皖南八校2025届高三上学期第一次大联考数学试题+答案

1.D集合A={父∈Z|父2≤4}={父∈Z|—2≤父≤2}={—2,—1,0,1,2},集合B={父∈N|父<4}={0,1,2,3},所以A∩B={0,1,2},则A∩B的子集个数为8.故选D.2.C"3父1<父2,使f(父1)<f(父2)”不能推出"f(父)是R上的增函数”,如f(父)=父2,父1=—1,父2=2,满足父1<父2,使f(父1)<f(父2),但f(父)不是R上的增函数.反之,若f(父)是R上的增函数,由增函数的定义,可知一定3父1<父2,使f(父1)<f(父2).故选C.3.A因为m>—n,所以不等式的解集为{父|父<—n或父>m}.故选A.4.Asinθ十cos(θ—=1→sinθ十cosθcos十sinθsin=1→\cosθ十\sinθ)=1→sin(θ十=\,则sin(θ十=sin(θ十十π)=—sin(θ十=—\.故选A.5.C作出函数y=cos父与y=2cos(2父—在[0,2π]上的图象,观察可得它们共有5个交点.故选C.图象开口向下,对称轴方程为父=,由g(父)的图象可知〈2≤2,解得3≤a≤4.故选D.6.D由题意知父(a—父)>0在(2,3)上恒成立,且函数g(图象开口向下,对称轴方程为父=,由g(父)的图象可知〈2≤2,解得3≤a≤4.故选D.(g(3)≥0,f(父)不恒相等,所以π不是f(父)的周期,故A错误;又f(π—父)=|sin父|—cos父十sin2父与f(父)不恒相等,故B错误;易知2π是函数f(父)的一个周期,所以只需f(父)=—t2十t十1=u(t),易知u(t)在区间[—1,\]上的最大值为最小值为u(—1)=—1.此时函数f(父)的最大值为,最小值为—1.②当父∈(π,2π)时,f(父)=t2—t—1=U(t),易知U(t)在区间[—\,1)上的最大值为U(—\)=\十1,最小值为U综上所述函数f(父)的最大值为\十1,最小值为—,故C正确;先研究函数f(父)在(0,2π]上的零点个数,由C可知当父∈(0,π]时,令u(t)=0得t=1—2\5,又因为t=\sin(父十=1—2\5<0在父∈(0,π]只有唯一解,即此时函数只有唯一零点.同理可得当父∈(π,2π]时函数也只有唯一零点.所以函数在(0,2025π]上恰有2025个零点.故D错误.故选C.8.Ba=ln=ln(1十),c=0.2=,对于a与b,令f=sin父—ln则:h在区间(0,1)上单调递减,【"皖八”高三一联.数学试卷参考答案第1页(共6页)W】“h(0)=1>0,h(1)=—sin1十<—sin十=—<0所以存在唯一的父0∈(0,1),使得当父∈(0,父0)时,h(父)=gI(父)>0当父∈(父0,1)时,h(父)=gI(父)<0,所以g(父)在(0,父0)上单调递增,在(父0,1)上单调递减,“g(0)=0,g(1)=cos1—>cos—>0,:fI(父)=g(父)>0,父∈(0,1),则f(父)在区间(0,1)上单调递增,“f(0)=0,:f(父)>0,父∈(0,1),即sin父>ln(1十父),父∈(0,1),则b>a.对于a与c,令m(父)=2=(1父2>0,父∈(0,1),所以m(父)在区间(0,1)上单调递增,“m(0)=0,:m(父)>0,父∈(0,1),即ln(1十父)>1父,父∈(0,1),则a>c.所以b>a>c.故选B.9.BC对于A,由正弦定理,得siA=siB,则sinB=bsiA=5×2=>1,此时△ABC无解,故A错误;对于B,函数y=cos父在(0,π)上单调递减,则A>B时,cosA<cosB,故B正确;对于C,因为cosAcosBcosC>0,(cosA>0,且角A,B,C为△ABC的内角,所以〈cosB>0,可知A,B,C均为锐角,则△ABC为锐角三角形,故C正确;(cosC>0,2)=0,:a—b=0或a2十b2—c2=0,即a=b或a2十b2=c2,:△ABC为等腰三角形或直角三角形,故D错误.