2024-2025学年天津市南开大学附中九年级（上）第一次月考数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年天津市南开大学附中九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）下列方程：①x2﹣5＝0；②ax2+bx+c＝0；③（x﹣2）（x+3）＝x2+1；④x2﹣4x+4＝0；⑤x2+＝4中，一元二次方程的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0的两个根，则x1+x2的值是（）A．6 B．﹣6 C．5 D．﹣53．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方可变形为（）A．（x﹣3）2＝14 B．（x﹣3）2＝4 C．（x+3）2＝14 D．（x+3）2＝44．（3分）若关于x的方程x2+mx﹣6＝0有一个根为2．则另一个根为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣35．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣3）＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜2 C．m≥2 D．m≤26．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b的图象可能是（）A． B． C． D．7．（3分）抛物线y＝（x+2）2﹣3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位8．（3分）由二次函数y＝2（x﹣3）2+1，可知（）A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x＝﹣3 C．其最小值为1 D．当x＜3时，y随x的增大而增大9．（3分）已知函数y＝（x﹣m）2﹣1，当x＜1时，y随x的增大而减小（）A．m＝1 B．m＞1 C．m≥1 D．m≤110．（3分）已知二次函数的图象上有三个点，B（2，y2），，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y111．（3分）为宣传“扫黑除恶”专项行动，社区准备制作一幅宣传版面，喷绘时为了美观，已知图案的长为2米，宽为1米，若设白边的宽为x米，则根据题意可列出方程（）A．90%×（2+x）（1+x）＝2×1 B．90%×（2+2x）（1+2x）＝2×1 C．90%×（2﹣2x）（1﹣2x）＝2×1 D．（2+2x）（1+2x）＝2×1×90%12．（3分）抛物线y＝a（x+1）2﹣2与x轴交于点（﹣3，0），则该抛物线与x轴另一交点的坐标是（）A． B．（1，0） C．（2，0） D．（3，0）二、填空题（每小题3分，共15分）13．（3分）若关于x的方程（a+2）x|a|﹣3x+2＝0是一元二次方程，则a的值为．14．（3分）当x＝时二次函数有最值为15．（3分）某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今、明两年的投资总额为12万元，求该校这两年在器材投资商的平均增长率是多少？若设该校这两年在实验器材投资上的平均增长率是x．16．（3分）已知：（a2+b2）（a2+b2﹣3）＝10，则a2+b2＝17．（3分）定义新运算：m，n是实数，m*n＝m（2n﹣1），n是方程2x2﹣x+k＝0（k＜0）的两根，则m*m﹣n*n＝．三、解答题（共49分）18．解方程（1）（x﹣1）2+2x（x﹣1）＝0；（2）（2x﹣5）2﹣（x+4）2＝0；（3）（配方法）（4）（x+8）（x+1）＝﹣12．19．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．20．已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两实根的平方和等于11，则k的值为．21．已知抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点A在直线y＝﹣4x上，且抛物线经过点（2，﹣3）．（1）求抛物线解析式．（2）求抛物线与x轴、y轴交点坐标．22．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？23．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，点P从点A沿边AB以1cm/s的速度向点B移动，同时点Q从点B沿边BC以2cm/s的速度向点C移动，则另一个点也停止运动．当△DPQ的面积比△PBQ的面积大19.5cm2时，求点P运动的时间．

