压轴题秘籍06规律探索（原卷版）

规律探索规律探索问题在中考中常以选择题、填空题的形式出现，难度中等，规律性较强，重点考查数式、坐标和图形的规律探索问题，涉及整式的计算、一次函数、反比例函数、二次函数、圆、特殊三角形、勾股定理、图形变换等相关知识，以及类比、数形结合、转化与化归等数学思想.此类题型常涉及以下问题：①探究数式规律问题；②证明数式成立问题；③探究图形周长、面积问题；④利用函数求坐标问题等.右图为规律探索问题中各题型的考查热度.题型1：数式的规律探索解题模板：类型一：周期型1.观察下列算式：，，，，，，，……观察后，用你所发现的规律写出的末位数字是______．【变式11】如图是一个电子青蛙游戏盘，已知．电子青蛙在边上的处，第一步跳到处，使，第二步跳到处，使，第三步跳到处，使，……，按上述的规则跳下去，第2023步落点为，则与之间的距离为_____________．【变式12】将从1开始的自然数，按如图的规律排列，在2，3，5，7，10，13，17，…处分别拐第1，2，3，4，5，6，7，…次弯，则第101次拐弯处的那个数是___________．类型二：递推型2.按一定规律排列的式子：，……第n个式子是___________．【变式21】观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……根据以上规律解答以下问题：(1)写出第5个等式：______；写出第n个等式：______﹔(2)由分式性质可知：，试求的值．【变式22】观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：____________；(2)写出你猜想的第n个等式：____________（用含n的等式表示），并证明．类型三：固定累加型3.观察下列由连续的正整数组成的等式：第1层第2层第3层第4层……则第7层等号右侧的第一个数是___________．则第层等号右侧的第一个数是__________．【变式31】观查下列等式，探究其中的规律并回答问题：，，，，…（1）第4个等式中正整数k的值是________；（2）根据已知等式可归纳出第n个等式为__________________（n是正整数）．【变式32】若干个有规律的数，排列如下：试探究：(1)第2012个数在第几行？这个数是多少？（每行的数都是从左往右数）(2)写出第n行第k个数的代数式；（用含n，k的式子表示）(3)求第2012个数所在行的所有数之和S．类型四：渐变累加型4.如图，有一个起点为的数轴，现有同学将它弯折，虚线上从下往上第一个数为，第二个数为，第三个数为，，则第十个数是（

）A． B． C． D．【变式41】按一定规律排列的等式：……，按此规律（）A． B． C． D．【变式42】请观察下列等式，找出规律并回答以下问题．，，，，……（1）按照这个规律写下去，第5个等式是：______；第n个等式是：______．（2）①计算：．②若a为最小的正整数，，求：．题型2坐标的规律探索解题模板：类型一：周期型5.如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转n个，得到正六边形，当时，正六边形的顶点的坐标是（

）A． B． C． D．【变式51】如图所示，已知点，将长方形ABOC沿x轴正方向连续翻转2022次，点A依次落在点，，，……，的位置，则的坐标是______．【变式52】如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，则经过第2022次变换后点A的对应点的坐标为______．类型二：递推型6.正方形，，，按如图所示的方式放置，点，，，和点，，，分别在直线和轴上，已知点（1，1），（3，2），则的坐标是(

)A． B．C． D．【变式61】如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中方向排列，如，，，，，...根据这个规律，第2021个点的坐标__．【变式62】已知：如图，，，，，(1)继续填写：，，，，，(2)试写出点，类型三：固定累加型7.如图，在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上．，，，…都是等腰直角三角形．如果点，那么点的纵坐标是（

）A． B． C． D．【变式71】在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点A的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，作正方形；延长交轴于点，作正方形，…按这样的规律进行下去，第2021个正方形的面积为（

）A． B． C． D．【变式72】如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去……若点，，则点的坐标为________．类型四：渐变累加型8.如图在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0）．根据这个规律探索可得，第2022个点的坐标为（

）A．（2022，8）B．（63，5）C．（64，5）D．（64，4）【变式81】如图所示，直线与y轴相交于点D，点A1在直线上，点B1在x轴，且∆OA1B1是等边三角形，记作第一个等边三角形；然后过B1作B1A2∥OA1与直线相交于点A2，点B2在x轴上，再以B1A2为边作等边三角形A2B2B1，记作第二个等边三角形；同样过B2作B2A3∥OA1与直线相交于点A3，点B3在x轴上，再以B2A3为边作等边三角形A3B3B2，记作第三个等边三角形；⋯依此类推，则第n个等边三角形的顶点A纵坐标为（

）A． B． C． D．【变式82】如图，在平面直角坐标系中，点．点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向左跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位至点，第4次向右跳动3个单位至点，第5次又向上跳动1个单位至点，第6次向左跳动4个单位至点，…照此规律，点第2022次跳动至点的坐标是________．题型3：图形的规律探索解题模板：类型一：周期型9.桌面上有一个正方体，每个面均有一个不同的编号（1，2，3，…，6），且每组相对面上的编号和为7．将其按顺时针方向滚动（如图），每滚动算一次，则滚动第2022次后，正方体朝下一面的数字是（