故选BC.10.ACD对于A,log3十十log3b=log3十=log3(1十十≥1,当且仅当a=b=时等号成立,故A正确;对于B,32a十9b十1≥2\32a十2b十2=18,当且仅当32a=9b十1即a=1,b=0时,等号成立,与b>0矛盾,故B错误;对于C,(\十\)2=a十b十2\≤2(a十b)=2,当且仅当a=b=时,等号成立,则(b十1)b13≤2\33十1,当且仅当a=2\,b=\—1时,等号成立,故D正确.故选ACD.11.ACD对于A,设直线l与曲线f(父),g(父)分别相切于点M(m,em),N(n,lnn),则l:y—em=em(父—m)或ny—lnn=(父—n),即l:y=em父十em(1—mnm(1m)十mm(1m)十m十十lnn—1,:〈n,,m(1m)=lnn—1,1=0.令G(m)=em(1—m)十m十1,则G(1)=2>0,G(2)=3—e2<0,故方程em(1—m)十m十1=0有解,即曲线f(父),g(父)有相同的切线,故A正确;对于B,函数F(父)=(())=l父父的定义域为(0,1)U(1,十∞),(l父),令H(父)=ln父,则H(父)在(0,1)和(1,十∞)上单调递增,“H(1)=—1<0,H(e)=1—>0,:3父0∈(1,e),使得H(父0)=0,则当父∈(0,1)U(1,父0)时,H(父)<0,则FI(父)<0;当,十∞)时,H(父)>0,则FI(父)>0,:F(父)有三个单调区间,故B错误;对于C,易知当a=1时,y=f(父)—a父和y=a父—g(父)有相同的最小值1,故C正确;对于D,令h(父)=f(父)—父=e父—父,令φ(父)=父—g(父)=父—ln父,则h(父),φ(父)的图象大致如下:【"皖八”高三一联●数学试卷参考答案第2页(共6页)W】设交点为M(m,h(m)),易知0<m<1,由图象知,当直线y=a与曲线y=h(父)和曲线y=φ(父)共有三个不同的交点时,直线y=a必经过点M(m,h(m)),即a=h(m).因为h(m)=φ(m),所以em—m=m—lnm,即m—2m十lnm=0.令h(父)=φ(父)=a=h(m),得e父—父=父ln父=em—m,解得父=m,父=lnm或父=em.由0<m<1得m<1<em.所以当直线y=a与曲线y=h(父)和y=φ(父)共有三个不同的交点时,从左到右的三个交点的横坐标依次为lnm,m,em.因为em—2m十lnm=0,即em十lnm=2m,所以lnm,m,em成等差父3=2,故D正确.故选ACD.12.5因为A=B,故a—2=0或2a—2=0,那么a=2或a=1,检验得a=1.因为fI(父)=3父2十2,所以fI(a)=fI(1)=5.设w父十=t,由w>0,得t∈有两个零点可得2π<wπ十≤3π,即,又因为有三个极值点I=cost,得π<wπ十所以综上<w≤.14.—3因为f(父十1)为奇函数,所以f(—父十1)=—f(父十1),则f(父)的图象关于(1,0)中心对称,则f(1)=0.因为fI(父十2)为奇函数,所以fI(—父十2)=—fI(父十2),即fI(—父十2)十fI(父十2)=0,得[—f(—父十2)十f(父十2)]I=0.设—f(—父十2)十f(父十2)=c,c为常数,令父=0,得c=0,则f(—父十2)=f(父十2),所以f(父)的图象关于父=2轴对称,可得f(父十4)=f(—父)=—f(父十2),f(父十2)=—f(父),则f(父十4)=f(父),故函数f(父)是周期为4的函数.因为f(父十2)=—f(父),所以f(0)=—f(2)=—3,=0,所以f十f十f十f=0,所以=—3.解得<父≤2,.……………………2分:2m十1=3,解得m=1.当m=1时B={父|0≤父≤3},符合题意,故m=1.…………6分由得m=1,则f=ln父十父由fI(父)=0,得父=1,………………………10分当父∈(0,1)时,fI(父)<0,当父∈(1,十∞)时,fI(父)>0,:f(父)在父=1处取得极小值f(1)=1,无极大值.………13分 2w父【"皖八”高三一联●数学试卷参考答案第3页(共6页)W】 因为f(父)的最小正周期为π,所以2w==2,故w=1.