第05讲乘法公式（教师版）八年级数学上册讲义（华师大版）

第5讲乘法公式目标导航目标导航掌握平方差公式跟完全平方知识和应用应用平方差公式和完全平方解决问题知识精讲知识精讲知识点01平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.【知识拓展】考点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如（3）指数变化：如（4）符号变化：如（5）增项变化：如（6）增因式变化：如【即学即练1】下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的，写出计算结果．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【思路】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式.【答案】解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算．(2)＝－＝．(3)＝－＝．(4)＝－＝．(5)＝－＝．【总结】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项（系数为相反数的同类项）．知识点02完全平方公式完全平方公式：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.考点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：【知识拓展】补充公式；；；.【即学即练2】计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【思路】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方公式.【答案】解：(1)．(2)．(3)．(4)．【总结】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时，结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符号为负．(2)注意之间的转化．能力拓展能力拓展考法01平方差公式应用1.计算：（1）；（2）；（3）．【答案】解：（1）原式．（2）原式．（3）原式．2、计算：(1)59.9×60.1；(2)102×98．【答案】解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝＝3600－0.01＝3599.99(2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝＝10000－4＝9996．【总结】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可利用两数的平均数，通过两式(两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式．这样可顺利地利用平方差公式来计算．3.怎样简便就怎样计算：（1）1232﹣124×122（2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）【答案】解：（1）1232﹣124×122=1232﹣（123+1）（123﹣1）=1232﹣（1232﹣1）=1232﹣1232+1=1；（2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）=（2a+b）（2a﹣b）（4a2+b2）=（4a2﹣b2）（4a2+b2）=（4a2）2﹣（b2）2=16a4﹣b4．考法02完全平方公式应用1.图a是由4个长为m，宽为n的长方形拼成的，图b是由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形．（1）用m、n表示图b中小正方形的边长为．（2）用两种不同方法表示出图b中阴影部分的面积；（3）观察图b，利用（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn；（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值．【答案】解：（1）图b中小正方形的边长为m﹣n．故答案为m﹣n；（2）方法①：（m﹣n）（m﹣n）=（m﹣n）2；方法②：（m+n）2﹣4mn；（3）因为图中阴影部分的面积不变，所以（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；（4）由（3）得：（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，∵a+b=7，ab=5，∴（a﹣b）2=72﹣4×5=49﹣20=29．【总结】本题考查了完全平方公式的应用，列代数式，可以根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量．2.已知，＝12．求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】解：(1)∵＝－＝－3＝－3×12＝13．(2)∵＝－4＝－4×12＝1.【总结】由乘方公式常见的变形：①－＝4；②＝－2＝＋2．解答本题关键是不求出的值，主要利用完全平方公式的整体变换求代数式的值．3.已知，，求和的值．【答案】解：由，得；①由，得．②①＋②得，∴．①－②得，∴．分层提分分层提分题组A基础过关练1.在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（）A.B.C.D.【答案】A；【解析】A中和符号相反，和符号相反，而平方差公式中需要有一项是符号相同的，另一项互为相反数.2．下列多项式不是完全平方式的是()．A. B.C. D.【答案】A；【解析】；；.3．下列各多项式相乘，可以用平方差公式的有()．①②③④A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【答案】B；【解析】①，②，③可用平方差公式.4．下列计算正确的是()．A.＝ B.＝C. D.()()＝【答案】C；【解析】＝；＝；()()＝.5．下列等式不能恒成立的是()．A. B.C. D.【答案】D；【解析】.6．(＋3)(＋9)(－3)的计算结果是()． A.＋81 B.－－81 C.－81 D.81－【答案】C；【解析】(＋3)(＋9)(－3)＝.7．下列式子不能成立的有()个．①②③④⑤A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B；【解析】②，③不成立.8．若＝6，＝5，则等于()．A.11 B.15 C.30 D.60【答案】C；【解析】＝6×5＝30.9.若是完全平方式，则值是（）A.B.C.D.1【答案】B；【解析】，所以＝±1.10.下面计算正确的是()．A.原式＝(－7＋＋)[－7－(＋)]＝－－B.原式＝(－7＋＋)[－7－(＋)]＝＋C.原式＝[－(7－－)][－(7＋＋)]＝－D.原式＝[－(7＋)＋][－(7＋)－]＝【答案】C11．计算20152﹣2014×2016的结果是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【答案】D；【解析】解：原式=20152﹣（2015﹣1）×（2015+1）=20152﹣（20152﹣1）=20152﹣20152+1=1，故选D.12．已知关于x的二次三项式4x2﹣mx+25是完全平方式，则常数m的值为（）A．10 B．±10 C．﹣20 D．±20【答案】D；【解析】解：∵关于x的二次三项式4x2﹣mx+25是完全平方式，∴﹣m=±20，即m=±20．故选：D．题组B能力提升练1．多项式是一个完全平方式，则＝______．【答案】16；【解析】，∴＝16.2．若是一个完全平方式，则＝______．【答案】±4；【解析】，所以.3.若＝,则M＝______．【答案】；【解析】＝.4.若＝3，＝1，则＝_______.【答案】7；【解析】，.5.已知，则的结果是_______.【答案】23；【解析】.6.若把代数式化为的形式，其中，为常数，则＋＝_______.【答案】－3；【解析】，＝1，＝－4.7.若A=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，则A的末位数字是．【答案】6；【解析】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，=（24﹣1）（24+1）（28+1）+1，=（28﹣1）（28+1）+1，=（216﹣1）（216+1）+1，=232﹣1+1，因为232的末位数字是6，所以原式末位数字是6．故答案为：6．8．对于任意的正整数，能整除代数式的最小正整数是_______.【答案】10；【解析】利用平方差公式化简得10，故能被10整除.9.如果＝63，那么＋的值为_______.【答案】±4；【解析】.10.（1+x）（1﹣x）（1+x2）（1+x4）=．【答案】1﹣x8；【解析】解：（1+x）（1﹣x）（1+x2）（1+x4）=（1﹣x2）（1+x2）（1+x4）=（1﹣x4）（1+x4）=1﹣x8，故答案为：1﹣x811.___________.【答案】；【解析】.12.若，则代数式的值为________.【答案】6；【解析】因为，所以.题组C培优拔尖练1.用平方差公式或完全平方公式计算（必须写出运算过程）．（1）69×71；（2）992．【解析】解：（1）原式=（70﹣1）×（70+1）=4900﹣1=4899；（2）原式=（100﹣1）2=10000﹣200+1=9801．2.先化简，再求值：，其中．【解析】解：当.2.已知：，且求的值.【解析】解：∵，且∴，∴，∵∴∵即∴.4.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4、12、20都是这种“神秘数”．（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？试说明理由；（2）试说明神秘数能被4整除；（3）两个连续奇数的平方差是神秘数吗？试说明理由．【解析】解：（1）是，理由如下：∵28=82﹣62，2012=5