2024-2025学年天津市南开大学附中九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）下列方程：①x2﹣5＝0；②ax2+bx+c＝0；③（x﹣2）（x+3）＝x2+1；④x2﹣4x+4＝0；⑤x2+＝4中，一元二次方程的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①x2﹣5＝6是一元二次方程；②a＝0时ax2+bx+c＝2是一元一次方程；③（x﹣2）（x+3）＝x7+1是一元一次方程；④x2﹣6x+4＝0是一元二次方程；⑤x5+＝4，故选：B．2．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0的两个根，则x1+x2的值是（）A．6 B．﹣6 C．5 D．﹣5【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x5﹣6x﹣5＝3的两个根，∴x1+x2＝8，故选：A．3．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方可变形为（）A．（x﹣3）2＝14 B．（x﹣3）2＝4 C．（x+3）2＝14 D．（x+3）2＝4【解答】解：x2﹣6x﹣7＝0，x2﹣8x＝5，x2﹣6x+9＝14，所以（x﹣3）7＝14．故选：A．4．（3分）若关于x的方程x2+mx﹣6＝0有一个根为2．则另一个根为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3【解答】解：设方程的另一个根为α，根据根与系数的关系，2α＝﹣6，∴α＝﹣6．故选：D．5．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣3）＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜2 C．m≥2 D．m≤2【解答】解：根据题意得：Δ＝22+3（m﹣3）＝4+6m﹣12＝4m﹣8≥6，解得：m≥2，故选：C．6．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b的图象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+4＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4（kb+1）＞4，∴kb＜0，当k＞0，b＜3时、三、四象限，b＞0时、二、四象限．故选：B．7．（3分）抛物线y＝（x+2）2﹣3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位【解答】解：抛物线y＝x2向左平移2个单位可得到抛物线y＝（x+7）2，抛物线y＝（x+2）8，再向下平移3个单位即可得到抛物线y＝（x+2）8﹣3．故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移2个单位．故选：B．8．（3分）由二次函数y＝2（x﹣3）2+1，可知（）A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x＝﹣3 C．其最小值为1 D．当x＜3时，y随x的增大而增大【解答】解：由二次函数y＝2（x﹣3）2+1，可知：A：∵a＞0，其图象的开口向上；B．∵其图象的对称轴为直线x＝3；C．其最小值为1；D．当x＜3时，故此选项错误．故选：C．9．（3分）已知函数y＝（x﹣m）2﹣1，当x＜1时，y随x的增大而减小（）A．m＝1 B．m＞1 C．m≥1 D．m≤1【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝m，∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∴当x＜m时，y的值随x值的增大而减小，而x＜2时，y的值随x值的增大而减小，∴m≥1，故选：C．10．（3分）已知二次函数的图象上有三个点，B（2，y2），，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1【解答】解：∵二次函数解析式为，∴抛物线开口向上，且对称轴为直线x＝1，∴抛物线上的点离对称轴越远，其纵坐标越大．∵，B（2，y7），，∴7﹣（）＞2﹣2＞，∴y6＞y2＞y1．故选：D．11．（3分）为宣传“扫黑除恶”专项行动，社区准备制作一幅宣传版面，喷绘时为了美观，已知图案的长为2米，宽为1米，若设白边的宽为x米，则根据题意可列出方程（）A．90%×（2+x）（1+x）＝2×1 B．90%×（2+2x）（1+2x）＝2×1 C．90%×（2﹣2x）（1﹣2x）＝2×1 D．