第十一章三角形单元过关检测02

2022—2023学年八年级上学期第一单元过关检测（2）一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑）1．（4分）已知有两条长度分别是3和7的木棍，需要再找一条木棍组成三角形，现有3、4、5、6、7、8、9、10可供选择，能组成三角形的木棍有（）条．A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边”进行分析解答．【解答】解：设第三条边的长度为a，由题意，知7﹣3＜a＜7+3，即4＜a＜10．所以长度为5、6、7、8、9的木棍符合题意，共有5条木棍合适．故选：A．2．（4分）如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做蕴含的道理是（）A．三角形具有稳定性 B．三角形内角和等于180° C．两点之间线段最短 D．同位角相等，两直线平行拉杆【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做的道理是三角形具有稳定性．故选：A．3．（4分）一副三角尺如图摆放，则α的大小为（）A．105° B．120° C．135° D．150°【分析】由题意可得∠ABC＝45°，∠1＝30°，∠C＝90°，则可求得∠2＝15°，利用三角形的外角性质即可求∠α的度数．【解答】解：如图，由题意得：∠ABC＝45°，∠1＝30°，∠C＝90°，∴∠2＝∠ABC﹣∠1＝15°，∴∠α＝∠2+∠C＝105°．故选：A．4．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，将△ADE沿DE折叠至△FDE位置，点A的对应点为F．若∠A＝15°，∠BDF＝120°，则∠DEF的度数为（）A．135° B．130° C．125° D．120°【分析】由折叠的性质可得∠ADE＝∠FDE，∠AED＝∠FED，由邻补角定义可解得∠ADF＝60°，继而解得，再由三角形内角和180°解得∠DEA＝135°，最后由折叠的性质解答即可．【解答】解：由题意得，∠ADE＝∠FDE，∠AED＝∠FED，∵∠BDF＝120°，∴∠ADF＝180°﹣120°＝60°，∴，∴∠DEA＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝180°﹣15°﹣30°＝135°，∵△ADE沿DE折叠至△FDE位置，∴∠DEF＝∠DEA＝135°，故选：A．5．（4分）△ABC的两边是方程组的解，第三边长为整数，符合条件的三角形有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】首先求出x，y的值，再根据三角形三边关系：①任意两边之和大于第三边；②任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围，即可得出答案．【解答】解：方程组的解为：，∵△ABC的两边是方程组的解，第三边长为整数，∴2＜第三边长＜6，∴第三边长可以为：3，4，5．∴这样的三角形有3个．故选：B．6．（4分）如图所示，考古学家发现在地下A处有一座古墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响管道，准备在B和C处开工挖出“V”字形通道，如果∠DBA＝120°，∠ECA＝125°，则∠A的度数是（）A．65° B．80° C．85° D．90°【分析】根据邻补角的定义求得△ABC的两个内角∠ABC、∠ACB的度数；然后利用△ABC的内角和是180°来求∠A的度数即可．【解答】解：∵∠DBA＝120°，∠ECA＝125°，∴∠ABC＝180°﹣∠DBA＝60°，∠ACB＝180°﹣∠ECA＝55°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣55°＝65°，即∠A＝65°．故选：A．7．（4分）在第24届北京冬季奥林匹克运动会上，花样滑冰运动因其是力与美的结合而吸引着不少人的关注，运动员通过冰刀在冰面上划出图形，并表演跳跃、旋转等高难度动作，某位运动员就在冰面上滑出了如图所示的几何图形，请利用所学知识计算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（）A．360° B．270° C．240° D．180°【分析】连接BC，根据三角形的内角和等于180°，可得∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，根据“8字形”的熟练关系可得∠E+∠D＝∠EBC+∠DCB，然后即可得解．【解答】解：如图，连接AD，则∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，根据“8字形”数量关系，∠E+∠D＝∠EBC+∠DCB，所以，∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E＝180°．故选：D．8．（4分）小聪利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走6米后向左转θ，接着沿直线前进6米后，再向左转θ……如此下去，当他第一次回到A点时，发现自己走了72米，θ的度数为（）A．