第03讲等腰三角形的性质定理（2类题型）

第03讲等腰三角形的性质定理（2类题型）课程标准学习目标1.等腰三角形的性质定理；2.等边三角形的性质定理；1.理解并掌握等腰三角形的性质定理，并学会运用；2.理解并掌握等边三角形的性质定理，并学会运用；知识点01：等腰三角形的性质1、等腰三角形（1）定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。（2）性质①两腰相等②两底角相等（简称等边对等角）③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”）④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。【即学即练1】（2023·河北秦皇岛·校联考三模）下列说法正确的是（）A．等腰三角形的对称轴是底边的中线B．有理数与数轴上的点是一一对应的C．等腰三角形任意两个角相等D．三角形的三条高所在的直线一定交于一点【答案】D【分析】利用等腰三角形的性质，数轴和三角形的高的定义逐一判断即可解题．【详解】解：A.等腰三角形的对称轴是底边的中线所在的直线，故不正确；B.实数与数轴上的点是一一对应的，故不正确；C.等腰三角形的两个底角相等，故不正确；D.三角形的三条高所在的直线一定交于一点，故正确；故选D．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和数轴、以及三角形的高的定义，掌握相关性质和定义是解题的关键．【即学即练2】（2023秋·八年级单元测试）等腰三角形两边长为4和8，它的周长是（

）A．16 B．18 C．20 D．16或18【答案】C【分析】当等腰三角形的腰为4时，三边不能组成三角形；当腰长为8时，它的周长为8+8+4=20.【详解】解：当等腰三角形的腰为4时，∵4+4=8，∴该三边不能组成三角形，当等腰三角形的腰为时，它的周长为：8+8+4=20.故选C.【点睛】本题考点：等腰三角形.需要注意的是验证分情况讨论得出的边长是否能组成三角形.知识点02：等边三角形的性质等边三角形定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60°总结：图形等腰三角形等边三角形性

质两条边都相等三条边都相等两个角都相等三个角都相等，且都是60º底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合

每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合对称轴（1条）对称轴（3条）【即学即练3】（2023春·广东深圳·八年级深圳市福田区莲花中学校考开学考试）如图，是等边三角形，，若，则的度数为（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】过C作，根据平行线的性质得到，，根据等边三角形的性质可得，再计算即可．【详解】解：如图，过C作，∵，∴，∴，∵是等边三角形，∴，∴，故选B．

【点睛】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质，添加平行线，利用平行线的性质得到角的关系是解题的关键．【即学即练4】（2023春·山西太原·八年级统考期中）如图，已知是等边三角形，中线，交于点，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先利用等边三角形的性质可以求出、，然后利用三角形外角的性质即可求解．【详解】解：是等边三角形，，中线，交于点，∴，∴，故B正确．故选：B．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，同时也利用了三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质．题型01等腰三角形的性质定理1．（2023秋·山东泰安·七年级统考期末）如图，AB＝AC，∠B＝30°，AC的垂直平分线MN交BC于点D，则∠DAC＝（

）A．30° B．40° C．60° D．120°【答案】A【分析】根据等腰三角形性质求出∠C，根据线段垂直平分线性质得CD=AD，推出∠DAC＝∠C，即可求出答案．【详解】∵AB=AC∴∠C＝∠B＝30°∵MN垂直平分AC∴CD=AD∴∠DAC＝∠C＝30°故选A【点睛】本题考查了等腰三角形性质和线段垂直平分线性质的应用，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键．2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在等腰三角形ABC中，BA=BC，∠ABC=120°，D为AC边的中点，若BC=6，则BD的长为(

