【课件】极坐标系与参数方程

选修4－4

极坐标系与参数方程河南省夏邑县高级中学

姜玉杰目录教材分析考纲要求解决高考中常见四类问题平面直角坐标系中图象的变换1、极坐标系和参数方程是“平面解析几何”和“圆锥曲线”的延续与拓展，是解析几何与函数、三角函数、向量等内容的综合应用。2、这部分内容作为高考的选考内容，分值为10分，难度不大，但在培养综合应用基础知识的能力，拓宽解题思路，灵活解题上作用很大，特别是参数方程中体现的参数思想，常常渗透到高考综合题的解题过程之中.教材分析3、学习这部分内容应该以课本知识为主，不要刻意加大难度.极坐标应重点放在极坐标方程化为直角坐标方程.参数方程的重点是普通方程与参数方程的互化，尤其是参数方程化为普通方程；理解某些参数的几何意义。4、参数思想在本单元体现简化运算，减少未知量的个数，在轨迹问题、最值、定值问题的解决中起到重要的作用.注意这部分内容和三角函数及平面解析几何的交汇.必须加强参数法的应用意识，体会参数法的特点，进一步体验参数法解决实际问题的高效性.教材分析考纲要求1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.问题一、将参数方程化为普通方程问题二、常见曲线参数方程的标准形式问题三、参数方程形式下的有关距离问题问题四、极坐标方程与参数方程的综合应用问题一：参数方程化为普通方程探究提高思维启迪解析问题一：参数方程化为普通方程

1.参数方程化普通方程，关键是消参．

2.参数方程化为普通方程的四种常用方法:(1)代入法(2)加减法

(3)整体消元法

(4)三角恒等式法思维启迪探究提高解析D问题一：参数方程化为普通方程思维启迪温馨提醒解析问题一：参数方程化为普通方程参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式．参数方程化为普通方程关键在于消参，消参时要注意参变量的范围．问题一：参数方程化为普通方程问题一：参数方程化为普通方程D问题一：参数方程化为普通方程(1)将曲线的参数方程化为普通方程,可借助于熟悉的普通方程的曲线来研究参数方程的曲线的类型、形状、性质等.(2)将曲线的普通方程化为参数方程,可用参变量作为中介来表示曲线上点的坐标,从而给研究与曲线有关的最大值、最小值以及取值范围等问题带来方便.【归纳总结】(1)代入法:利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数.(2)加减法：将参数的系数化成相等或相反，进行加或减运算，消去参数.(3)整体消元法:根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去参数.(4)三角函数法:利用三角恒等式消去参数.1.曲线的参数方程与普通方程互化的作用2.参数方程化为普通方程的四种常用方法:参数方程化为普通方程关键在于消参，消参时要注意参变量的范围(一)直线.1、标准式过定点M0(x0,y0),倾斜角为α(α≠)的直线l的参数方程的标准形式为

问题二、常见曲线参数方程的标准形式注：参数的几何意义：t表示直线l上以定点M0为起点，任一点M(x,y)为终点的有向线段

的数量，又称为点M0与点M间的有向距离.当点M在M0上方时，t＞0；当点M在M0下方时，t＜0；当点M与M0重合时，t=0.∣t∣表示参数t对应的动点与直线上的定点M0之间的的距离.

t只有在标准式中才有上述几何意义.问题二、常见曲线参数方程的标准形式题一：参数方程化为普通方程利用参数t的几何意义可求直线与曲线的交点的距离问题，可简化运算量．根据t的几何意义，有如下常用结论:(1)若

为直线上任意两点:

对应t的值分别为

,则

(2)若

为

的中点,则有

.(3)若

的中点为M,则问题二、常见曲线参数方程的标准形式题一：参数方程化为普通方程直线的参数方程可以写成这样的形式:

2、一般式

表示过定点，斜率为的直线.（1）当

时,t的几何意义就是有向线段的数量.（2）当时，t不具有上述几何意义.