30° B．36° C．60° D．72°【分析】小聪第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形．计算这个正多边形的边数和外角即可．【解答】解：∵第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，∴多边形的边数为：72÷6＝12．根据多边形的外角和为360°，∴他每次转过的角度θ＝360°÷12＝30°．故选：A．9．（4分）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】本题实际上是长为6的线段围成一个等腰三角形．求腰长的取值范围．【解答】解：长为6的线段围成等腰三角形的腰长为a．则底边长为6﹣2a．由题意得，．解得＜a＜3．所给选项中分别为：1，2，3，4．∴只有2符合上面不等式组的解集．∴a只能取2．故选：B．10.（4分）如图，螳螂亦称刀螂，无脊椎动物，属肉食性昆虫．在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD的度数为（）A．16° B．28° C．44° D．45°【分析】延长ED，交AC于F，根据等腰三角形的性质得出∠A＝∠ACB＝28°，根据平行线的性质得出∠CFD＝∠A＝28°，由三角形外角的性质即可求得∠ACD的度数．【解答】解：延长ED，交AC于F，∵△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∴∠A＝∠ACB＝28°，∵AB∥DE，∴∠CFD＝∠A＝28°，∵∠CDE＝∠CFD+∠ACD＝72°，∴∠ACD＝72°﹣28°＝44°，故选：C．11．（4分）如图，在三角形ABC中，AH⊥BC，BF平分∠ABC，BE⊥BF，EF∥BC，以下四个结论：①AH⊥EF；②∠ABF＝∠EFB；③AC∥BE；④∠E＝∠ABE．其中正确的结论有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义、余角的性质等来判断即可．【解答】解：∵AH⊥BC，EF∥BC，∴AH⊥EF，故①正确；∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∵EF∥BC，∴∠EFB＝∠CBF，∴∠ABF＝∠EFB，故②正确；∵BE⊥BF，而AC与BF不一定垂直，∴BE∥AC不一定成立，故③错误；∵BE⊥BF，∴∠E和∠EFB互余，∠ABE和∠ABF互余，而∠EFB＝∠ABF，∴∠E＝∠ABE，故④正确．故选：B．12．（4分）如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，连接AE，AD．设∠ACB＝α，∠EAD＝β，则∠B的度数为（）A．2β﹣α B．α﹣β C．2α﹣β D．α+β【分析】根据等腰三角形的性质得出∠BAD＝∠BDA，∠CAE＝∠CEA，根据三角形内角和定理求出∠CAE＝∠CEA＝（180°﹣∠ACB）＝90，求出∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝90°﹣﹣β，根据三角形外角性质得出∠BAD＝∠BDA＝∠C+∠CAD＝90°+﹣β，再根据三角形内角和定理求出∠B即可．【解答】解：∵以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，∴AB＝BD，AC＝CE，∴∠BAD＝∠BDA，∠CAE＝∠CEA，∵∠ACB＝α，∴∠CAE＝∠CEA＝（180°﹣∠ACB）＝90，∵∠DAE＝β，∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝（90°﹣）﹣β＝90°﹣﹣β，∴∠BAD＝∠BDA＝∠C+∠CAD＝α+（90°﹣﹣β）＝90°+﹣β，∴∠B＝180°﹣∠BAD﹣∠BDA＝180°﹣（90°+﹣β）﹣（90°+﹣β）＝180°﹣90°﹣+β﹣90°﹣+β＝2β﹣α，故选：A．二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上）13．（4分）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足|a﹣7|+（b﹣2）2＝0，c为奇数，则△ABC的周长为．【分析】根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；可求第三边长的范围，再根据奇数的定义得出答案．【解答】解：∵|a﹣7|+（b﹣2）2＝0，∴a﹣7＝0，b﹣2＝0，解得：a＝7，b＝2，由三角形三边关系定理得：7﹣2＜c＜7+2，即5＜c＜9，又∵c为奇数，∴c＝7，∴△ABC的周长为7+2+7＝16．故答案为：16．14．（4分）如图，四边形ABCD的两个外角∠CBE，∠CDF的平分线交于点G．若∠A＝52°，∠DGB＝28°，则∠DCB的度数是．【分析】连接AC，BD，由三角形外角定义可得∠FDC＝∠DAC+∠DCA，∠CBE＝∠BAC+∠BCA，再由DG平分∠FDC，BG平分∠CBE，可得∠CBG+∠CDG＝（∠DAB+∠DCB），在△BDG中，根据三角形内角和定理可得∠G+∠CDG+∠CBE+∠CDB+∠DBC＝180°，将式子进行等量代换即可求解．