（2+2x）（1+2x）＝2×1×90%【解答】解：设白边的宽为x米，则整幅宣传版面的长为（2+2x）米，根据题意得：90%（2+2x）（1+3x）＝2×1．故选：B．12．（3分）抛物线y＝a（x+1）2﹣2与x轴交于点（﹣3，0），则该抛物线与x轴另一交点的坐标是（）A． B．（1，0） C．（2，0） D．（3，0）【解答】解：由题意，抛物线y＝a（x+1）2﹣8的对称轴为直线x＝﹣1，∵抛物线y＝a（x+1）2﹣2与x轴交于点（﹣3，8），∴该抛物线与x轴另一交点的坐标是（1，0），故选：B．二、填空题（每小题3分，共15分）13．（3分）若关于x的方程（a+2）x|a|﹣3x+2＝0是一元二次方程，则a的值为2．【解答】解：∵关于x的方程（a+2）x|a|﹣3x+8＝0是一元二次方程，∴|a|＝2，a+8≠0，解得，a＝2．故答案为：8．14．（3分）当x＝时二次函数有最大值为0【解答】解：∵a＜0，函数图象开口向下，∴当时，函数有最大值．故答案为：，大，6．15．（3分）某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今、明两年的投资总额为12万元，求该校这两年在器材投资商的平均增长率是多少？若设该校这两年在实验器材投资上的平均增长率是x2（1+x）+2（1+x）2＝12．【解答】解：设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率为x，由题意得：2（1+x）+8（1+x）2＝12．故答案为：3（1+x）+2（4+x）2＝12．16．（3分）已知：（a2+b2）（a2+b2﹣3）＝10，则a2+b2＝5【解答】解：设a2+b2＝n，则n（n﹣6）＝10，n2﹣3n﹣10＝7，（n﹣5）（n+2）＝7，∴n1＝5，n6＝﹣2，∵a2+b2≥0，∴n≥0，∴n＝3，即a2+b2＝4．故答案为：5．17．（3分）定义新运算：m，n是实数，m*n＝m（2n﹣1），n是方程2x2﹣x+k＝0（k＜0）的两根，则m*m﹣n*n＝0．【解答】解：∵m，n是方程2x2﹣x+k＝8（k＜0）的两根，∴2m8﹣m+k＝0，2n2﹣n+k＝0，即2m2﹣m＝﹣k，2n2﹣n＝﹣k，则m*m﹣n*n＝m（8m﹣1）﹣n（2n﹣6）＝2m2﹣m﹣（3n2﹣n）＝﹣k﹣（﹣k）＝﹣k+k＝0，故答案为：7．三、解答题（共49分）18．解方程（1）（x﹣1）2+2x（x﹣1）＝0；（2）（2x﹣5）2﹣（x+4）2＝0；（3）（配方法）（4）（x+8）（x+1）＝﹣12．【解答】解：（1）（x﹣1）2+2x（x﹣1）＝0，（x﹣3）（3x﹣1）＝8，∴x﹣1＝0或7x﹣1＝0，∴x3＝1，．（2）（2x﹣4）2﹣（x+4）2＝0，[（2x﹣7）+（x+4）][（2x﹣7）﹣（x+4）]＝0，（x﹣8）（3x﹣1）＝3，∴x﹣9＝0或4x﹣1＝0，∴x4＝9，．（3），，，即，∴，∴，．（4）（x+7）（x+1）＝﹣12，x2+4x+20＝0，（x+4）（x+4）＝0，∴x+4＝4或x+5＝0，∴x8＝﹣4，x2＝﹣3．19．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形；理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝8，则a＝b；（2）△ABC为直角三角形；理由：根据题意得Δ＝（2b）2﹣8（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c7＝a2，所以△ABC为直角三角形；（3）∵△ABC为等边三角形，∴a＝b＝c，∴方程化为x2+x＝6，解得x1＝0，x3＝﹣1．20．已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两实根的平方和等于11，则k的值为1．【解答】解：设方程x2+（2k+8）x+k2﹣2＝7两根为x1，x2得x5+x2＝﹣（2k+4），x1•x2＝k2﹣2，Δ＝（2k+7）2﹣4×（k3﹣2）＝4k+4≥0，∴k≥﹣，∵x12+x72＝11，∴（x1+x7）2﹣2x7x2＝11，∴（2k+6）2﹣2（k7﹣2）＝11，解得k＝1或﹣8；∵k≥﹣，∴k＝4，故答案为：1．21．已知抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点A在直线y＝﹣4x上，且抛物线经过点（2，﹣3）．（1）求抛物线解析式．（2）求抛物线与x轴、y轴交点坐标．【解答】解：（1）由题意知，抛物线顶点坐标为（1，∴设解析式为y＝a（x﹣1）4﹣4，将（2，﹣4）代入上式得：﹣3＝a﹣4，解得：a＝3，所以抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣8；（2）令x＝0，y＝﹣3，令y＝7，得0＝（x﹣1）6﹣4