专题14为什么我们喜欢手拉手-利用旋转相似求轨迹类最值（瓜豆最值）原卷版-2021-2022学年九年级数学上册常考题专练（北师大版）

专题14为什么我们喜欢手拉手——利用旋转相似求轨迹类最值（瓜豆最值）导语：随着动点轨迹类问题在近几年中考中反复出现，这类题型已经不再神秘，动点轨迹问题又称瓜豆原理,这是属于较难的几何轨迹问题,需要大家深入理解其中的解题思路。题型一构造旋转相似求线段的最小值1．如图，在平面直角坐标系中，已知点，为直线上一动点，连接，以为斜边向下作，，，连接，则的最小值为．2．如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为．3．如图，中，，，于，点是线段上的一个动点，以点为直角顶点向下作等腰直角，连接，则的最小值为．4．如图，等边的边长为4，点是边上的一动点，连接，以为斜边向上作等腰，连接，则的最小值为A．1 B． C．2 D．5．如图，在中，，，，的顶点在上运动，且，，为线段的中点，连接，在点运动过程中，线段长的最小值为．6．如图，在矩形中，，，是对角线上的动点，连接，将直线绕点顺时针旋转使，且过作，连接，则最小值为．

7．如图，在以为原点的直角坐标系中，已知：点，点为直线上一动点，连接，以为一边向下作等边，连接，则的最小值．8．在中，，，于点，是线段上的一个动点，以点为直角的顶点，向上作等腰直角三角形，连接，若在点的运动过程中，的最小值为3，则的长为．9．如图，在直角坐标系中，已知点，点为轴正半轴上一动点，连接，以为一边向下作等边，连接，则的最小值为．

10．如图在中，，，．是上一动点，以为斜边向右侧作等腰，使，连接，则线段的最小值为．11．（1）【问题发现】如图①，正方形的两边分别在正方形的边和上，连接．填空：①线段与的数量关系为；②直线与所夹锐角的度数为．（2）【拓展探究】如图②，将正方形绕点逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．）【解决问题】如图③，和都是等腰直角三角形，，，为的中点．若点在直线上运动，连接，则在点的运动过程中，线段长的最小值为（直接写出结果）．

12．如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，．（1）求证：；（2）若，，三点共线，连接，求线段的长．（3）求线段长的最小值．二．利用旋转相似求路径问题（共4小题）13．如图，在矩形中，，，点是对角线上的一个动点，连接，以为斜边作的直角三角形，使点和点位于两侧，点从点到点的运动过程中，点的运动路径长是．14．如图，已知点，，，动点在线段上，点、、按逆时针顺序排列，且，，当点从点运动到点时，则点运动的路径长为．15．在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．（1）是边长为3的等边三角形，是边上的一点，且，小亮以为边作等边三角形，如图1．求的长；（2）是边长为3的等边三角形，是边上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图2．在点从点到点的运动过程中，求点所经过的路径长；（3）是边长为3的等边三角形，是高上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图3．在点从点到点的运动过程中，求点所经过的路径长；（4）正方形的边长为3，是边上的一个动点，在点从点到点的运动过程中，小亮以为顶点作正方形，其中点、都在直线上，如图4．当点到达点时，点、、与点重合．则点所经过的路径长为，点所经过的路径长为．

16．（1）问题发现如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点．填空：①的度数是；②线段，之间的数量关系为．（2）类比探究如图2，和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点．请判断的度数及线段，之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在平面直角坐标系中，点坐标为，点为轴上任意一点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，请直接写出的最小值．题型二利用旋转相似求路径问题13．如图，在矩形中，，，点是对角线上的一个动点，连接，以为斜边作的直角三角形，使点和点位于两侧，点从点到点的运动过程中，点的运动路径长是．14．如图，已知点，，，动点在线段上，点、、按逆时针顺序排列，且，，当点从点运动到点时，则点运动的路径长为．15．在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．（1）是边长为3的等边三角形，是边上的一点，且，小亮以为边作等边三角形，如图1．求的长；（2）是边长为3的等边三角形，是边上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图2．在点从点到点的运动过程中，求点所经过的路径长；（3）是边长为3的等边三角形，是高上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图3．在点从点到点的运动过程中，求点所经过的路径长；（4）正方形的边长为3，是边上的一个动点，在点从点到点的运动过程中，小亮以为顶点作正方形，其中点、都在直线上，如图4．当点到达点时，点、、与点重合．则点所经过的路径长为，点所经过的路径长为．

16．（1）问题发现如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点．填空：①的度数是；②线段，之间的数量关系为．（2）类比探究如图2，和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点．请判断的度数及线段，之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在平面直角坐标系中，点坐标为，点为轴上任意一点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，请直接写出的最小值．题型三旋转相似求值17．如图，在中，，，，的顶点在上运动，且，，为线段的中点，连接，当时，线段的长为．

18．如图，在和中，，，点在边上，与相交于点，，则．19．（1）问题背景：如图1，，，，求证：；（2）尝试应用：如图2，为正方形外一点，，过点作，垂足为，连接．求的值；（3）拓展创新：如图3，四边形是正方形，点是线段上一点，以为对角线作正方形，连接，．当，时，则的长为．

20．已知在中，为边的中点，连