【解答】解：连接AC，BD，∴∠FDC＝∠DAC+∠DCA，∠CBG＝∠BAC+∠BCA，∵DG平分∠FDC，BG平分∠CBE，∴∠CBG+∠CDG＝（∠DAB+∠DCB），在△BDG中，∠G+∠CDG+∠CBG+∠CDB+∠DBC＝180°，∴∠G+（∠DAB+∠DCB）+∠CDB+∠DBC＝180°，∴∠G+（∠DAB+∠DCB）+（180°﹣∠DCB）＝180°，∵∠A＝52°，∠DGB＝28°，∴28°+×52°+×∠DCB+180°﹣∠DCB＝180°，∴∠DCB＝108°；故答案为：108°．15．（4分）如图，多边形ABCDEF和多边形ABGH分别为正六边形和正方形，连接CG，则∠CBG＝°．【分析】根据多边形的内角和定理求出正六边形的内角∠ABC的度数，根据∠ABC+∠ABG+∠CBG＝360°即可得出答案．【解答】解：正六边形的内角∠ABC＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，正方形的内角∠ABG＝90°，∵∠ABC+∠ABG+∠CBG＝360°，∴∠CBG＝360°﹣120°﹣90°＝150°．故答案为：150．16．（4分）已知△ABC中，∠A＝α．在图1中∠B、∠C的平分线交于点O1，则可计算得∠BO1C＝90°+α；在图2中，设∠B、∠C的两条三等分角线分别对应交于O2、O3，则∠BO3C＝．【分析】首先根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，再由三等分角线可得∠CBO3+∠BCO3＝（∠ABC+∠ACB）＝120°﹣α，由三角形内角和定理即可求得∠BO3C．【解答】解：∵∠A＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，∵∠B、∠C的两条三等分角线分别对应交于O2、O3，∴∠CBO3+∠BCO3＝（∠ABC+∠ACB）＝120°﹣α，∴∠BO3C＝180°﹣（∠CBO3+∠BCO3）＝60°+α，故答案为：60°+α．三、解答题（本题共8个小题，共86分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的文字说明、证明步骤或演算步骤.）17．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多1，AB与AC的和为11．（1）求AB、AC的长；（2）求BC边的取值范围．【分析】（1）根据三角形中线的定义，BD＝CD．所以△ABD和△ADC的周长之差也就是AB与AC的差，然后联立关于AB、AC的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可．（2）根据三角形三边关系解答即可．【解答】解：（1）∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝1，即AB﹣AC＝2①，又AB+AC＝11②，①+②得．2AB＝12，解得AB＝6，②﹣①得，2AC＝10，解得AC＝5，∴AB和AC的长分别为：AB＝6，AC＝5；（2）∵AB＝6，AC＝5，∴1＜BC＜11．18．（8分）如图，已知△ABC，延长BC至点D，连接AD，E是AD上一点．已知∠B＝45°，∠CAE＝∠D，∠DCE＝∠BAC．（1）求∠ACE的度数：（2）若∠BAC＝25°，求∠CED的度数．【分析】（1）根据三角形外角性质得到∠ACE+∠DCE＝∠B+∠BAC，然后利用∠DCE＝∠BAC得到∠ACE＝∠B；（2）先计算出∠ACD＝70°，再利用三角形内角和定理得到∠D+∠CAE+∠ACD＝180°，加上∠CAE＝∠D，则可计算出∠D＝55°，然后根据三角形内角和定理计算出∠CED的度数．【解答】解：（1）∵∠ACD＝∠B+∠BAC，即∠ACE+∠DCE＝∠B+∠BAC，而∠B＝45°，∠DCE＝∠BAC．∴∠ACE＝∠B＝45°；（2）∵∠DCE＝∠BAC＝25°，∠ACE＝45°，∴∠ACD＝25°+45°＝70°，∵∠D+∠CAE+∠ACD＝180°，∴∠CAE+∠ACD＝180°﹣70°＝110°，∵∠CAE＝∠D，∴∠D＝×110°＝55°，∴∠CED＝180°﹣25°﹣55°＝100°．19．（10分）在△ABC中，D是BC边上一点，且∠CDA＝∠CAB，MN是经过点D的一条直线．（1）直线MN⊥AC，垂足为点E，在图1中画出直线MN．若∠CAB＝70°，∠DAB＝20°，求∠CAD，∠CDE的度数；（2）直线MN∥AB交AC边于点F，在图2中画出直线MN，求证：∠CDF＝∠CAD．（提示：三角形内角和等于180°）【分析】（1）利用角的和差定义，三角形内角和定理求解即可；（2）利用平行线的性质证明即可．【解答】（1）解：如图1中，∵∠CAB＝70°，∠DAB＝20°，∴∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝70°﹣20°＝50°，∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ADE＝90°﹣50°＝40°，∵∠ADC＝∠CAB＝70°，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝70°﹣40°＝30°；（2）证明：∵MN∥AB，∴∠ADF＝∠DAB，∵∠ADC＝∠CAB，∴∠CDF＝∠CAD．