)A．3 B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质三线合一可得直角三角形，再利用直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵BA=BC，∠ABC=120°，∴∠C=∠A=30°，∵D为AC边的中点，∴BD⊥AC，∵BC=6，∴BD=BC=3，故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形与直角三角形的性质是解题的关键．3．（2023·河北秦皇岛·校联考三模）下列说法正确的是（）A．等腰三角形的对称轴是底边的中线B．有理数与数轴上的点是一一对应的C．等腰三角形任意两个角相等D．三角形的三条高所在的直线一定交于一点【答案】D【分析】利用等腰三角形的性质，数轴和三角形的高的定义逐一判断即可解题．【详解】解：A.等腰三角形的对称轴是底边的中线所在的直线，故不正确；B.实数与数轴上的点是一一对应的，故不正确；C.等腰三角形的两个底角相等，故不正确；D.三角形的三条高所在的直线一定交于一点，故正确；故选D．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和数轴、以及三角形的高的定义，掌握相关性质和定义是解题的关键．4．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在△ABD中，AD=AB，∠DAB=90°，在△ACE中，AC=AE，∠EAC=90°，CD，BE相交于点F，有下列四个结论：①DC=BE②∠BDC=∠BEC③DC⊥BE④FA平分∠DFE，其中，正确的结论有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】根据，，，得，得，，判断；根据，不确定相等，得和不确定相等，加上，，可判断；根据，对顶角相等，三角形的内角和，可以判断；过点于点，于点，根据，可得，根据角平分线的逆定理，可以判断．【详解】∵∴∴在和中∴∴，正确∵，不确定相等∴和不确定相等∵和是等腰直角三角形∴∵，∴和不确定相等，错误∵，，∴∴∴，正确过点于点，于点∵∴∴平分，正确∴正确故选：B．【点睛】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质，角平分线的逆定理．5．（2023春·八年级单元测试）如图，在中，，，，，则为．【答案】9【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，求出，根据等腰三角形的判定得出，根据含角的直角三角形的性质得出，再求出答案即可．【详解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，故答案为：9．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能求出和的度数是解此题的关键．6．（2023春·全国·八年级假期作业）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，若FC＝3cm，则BF＝．【答案】6cm【分析】利用辅助线，连接，求出，，再根据，可求出的度数，由直角三角形的性质即可求出.【详解】连接，

，，，的垂直平分线交于点，交于点，，，，（直角边等于斜边的一半），.故答案为：.【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及含30度角的直角三角形.解题时，通过作辅助线构造直角三角形，利用垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等以及等腰三角形的两个底角相等等知识求得的长度.7．（2023秋·八年级单元测试）等腰三角形腰长为6cm，一腰上的中线将其周长分成两部分，且两部分的差为3cm,则底边长为cm.【答案】9或3【分析】根据题意可知三角形两部分的周长差即为底边与腰的差，分底边长大于腰，底边长小于腰长两种情况进行分析计算即可.【详解】解：∵等腰三角形中一腰上的中线将其周长分成两部分，且两部分的差为3cm，∴底边长与腰长的差为3cm，当底边大于腰时，底边长为：6+3=9，当底边小于腰时，底边长为：6﹣3=3.故答案为9或3.【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解此题的关键在于将周长差转化为底边与腰长的差.8．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，和的角平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，，则的周长为．【答案】【分析】根据角平分线的定义可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，等量代换得，根据等角对等边的性质可得，同理可得，然后求出的周长，代入数据即可得解．【详解】解：∵平分，平分∴，∵，∴，∴，∴，∴的周长为：∵∴的周长为：．故答案为：．【点睛】本题考查了三角形、平行线、角平分线的知识，解题的关键是掌握角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边的性质．9．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝130°，求∠BAC的度数．【答案】∠BAC＝20°．【分析】利用等腰三角性的性质可得到AE⊥BC，利用补角的概念可求出∠CDE的度数，进而可求∠DCE的度数，利用角平分线的定义和角的等量代换可得到∠B＝∠ACB＝80°，再通过三角形内角和为运算求解即可．【详解】∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一），∵∠ADC＝130°，∴∠CDE＝50°，∴∠DEC＝90°﹣∠DCE＝40°，又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝80°．又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝80°，∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠ACB）＝20．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，角平分线的定义，熟练运用等腰三角形的性质转化角的度数是解题的关键．10．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，.（1）尺规作图：作，点在边上.（要求：不写作法，保留作图痕迹）（2）若，求的度数．【答案】（1）见解析；（2）；【分析】（1）以B点为圆心，BC为半径画弧交AC于D，则∠CBD=∠A；（2）先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠ABC=∠C=70°，再利用∠CBD=∠A=40°，然后计算∠ABC∠CBD即可．【详解】解：（1）如图，∠CBD为所作；（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°∠A）=（180°40）=70°，∵∠CBD=∠A=40°，∴∠ABD=70°40°=30°．【点睛】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了等腰三角形的性质．题型02等边三角形的性质定理1．（2023春·广东深圳·八年级深圳市福田区莲花中学校考开学考试）如图，是等边三角形，，若，则的度数为（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】过C作，根据平行线的性质得到，，根据等边三角形的性质可得，再计算即可．【详解】解：如图，过C作，∵，∴，∴，∵是等边三角形，∴，∴，故选B．

【点睛】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质，添加平行线，利用平行线的性质得到角的关系是解题的关键．2．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）如图，是等边三角形，D，E分别是边的中点，连接，点P是上一动点，若，则的最小值是（