）A．5 B．4 C．3 D．2【变式91】如图是按一定规律摆放的图案，按此规律，第2021个图案与第1～4个图案中相同的是第___个．（只填数字）【变式92】如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为A，B，C，D，E，F，点A落在2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么落在数轴上2025的点是______．类型二：递推型10.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成．第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个图形有10个正三角形，…依此规律，若第n个图案有2023个三角形，则（

）A．670 B．672 C．673 D．674【变式101】用火柴棒按上图的方式摆出一系列图案，按这种方式摆下去，第n个图案所用的火柴棒的根数为_____．【变式102】观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第n个大三角形中白色三角形有（用含n代数式表示）________个．类型三：固定累加型11.将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点，，，…，分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为______．【变式111】如图，从左至右，第1个图案中有6个等边三角形和6个正方形，第2个图案中有10个等边三角形和11个正方形，第3个图案中有14个等边三角形和16个正方形，……即从第2个图案开始，每个图案比前一个图案多4个等边三角形和5个正方形，则第n个图案中等边三角形和正方形的个数之和为______个．【变式112】如图，是由一些小圆点组成的图形，第1个图形是由7个小圆点组成，第2个图形是由13个小圆点组成，第3个图形是由19个小圆点组成，…，按照这样的规律，由181个小圆点组成的是第_____个图形．类型四：渐变累加型12.下列图形都是由同样大小的⊙按一定规律所组成的，其中第1个图形中一共有5个⊙，第2个图形中一共有8个⊙，第3个图形中一共有11个⊙，第4个图形中一共有14个⊙，…，按此规律排列，第100个图形中⊙的个数为（）A．298 B．302 C．304 D．305【变式121】为庆祝国庆节，七年级小高同学用五角星按一定规律摆出如下图案，则第9个图案需五角星的颗数为______．【变式122】如图，△A1B1C1的面积为a,分别延长△A1B1C1的三条边B1C1、C1A1、A1B1到点B2、C2、A2，使得C1B2=B1C1，A1C2=A1C1，B1A2=A1B1，得到△A2B2C2；再分别延长△A2B2C2的三条边B2C2、C2A2、A2B2到点B3、C3、A3，使得C2B3=B2C2，A2C3=A2C2，B2A3=A2B2，得到△A3B3C3；…．按照此规律作图得到△AnBnCn，则△AnBnCn的面积为1．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如下图所示．那么点A2020的坐标是（

A．1010，0 B．1010，1 C．2．在-44，-43，-42，…，2021，2022这一串连续的整数中，前100个连续整数的和为（

）A．465 B．550 C．560 D．6063．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P1,0．点P第1次向上跳动1个单位至点P11,1，紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2-1,1，第3次向上跳动1个单位至点P3，第4次向右跳动3个单位至点P4，第5次又向上跳动1个单位至点P5，第6次向左跳动4个单位至点P6，…．照此规律，点A．506,1011 B．505,1011 C．-506,1011 D．-505,10114．有一个数字游戏，第一步：取一个自然数n1=4，计算n1⋅3n1+1得a1，第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n2⋅3nA．7 B．52 C．154 D．3105．观察下列图形，图①中有7个空心点，图②中有11个空心点，图③中有15个空心点，…，按此规律排列下去，第50个图形中有（）个空心点．A．196 B．199 C．203 D．2076．一组按规律排列的多项式：a+b,a2-b3,a3+A．n B．2n-1 C．3n-1 D7．下列图形都是由大小相同的小圆按一定规律组成的，其中第①个图形中有2个小圆，第②个图形中有8个小圆，第③个图形中有16个小圆…，按此规律排列下去，第⑦个图形中的小圆个数为（

）A．38 B．52 C．68 D．868．如图，顶角为36°的等腰三角形，其底边与腰之比等k，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰AB=1，△ABC为第一个黄金三角形，△BCD为第二个黄金三角形，△CDE为第三个黄金三角形以此类推，第3个黄金三角形的周长（）A．k2 B．k3 C．k29．用同样大小的黑色棋子按如图表示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第100个图形需棋子___________枚．10．观察下列等式：第1个等式：x1=11×3第2个等式：x2=13×5第3个等式：x3=15×7第4个等式：x4=17×9则xl+x2+x3+…+x10=_______________．11．如图，动点P在平面直角坐标系xOy中，按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1,2)，第2次接着运动到点(2,0)，第3次接着运动到点(3,1)，第4次接着运动到点(4,0)，…，按这样的运动规律，经过第2022次运动后，动点P的坐标是________．12．观察下列单项式：-ab2，a2b3，-a3b4，13．如图，正方形ABCD的边长为4，它的两条对角线交于点O，过点O作边BC的垂线，垂足为M1，ΔOBM1的面积为S1，过点M1作OC的垂线，垂足为M2，△OM1M2的面积为S2，过点M2作BC的垂线，垂足为M3，△M114．观察下列算式：①1×3-2②2×4-3③3×5-4……（1）请按照以上规律写出第10个等式．（2）请按照以上规律写出第n个等式（n为自然数，且n≥1）．（3）（2）中的式子一定成立吗？若不一定成立，请举出反例；若一定成立，请说出理由．15．从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表：加数m的个数和S12=1×222+4=6=2×332+4+6=12=3×442+4+6+8=20=4×552+4+6+8+10=30=5×6(1)按这个规