……………………3分令2父十=kπ,k∈z,解得父=—,k∈z.……………5分所以f(父)的对称中心为—,—,k∈z.…………6分,],父2[0,都有h(父1)<2f(父2)十1,所以h(父1)max<2f(父2)min十1,父1∈[—,],父2∈[0,令t=sin父,得函数g(t)=t2十2at十a—1,t∈[—1,1].则h(父)max=g(t)max=max{g(1),g(—1)};………………10分所以max{g(1),g(—1)}<1,即{3a<1,3a<1,—a<13,,g(1)<1,g(—1)<1,故实数a的取值范围是(—1,.………………………15分17.(1)解:当a=1时,f(父)=2sin父—父十2,fI(父)=2cos父—1,……………2分当—十2kπ<父<十2kπ,k∈z时,fI(父)>0,当十2kπ<父<十2kπ,k∈z时,fI(父)<0,所以,f(父)的单调递增区间是(—十2kπ,十2kπ),k∈z,单调递减区间是十2kπ,十2kπ),k∈z.……………………………7分(2)证明:不等式2cos父≤f(父)恒成立,等价于a父十cos父—sin父—1≤0在父∈[0,上恒成立,令h(父)=a父十cos父—sin父—1,父∈[0,则当a≤时,h(0)≤0,h≤0成立.y=a父十cos父—sin父—1可以看作是关于a的一次函数,单调递增,对于Ya≤,Y父∈[0,h(父)≤φ(父)恒成立.【"皖八”高三一联●数学试卷参考答案第4页(共6页)W】故只需证明φ(父)=父十cos父—sin父—1≤0即可.(父十∈(1,\],则φ/(父)=—sin父—cos父<—1<0,故φ(父)在(0,上单调递减,又φ(0)=0,所以φ(父)≤0在父∈[0,上恒成立,即2cos父≤f(父)在父∈[0,恒成立.……15分18.解:(1)由\(sinBsinA—cosBcosA)=sinC,即—\3cos(A十B)=sinC,所以\cosC=sinC,即tanC=\,3.:C=π……………………3.(2)由等面积法可得:S=absinc=r(a十b十c),即:10\=r(a十b十c)=\ab,又r=3,得10\=(a十b十c)=\ab, 所以a十b十c=203①,ab=40②,…………7分在△ABC中,由余弦定理得c2=a2十b2—2abcosC,由C=,得c2=a2十b2—2abcos=a2十b2—ab=即:c2=(a十b)2—3ab③, 3.由①②③解得:c=\3………………………3.(3)由(1)可知,上ACD=上BCD=,在△ABC中,设AD=m(0<m<c),则BD=c—m,在△ACD中,由正弦定理,得=,则m=,在△BCD中,由正弦定理,得=,则c—m=,得c=m十,在△ABC中,由正弦定理,得==,则,得所以c=十=十,则十=\.…………………14分由基本不等式,得十=\≥2\,则ab≥,当且仅当a=b=4\33时取"=”.于是,S△ABC=absinC=\ab≥4\33.即△ABC的面积的最小值为4\33.……………17分【"皖八”高三一联●数学试卷参考答案第5页(共6页)W】所以fI(1)=a,gI(1)=—e,由题意可知fI(1)十gI(1)=0,则a=e.……3分(2)解:由fI(父)=e(1十ln父)=0,得父=(0,时,fI(父)<0,则(0,是f(父)的单调递减区间;父∈,十∞)时,fI(父)>0,则,十∞)是f(父)的单调递增区间.又由f(父)=e父ln父,得f(1)=0,则父∈(0,1)时,f(父)<0;父∈(1,十∞)时,f(父)>0;令H(父)=gI(父)=—(父十1)e父十e,则HI(父)=—(父十2)e父<0恒成立,所以gI(父)在父∈(0,十∞)单调递减,又gI(0)=—1十e>0,gI(1)=—e<0,则彐父0∈(0,1),使得gI(父0)=0恒成立,所以父∈(0,父0)时,gI(父)>0,则(0,父0)是g(父)的单调递增区间;父∈(父0,十∞)时,gI(父)<0,则(父0