）

A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】连接，由对称性知，，则，当P、B、E三点共线时，最小，从而求得最小值．【详解】解：连接，如图，由对称性知，，∴，当P、B、E三点共线时，最小，最小值为线段的长．∵是等边三角形，D，E分别是边的中点，∴，即的最小值为8；故选：C．

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，两点间线段最短，对称的性质等知识，掌握这些知识是关键．3．（2023春·河南焦作·八年级统考期中）如图，是等边的一条中线，若在边上取一点，使得，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据等边三角形的性质可得，再由，可得，即可求解．【详解】解：∵是等边三角形，∴，∵是等边三角形的中线，∴，∴，∵，∴，∴．故选：D．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．4．（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上，其中折痕分别交边于点E，F，连接．若，则的度数是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据等边三角形折叠的性质及垂直的定义得出，结合图形及三角形外角的性质得出，利用折叠得出即可求解．【详解】解：∵，将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上，∴，∴，∵等边三角形，∴，∴，∵将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上，∴，故选：C．【点睛】题目主要考查等边三角形的性质、三角形外角的定义及折叠的性质，结合图形找准各角之间的关系是解题关键．5．（2023春·辽宁朝阳·七年级统考期末）如图，、均为等边三角形，连接、交于点O，与交于点P，则的度数是．【答案】/60度【分析】利用“边角边”证明和全等，可得，根据“八字型”求出即可．【详解】解：∵、均为等边三角形，∴，，，∴，即，在和中，，∴，∴，∵，∴，即，故答案为：．【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形．6．（2023春·福建泉州·七年级统考期末）如图，与均为等边三角形，点在边上，若，则的度数为．

【答案】35°/35度【分析】根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．【详解】解：与均为等边三角形，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．7．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）如图，在一个面积为的等边三角形纸片中，取三边的中点，以虚线为折痕折叠纸片，图中阴影部分的面积为．

【答案】9【分析】由三角形中线的性质可求出的面积，再求出的面积，进而可求出阴影部分的面积．【详解】解：∵D是的的中点，∴．∵F是的的中点，∴．∴，∴阴影部分的面积为．故答案为：9．

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形中线的性质，平行线的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．8．（2023春·广东云浮·八年级校考期中）如图，将等边三角形沿着折叠，点落到点处，连接．若，则．

【答案】【分析】根据等边三角形的性质及折叠的性质，，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可解答．【详解】解：∵是等边三角形，∴，，∴由折叠的性质：，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为；【点睛】本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，掌握等边三角形的性质及折叠的性质是解题的关键．9．（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图，是等边三角形，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，当最小时，求的度数．

【答案】【分析】连接，则的长度即为与和的最小值．再利用等边三角形的性质可得，即可解决问题．【详解】解：如图，连接，与交于点P，

∵是等边三角形，，∴，∴，即就是的最小值，∵是等边三角形，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．10．（2023春·山东威海·七年级统考期末）如图，等边，点D，E分别在，上，连接，交于点F，．求证：．

【答案】见解析【分析】由等边三角形的性质可得，，再由对顶角相等得，则可求得，利用可判定，即有．【详解】解：证明：∵是等边三角形，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，在与中，，∴，∴．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解答的关键是求得．A夯实基础1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图．在中，．若是的角平分线，则下列说法错误的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据等腰三角形的三线合一性质解题．【详解】∵，是的角平分线，∴，，∴．故选D．【点睛】本题考查等腰三角形的三线合一，熟记性质是解题的关键．2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在等腰中，，平分交于点，若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质求出底角的度数，再根据角平分线求出，利用外角的性质可求．【详解】解：∵，，∴AD⊥BC，，∴，∵BE平分，∴，，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用等腰三角形的性质求出底角的度数．3．（2023·全国·八年级假期作业）如图是三个等边三角形随意摆放组成的图形，则的度数为（

）A． B． C． D．无法确定【答案】C【分析】先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°，用∠1，∠2，∠3表示出△ABC各角的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．【详解】解：∵图中是三个等边三角形，∴∠1＝180°﹣60°﹣∠ABC＝120°﹣∠ABC，∠2＝180°﹣60°﹣∠ACB＝120°﹣∠ACB，∠3＝180°﹣60°﹣∠BAC＝120°﹣∠BAC，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣（∠ABC+∠ACB+∠BAC）＝180°，故选：C．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，三角形的内角和，熟知等边三角形各内角均等于60°是解答此题的关键．4．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在ABC中，AB＝AC，BC＝4，ABC的面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为（

