点为的中点，连接，，，与相交于点，过点作直线，交的延长线于点．(1)求证：是的切线；(2)若，，求阴影部分的面积．例3．（2023·福建龙岩·统考一模）如图，点C是的中点，直线与相切于点C，直线与切线相交于点E，与相交于另一点D，连接，．(1)求证：；(2)若，求的度数．例4．（2023·山东潍坊·统考二模）如图，为的直径，点D为圆周上一点（不与A，B重合），点C为的中点，连接BC并延长至点E，连接AE，AC，恰有AC平分．(1)求证：为的切线；(2)作，，垂足分别为点D，F，若，，求AE的长．

模型2、与圆周角定理相关的中点模型（母子型）图1图2图31）如图1，已知点P是中点，点C是圆上一点，则∠PCA=∠PCB．2）如图2，已知点P是半圆中点，则∠PCA=∠PCB=45°．3）如图3，已知点P是中点，则∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB．可得：△PDA∽△PAC；△PDB∽△PBC．可得：△CAP∽△CDB；△CAD∽△CPB．例1．（2023·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图，在中，点A是的中点，若，则的度数为（

）A． B． C． D．例2．（2023·山东德州·统考二模）如图1，内接于，点是劣弧的中点，且点与点位于的异侧．(1)请用圆规和无刻度直尺在图1中确定劣弧的中点；(2)在图1中，连接交于点，连接，求证；(3)如图2，点是半圆的中点，若⊙O的直径，求和的长．

例3．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，已知是圆的直径，点在圆上，且，过点作弦的平行线与的延长线交于点(1)若圆的半径为，且点为弧的中点时，求线段的长度；(2)在（1）的条件下，当，α时，求线段的长度；（答案用含α的代数式表示）；(3)若，且，求的面积．例4．（2023·四川巴中·统考一模）如图，是半圆O的直径，D为半圆O上的点（不与A，B重合），连接，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点F，连接，交于点E．(1)求证：是半圆O的切线．(2)求证：．(3)若，，求阴影部分的面积．模型3、垂径定理与圆周角定理结合的中点模型如图，AB是直径，点P是中点，过点P作PH⊥AB交AB于点H，则△ADP∽△APC．以下作图可证明：∠PAC=∠APH，即可得△PAD是等腰三角形．例1．（2023·湖南长沙·长沙市统考一模）如图，已知是的直径，与相切于点，与相交于点，是弧的中点，现有如下几个结论：，，，，其中正确的个数为（

）A．个 B．个 C．个 D．个例2．（2023·浙江金华·校联考二模）如图，是的直径，C是上一点，点D是弧的中点，于点E，交于点F，已知，的半径为2，则的长为．例3．（2023·河南信阳·统考一模）如图，是的直径，点是圆上一点，点是的中点，，过点作的切线交的延长线于点．(1)求证：；(2)若，的半径是3，求的长．例4．（2023·四川成都·统考二模）如图，是的一条弦，点是中点，连接，，交于点．过点作的切线交的延长线于点，延长交于点，连接交于点，连接．(1)求证：；(2)已知，求的值．

模型4、与托勒密定理相关的中点模型图1图21）同侧型:条件：如图5，A为弧BC中点，D为圆上等腰三角形底边下方一点，结论：BD+CD=2AD×cosθ；特别地：1）当三角形为等边三角形时（即θ=60°）；结论：BD+CD=AD2）当三角形为等腰直角三角形时（即θ=90°）；结论：BD+CD=AD3）当三角形为120°的等腰直角三角形时（即θ=120°）；结论：BD+CD=AD2）异侧型:条件：如图5，A为弧BC中点，D为圆上等腰三角形底边下方一点，结论：BD-CD=2AD×cosθ；特别地：1）当三角形为等边三角形时（即θ=60°）；结论：BD-CD=AD2）当三角形为等腰直角三角形时（即θ=90°）；结论：BD-CD=AD3）当三角形为120°的等腰直角三角形时（即θ=120°）；结论：BD-CD=AD例1．（2023·浙江·九年级期中）如图，为圆内接四边形的对角线，且点D为的中点；(1)如图1，若、直接写出与的数量关系；(2)如图2、若、平分，，求的长度．例2．（2023·云南红河·统考二模）如图，在中，为的直径，过点C作射线，，点B为弧的中点，连接，，．点P为弧上的一个动点（不与B，C重合），连接，，，．(1)若，判断射线与的位置关系；(2)求证：．

例3．（2023·山西阳泉·九年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应的任务.任务：（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别指什么？依据1：

依据2：（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：（请写出定理名称）.（3）如图（3），四边形ABCD内接于⊙O，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C是弧BD的中点，求AC的长.课后专项训练1．（2023·陕西宝鸡·统考三模）如图，，是的两条直径，点是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（

）

A． B． C． D．2．（2023·重庆·三模）如图，是半径为6的的直径，是弦，是弧的中点，与相交于点，若为的中点，则的长为（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江温州·校考二模）如图，点A，B在以为直径的半圆上，B是的中点，连接交于点E，若，则的度数是（

）A． B． C． D．4．（2023·山东德州·统考一模）如图，是的直径，点E，C在上，点A是的中点，过点A作的切线，交的延长线于点D，连接．若，则的度数（

）A． B． C． D．5．（2023·安徽滁州·校考三模）如图，圆内接四边形的边过圆心O，过点C的切线与边的延长线交于点E，若点D是的中点，，则的度数为（

）

A． B． C． D．6．（2023·重庆·校考二模）如图，在中，是圆的直径，过点B作的切线，连接交于点D，点E为弧中点，连接，若，，则的长为（

）A．2 B． C． D．7．（2023·湖北十堰·统考模拟预测）如图，⊙O的内接四边形中，，，，点C为弧的中点，则的长是（

）A． B． C． D．8．（2023·江苏盐城·景山中学校考三模）如图，四边形内接于，A为中点，，则等于（）

A． B． C． D．9．（2023·河南三门峡·统考二模）如图，在扇形中，，，点是中点，点分别为线段上的点，连接，当的值最小时，图中阴影部分的面积为．

10．（2022·广东东莞·九年级校考期末）如图，A，B，C，D是圆上的四个点，点是弧的中点，如果，那么．

11．（2023·安徽安庆·校考二模）已知，如图，点是优弧的中点，，，则的半径是．

12．（2023·黑龙江哈尔滨·校考二模）如图，是的内接三角形，点D是弧的中点，已知，，则度．13．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，在中，为直径，为弦，点为的中点，以点为切点的切线与的延长线交于点．（1）若，则的长是（结果保留）；（2）若，则．

14．（2023·辽宁鞍山·统考三模）如图，是的直径，是中点，若，则．15．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，是的直径，点D，M分别是弦，弧的中点，，则的长是．

16．（2023春·浙江金华·九年级校联考期中）如图，是的切线，为切点，直线交于两点，连接，．过圆心作的平行线，分别交的延长线、及于点．(1)求证：是的中点；(2)求证：；(3)若是的中点，的半径为6，求阴影部分的面积．

17．（2023春·广东东莞·九年级校考开学考试）如图，是的直径，是半圆上的一点，平分，垂足为，交于，连接．(1)求出：是的切线；(2)若，求的长；(3)若是弧的中点，的半径为，求图中阴影部分的面积．18．（2023·河南周口·校考三模）如图，为的直径，点C、D为上两点，且点D为的中点，连接．过点D作于点F，过点D作的切线，交的延长线于点E．(1)求