问题二、常见曲线参数方程的标准形式题一：参数方程化为普通方程

则距离之和（弦长）及距离之积为：问题二、常见曲线参数方程的标准形式题一：参数方程化为普通方程非标准形式下也可以直接求距离：返回（二）椭圆普通方程参数方程

（三）圆普通方程参数方程（四）抛物线普通方程参数方程问题二、常见曲线参数方程的标准形式【典例5】下列参数方程中,哪些是直线的参数方程的标准形式?若是,求出直线经过的起点坐标和倾斜角,若不是参数方程的标准形式,转化为标准形式(其中,t为参数).问题二、常见曲线参数方程的标准形式题一：参数方程化为普通方程【解析】是直线参数方程的标准形式,其中,起点坐标为(-1,2),倾斜角问题二、常见曲线参数方程的标准形式题一：参数方程化为普通方程问题二、常见曲线参数方程的标准形式题一：参数方程化为普通方程(2)不是直线参数方程的标准形式,得到直线的标准形式【典例6】已知直线l的参数方程是(t为参数),曲线C的极坐标方程是.(1)求曲线C的直角坐标方程和参数方程.(2)求直线l被曲线C截得的弦长.问题二、常见曲线参数方程的标准形式题一：参数方程化为普通方程失误案例问题二、常见曲线参数方程的标准形式【典例6】已知直线l的参数方程是(t为参数),曲线C的极坐标方程是(1)求曲线C的直角坐标方程和参数方程.(2)求直线l被曲线C截得的弦长.正确解答过程如下:【解析】(1)曲线C的极坐标方程化为,由

得

所以曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+(y-1)2=5.参数方程为提醒:出错的根本原因是忽视了直线的参数方程不是标准形式,导致计算弦长错误.问题二、常见曲线参数方程的标准形式(2)【方法一】因为直线l的参数方程是所以直线l的普通方程是又曲线C表示圆心为(2,1),半径为的圆,圆心(2,1)到直线l的距离为所以直线l被圆C截得的弦长为

问题二、常见曲线参数方程的标准形式题一：参数方程化为普通方程问题二、常见曲线参数方程的标准形式【方法二】将化为代入(x-2)2+(y-1)2=5得,设直线l与曲线C的交点A,B对应的参数分别为所以直线l被曲线C截得的弦长为【或者】将代入(x-2)2+(y-1)2=5得,设直线l与曲线C的交点A,B对应的参数分别为t1,t2,则又因为直线l的参数方程可化为问题二、常见曲线参数方程的标准形式所以直线l被曲线C截得的弦长为|AB|=|2t1-2t2|=

问题三、参数方程形式下的有关距离问题．

【解析】问题三、参数方程形式下的有关距离问题．

【解析】问题三、参数方程形式下的有关距离问题

【解题反思】将曲线的普通方程化为参数方程,可用参变量作为中介来表示曲线上点的坐标,从而给研究与曲线有关的最大值、最小值以及取值范围等问题带来方便.问题三、参数方程形式下的有关距离问题问题四、极坐标方程与参数方程的综合应用【解析】问题四、极坐标方程与参数方程的综合应用归纳：问题四、极坐标方程与参数方程的综合应用步骤：①化直线为参数方程的标准形式，化曲线为直角坐标方程。②将直线与曲线联立。③设t1、t2为A、B两点的参数，借助韦达定理。④代入目标。【典例9】【解析】问题四、极坐标方程与参数方程的综合应用【解后反思】一般地，涉及椭圆上的点的最值问题、定值问题、轨迹问题等，当直接处理不好下手时，可考虑利用椭圆的参数方程进行处理，设点的坐标为(acosα,bsinα),将其转化为三角问题进行求解.问题四、极坐标方程与参数方程的综合应用（1）点D的直角坐标为由题意可设点A的坐标为则AD中点M的坐标为的坐标为所以点M的轨迹E的参数方程为消去α可得E的普通方程为问题四、极坐标方程与参数方程的综合应用（2）椭圆C的普通方程为化为极坐标方程为由OA⊥OB，不妨设问题四、极坐标方程与参数方程的综合应用问题四、极坐标方程与参数方程的综合应用【解后反思】

本题主要考查参教方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的关系及互化，彰显了参数法和用极坐标解决有关问题的优越性，体现了高考在知识交汇处命题的基本思想.问题四、极坐标方程与参数方程的综合应用平面直角坐标系中图象的变换伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点P(x,y)对应到点P′(x′,y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．【思路】将x,y表示出来,代入到原方程即可得到新曲线的方程.【典例1】求曲线x2+y2=1经过

变换后得到的新曲线的方程.平面直角坐标系中图象的变换【典例1】求曲线x2+y2=1经过

变换后得到的新曲线的方程.【解析】由

变换后,得代入到圆x2+y2=1的方程,可得即曲线

经过所求新曲线的方程为平面直角坐标系中图象的变换【典例1】求曲线x2+y2=1经过

变换后得到的新曲线的方程.【解析】由

变换后,得代入到圆x2+y2=1的方程,可得即曲线

经过所求新曲线的方程为【典例2】若曲线C经过变换后得到圆x2+y2=1,求曲线C的方程.【解析】将代入到方程x′2+y′2=1中,得

即为曲线C的方程.【典例3】若圆x2+y2=1经过变换φ后得到曲线求变换φ的坐标变换公式.【解析】设φ:代入到C中得与