）A．21 B．7 C．4 D．2【答案】B【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=14，解得AD=7，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴CM+MD的最小值为7．故答案为B．【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的三线合一是解答此题的关键．5．（2023秋·八年级课时练习）在等腰三角形、等边三角形、非等腰直角三角形、等腰直角三角形中，轴对称图形有个．【答案】3【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．【详解】解：等腰三角形是轴对称图形，等边三角形是轴对称图形，非等腰直角三角形一定不是轴对称图形，等腰直角三角形是轴对称图形，综上所述，是轴对称图形的有等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形共3个．故答案为：3．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．6．（2023秋·江苏南通·八年级校联考期末）如图，在中，，点D是边的中点，若，则的度数为．【答案】20°【分析】先由等腰三角形的性质得到，再结合题意和三角形的内角和定理得到．【详解】∵，∴,∵D是边的中点，∴，∴，∴，故答案为20°．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形内角和是解答本题的关键.7．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，△ABC中，AB=AC，AD=AE，BD=3cm，DE=4cm，则CD=cm．【答案】7【分析】先证明△ABD≌△ACE，从而证得BD=CE=3cm，进一步计算即可求解．【详解】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C．同理∠ADE=∠AED，∴180°∠ADE=180°∠AED，即∠ADB=∠AEC，在△ABD和△ACE中，∵，∴△ABD≌△ACE(AAS)，∴BD=CE=3cm，∴CD=DE+CE=4+3=7(cm)，故答案为：7．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定与性质，关键是由已知证明△ABD≌△ACE．8．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，，，三点在同一直线上，和均为等边三角形，连结，，若，那么．【答案】/21度【分析】由等边三角形的性质得出，根据可求出答案．【详解】解：是等边三角形，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．9．（2023春·七年级课时练习）如图，在中，，点D在上．(1)若，则_______________．(2)若，则_______________．(3)若，则_______________．【答案】(1)垂直，且平分(2)平分，且平分(3)垂直，且平分【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”的性质，即可求解；（2）根据等腰三角形的“三线合一”的性质，即可求解；（3）根据等腰三角形的“三线合一”的性质，即可求解．【详解】（1）解：∵，，∴垂直，且平分；故答案为：垂直，且平分；（2）解：∵，，∴平分，且平分；故答案为：平分，且平分；（3）解：∵，，∴垂直，且平分．故答案为：垂直，且平分【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的“三线合一”的性质是解题的关键．10．（2023·福建·模拟预测）如图，为等边三角形，点、分别为、上一点，且，、相交于点，求的度数．【答案】【分析】根据条件证明，得出，再根据外角的性质得到，进一步可得结论．【详解】解：是等边三角形，，，在和中，，，，．【点睛】本题考查等边三角形性质、全等三角形的判定与性质、外角的性质，解题的关键是熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．B能力提升1．（2023春·广东深圳·八年级深圳市福田区莲花中学校考开学考试）如图，是等边三角形，，若，则的度数为（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】过C作，根据平行线的性质得到，，根据等边三角形的性质可得，再计算即可．【详解】解：如图，过C作，∵，∴，∴，∵是等边三角形，∴，∴，故选B．

【点睛】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质，添加平行线，利用平行线的性质得到角的关系是解题的关键．2．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）如图，是等边三角形，D，E分别是边的中点，连接，点P是上一动点，若，则的最小值是（

）

A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】连接，由对称性知，，则，当P、B、E三点共线时，最小，从而求得最小值．【详解】解：连接，如图，由对称性知，，∴，当P、B、E三点共线时，最小，最小值为线段的长．∵是等边三角形，D，E分别是边的中点，∴，即的最小值为8；故选：C．

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，两点间线段最短，对称的性质等知识，掌握这些知识是关键．3．（2023春·河南焦作·八年级统考期中）如图，是等边的一条中线，若在边上取一点，使得，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据等边三角形的性质可得，再由，可得，即可求解．【详解】解：∵是等边三角形，∴，∵是等边三角形的中线，∴，∴，∵，∴，∴．故选：D．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．4．（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上，其中折痕分别交边于点E，F，连接．若，则的度数是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据等边三角形折叠的性质及垂直的定义得出，结合图形及三角形外角的性质得出，利用折叠得出即可求解．【详解】解：∵，将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上，∴，∴，∵等边三角形，∴，∴，∵将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上，∴，故选：C．【点睛】题目主要考查等边三角形的性质、三角形外角的定义及折叠的性质，结合图形找准各角之间的关系是解题关键．5．（2023春·辽宁朝阳·七年级统考期末）如图，、均为等边三角形，连接、交于点O，与交于点P，则的度数是．【答案】/60度【分析】利用“边角边”证明和全等，可得，根据“八字型”求出即可．【详解】解：∵、均为等边三角形，∴，，，∴，即，在和中，，∴，∴，∵，∴，即，故答案为：．【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形．6．（2023春·福建泉州·七年级统考期末）如图，与均为等边三角形，点在边上，若，则的度数为．