20．（10分）已知a，b，c是△ABC的三边长．（1）若a，b，c满足（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，试判断△ABC的形状；（2）化简：|b﹣c﹣a|+|a﹣b+c|﹣|a﹣b﹣c|．【分析】（1）根据非负数的性质，可得出a＝b＝c，进而得出结论；（2）利用三角形的三边关系得到b﹣c﹣a＜0，a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，然后去绝对值符号后化简即可．【解答】解：（1）∵（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，∴a﹣b＝0且b﹣c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形；（2）∵a，b，c是△ABC的三边长，∴b﹣c﹣a＜0，a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，∴原式＝﹣b+c+a+a﹣b+c+a﹣b﹣c＝3a﹣3b+c．21．（12分）如图，在三角形ABC中，CD⊥AB于D，点E是AD上一点，FE⊥AB于E交AC于点H，点G是BC延长线上一点，连接FG，∠ACD+∠F＝180°．（1）求证：AC∥FG；（2）若∠A＝45°，∠BCD：∠ACD＝2：3，求∠BCD的度数．【分析】（1）根据平行线的性质和判定即可解答；（2）根据直角三角形即可解答．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，FE⊥AB，∴∠AEH＝∠ADC＝90°，∴EF∥DC，∴∠ACD+∠CHE＝180°，∵∠ACD+∠F＝180°，∴∠F＝∠CHE，∴AC∥FG；（2）解：∵∠BCD：∠ACD＝2：3，设∠BCD＝2x，∠ACD＝3x，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，即45°+3x＝90°，解得x＝15°，∴∠BCD＝30°．22．（12分）（1）如图（1）所示，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，求证：∠BOC＝90°+∠A；（2）如图（2）所示，∠ABC，∠ACD的平分线交于点O，求证：∠BOC＝∠A；（3）如图（3）所示，∠CBD，∠BCE的平分线交于点O，请直接写出∠BOC与∠A的关系．【分析】（1）依据角平分线的定义，即可得出∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，再根据三角形内角和定理即可得到结论；（2）依据∠OCD是△BCO的外角，可得∠O＝∠2﹣∠1，再根据∠ACD是△ABC的外角，可得∠A＝∠ACD﹣∠ABC，进而得到∠O＝∠BAC；（3）根据角平分线的定义，即可得出∠2＝（∠A+∠ABC）、∠1＝（∠A+∠ACB），再根据三角形内角和定理即可得出结论．【解答】证明：（1）∵在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣x°）＝90°﹣∠A，∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A；（2）∵∠OCD是△BCO的外角，∴∠O＝∠2﹣∠1，又∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACD，∴∠O＝（∠ACD﹣∠ABC），∵∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∴∠O＝∠BAC；（3）∵BO、CO为△ABC中∠ABC、∠ACB外角的平分线，∴∠2＝∠BCE，∠1＝∠DBC，∵∠BCE＝∠A+∠ABC，∠DBC＝∠A+∠ACB，∴∠2＝（∠A+∠ABC）、∠1＝（∠A+∠ACB），由三角形内角和定理得，∠BDC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]＝180°﹣（∠A+180°）＝90°﹣∠A．23．（12分）（1）如图1，在∠BAC内部有一点P，连结BP，CP．求证：∠BPC＝∠1+∠BAC+∠2；（2）如图2，在五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝；并证明你的结论；（3）如图3，如果在∠BAC内部有两个向上突起的角，请你根据前面的结论猜想∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠BAC之间有什么等量关系，直接写出结论．【分析】（1）连接AP并延长，再根据三角形内角与外角的性质即可求出∠BPC＝∠1+∠A+∠2；（2）先把五角星五个“角”归结到一个三角形中，再根据三角形内角和定理解答即可；（3）分别连接AP、AD、AG并延长，再根据三角形外角的性质解答即可．【解答】解：如图，（1）如图1，连接AP并延长，则∠3＝∠2+∠BAP，∠4＝∠1+∠PAC，故∠BPC＝∠1+∠A+∠2；（2）如图2，利