【答案】35°/35度【分析】根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．【详解】解：与均为等边三角形，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．7．（2023春·广东云浮·八年级校考期中）如图，将等边三角形沿着折叠，点落到点处，连接．若，则．

【答案】【分析】根据等边三角形的性质及折叠的性质，，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可解答．【详解】解：∵是等边三角形，∴，，∴由折叠的性质：，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为；【点睛】本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，掌握等边三角形的性质及折叠的性质是解题的关键．8．（2023秋·四川绵阳·八年级统考期末）如图，是等边三角形，为边上任意一点（不含两端点），作的垂直平分线交于点，交于点．连接、F，当时，与的周长之和为．【答案】【分析】根据等边三角形的性质得出，根据垂直平分线的性质得出，，根据三角形周长公式即可求解．【详解】解：∵是等边三角形，∴，∵是的垂直平分线，∴，，∴与的周长之和为．故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，熟练掌握等边三角形的性质与垂直平分线的性质是解题的关键．9．（2023春·江苏苏州·七年级统考期末）如图所示的三角形是由若干个全等的小等边三角形组成的．

(1)在图①中，把该三角形分割成2个全等的三角形；(2)在图②中，把该三角形分割成3个全等的三角形；(3)在图③中，把该三角形分割成4个全等的三角形．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）作三角形的一条高即可；（2）作三角形的三条角平分线即可；（3）作三角形的三条中位线即可．【详解】（1）解：如图①即为所求；

（2）如图②即为所求；

（3）如图③即为所求；

【点睛】本题考查全等三角形的判定及等边三角形的性质．熟练掌握高、中位线、及角平分线的性质是正确解决本题的关键．10．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，C为线段上一动点（点C不与点A，E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点O．(1)求证：；(2)求．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）利用证明，得；（2）结合（1）可得，然后利用三角形内角和定理即可解决问题．【详解】（1）证明：、是等边三角形，∴，，，，∴，；（2）解：∵，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．C综合素养1．（2023春·安徽宿州·八年级校考期末）如图，直线，等边三角形EFG的顶点F在直线上，，则的度数为（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】过G作，得到，推出，，由是等边三角形，得到，求出的度数，即可得到的度数．【详解】解：过G作，∵，∴，∴，，∵是等边三角形，∴，∴，∴．故选：B．

【点睛】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，关键是过作，得到，由平行线的性质解决问题．2．（2023春·陕西咸阳·八年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）如图，是等边三角形，点为外一点，连接，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据等边三角形的性质得，再求出，由等边对等角得，再由三角形内角和求解即可．【详解】解：是等边三角形，，，，，，，．故选：D．【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形两底角相等是解题关键．3．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知和均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，与交于点O，与交于点G，与交于点F，连接，则下列结论：①；②；③．其中结论正确的（

）A．① B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】首先根据等边三角形的性质，得到，，，然后由判定，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；由全三角形的对应角相等，得到，根据证得，即可得到②正确；根据三角形外角性质即可得出③正确．【详解】解：∵和均是等边三角形，∴∴∴在和中∴，∴，∴①正确；∴∵∴∴在和中∴，∴，∴②正确；∵∴∵∴∴，∴③正确．故选：D．【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质，此题图形比较复杂，解题的关键是仔细识图，合理应用数形结合思想．4．（2023春·广东深圳·七年级深圳市宝安中学（集团）校考期中）如图所示，在等边三角形内有一点D，连接、，以为边做一个等边三角形，连接、，下列结论：①；②；③若，则；④若B、D、C三点共线，则，其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】证明，即可得到，，判断①②，结合等边三角形的性质判断③④，即可得出结论．【详解】解：∵，均为等边三角形，∴，∴，∴，∴，，，故①②正确；若，则：，∴，∴，故③正确；当B、D、C三点共线时，则点在线段上，如图，∵，∴，∴，∴，故不可能等于，故④错误；综上：正确的有3个；故选C．【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质．本题为手拉手全等模型，平时善于归纳总结，有利于快速解题．5．（2023春·山东菏泽·七年级统考期末）如图，是等边三角形，若，，，则°．

【答案】【分析】由等边三角形性质得出，再由证得，得出，由三角形内角和定理求出，即可得出答案．【详解】解：∵是等边三角形，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．6．（2023春·江西景德镇·九年级统考期中）如图，在中，．以为一边在的右侧作等边，连接，则的度数为．

【答案】/度【分析】根据等边三角形的性质得出，得到，进一步求出结果．【详解】解：是等边三角形，，，，，，，，