2025届云南省寻甸县第五中学高二数学第一学期期末学业质量监测试题含解析

2025届云南省寻甸县第五中学高二数学第一学期期末学业质量监测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设、分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（）A. B.C. D.2．若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3．如图，四棱锥的底面是矩形，设，，，是棱上一点，且，则（）A. B.C. D.4．已知圆的圆心到直线的距离为，则圆与圆的位置关系是（）A.相交 B.内切C.外切 D.外离5．曲线的一个焦点F到两条渐近线的垂线段分别为FA，FB，O为坐标原点，若四边形OAFB是菱形，则双曲线C的离心率等于（）A. B.C.2 D.6．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点到直线的距离为（）A B.C. D.67．已知命题“若，则”，命题“若，则”，则下列命题中为真命题的是（）A. B.C. D.8．已知为虚数单位，复数满足为纯虚数，则的虚部为（）A. B.C. D.9．已知动点满足，则动点的轨迹是（）A.椭圆 B.直线C.线段 D.圆10．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则（）A.14 B.9C.4 D.211．，则与分别为（）A.与 B.与C.与0 D.0与12．已知等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，前项和为．若，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知直线与平行，则___________.14．过点的直线与抛物线相交于，两点，，则直线的方程为______.15．若，且，则的最小值是____________.16．以正方体的对角线的交点为坐标原点O建立右手系的空间直角坐标系，其中，，，则点的坐标为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知项数为的数列是各项均为非负实数的递增数列.若对任意的，（），与至少有一个是数列中的项，则称数列具有性质.（1）判断数列，，，是否具有性质，并说明理由；（2）设数列具有性质，求证：；（3）若数列具有性质，且不是等差数列，求项数的所有可能取值.18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，圆O以原点为圆心，且经过点.（1）求圆O的方程；（2）若直线与圆O交于两点A，B，求弦长.19．（12分）已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）求曲线过点的切线方程.20．（12分）已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围.21．（12分）函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.22．（10分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，平面底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC的中点，，，（1）求证：；（2）求直线PB与平面MQB所成角的正弦值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，不妨设，利用椭圆和双曲线的定义可得出，再利用勾股定理可求得结果.【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，不妨设，由椭圆和双曲线的定义可得，所以，，设，因为，则，由勾股定理得，即，整理得，故.故选：A.2、C【解析】利用函数在上单调递减即可求解.【详解】解：因为函数在上单调递减，所以若，，则；反之若，，则.所以若，则“”是“”的充要条件，故选：C.3、B【解析】根据空间向量基本定理求解【详解】由已知故选：B4、B【解析】求出两圆的圆心与半径，根据两圆的位置关系的判定即可求解.【详解】已知圆的圆心到直线的距离，即，解得或,因为,所以,圆的圆心的坐标为，半径，将圆化为标准方程为，其圆心的坐标为，半径，圆心距，两圆内切，故选：B5、A【解析】依题意可得为正方形，即可得到，从而得到双曲线的渐近线为，即可求出双曲线的离心率；【详解】解：依题意，，且四边形为菱形，所以为正方形，所以，即双曲线的渐近线为，即，所以；故选：A6、C【解析】按照空间中点到直线的距离公式直接求解.【详解】由题意，，，的方向向量，，则点到直线的距离为.故选：C.7、D【解析】利用指数函数的单调性可判断命题的真假，利用特殊值法可判断命题的真假，结合复合命题的真假可判断出各选项中命题的真假.【详解】对于命题，由于函数为上的增函数，当时，，命题为真命题；对于命题，若，取，，则，命题为假命题.所以，、、均为假命题，为真命题.故选：D.【点睛】本题考查简单命题和复合命题真假的判断，考查推理能力，属于基础题.8、D【解析】先设，代入化简，由纯虚数定义求出，即可求解.【详解】设，所以，因为为纯虚数，所以，解得，所以的虚部为：.故选：D.9、C【解析】根据两点之间的距离公式的几何意义即可判定出动点轨迹.【详解】由题意可知表示动点到点和点的距离之和等于，又因为点和点的距离等于，所以动点的轨迹为线段.故选：10、C【解析】根据给定条件结合椭圆、双曲线方程的特点直接列式计算作答.【详解】设椭圆半焦距为c，则，而椭圆与双曲线有共同的焦点，则在双曲线中，，即有，解得，所以.故选：C11、C【解析】利用正弦函数和常数导数公式，结合代入法进行求解即可.【详解】因为，所以，所以，，故选：C12、D【解析】用基本量表示可得基本量的关系式，从而可得，故可得正确的选项.【详解】若，则，而，此时，这与题设不合，故，故，故，而，故，此时不确定，故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据平行可得斜率相等列出关于参数的方程，解方程进行检验即可求解.【详解】因为直线与平行，所以，解得或，又因为时，，，所以直线，重合故舍去，而,,，所以两直线平行.所以，故答案为：3.【点睛】(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论14、##【解析】根据抛物线方程可得焦点坐标，进而点P为抛物线的焦点，设，利用抛物线的定义可得，有轴，即可得出结果.【详解】由题意知，抛物线的焦点坐标，又，所以点P为抛物线的焦点，设，由，由抛物线的定义得，解得，所以AB垂直与x轴，所以直线AB的方程为：.故答案为：15、【解析】应用基本不等式“1”的代换求a+4b的最小值即可.【详解】由，有，则，当且仅当，且，即时等号成立，∴最小值为.故答案为：16、【解析】根据已知点的坐标，确定出坐标系即可得【详解】如图，由已知得坐标系如图所示，轴过正方形的对角线交点，轴过中点，轴过中点，因此可知坐标为故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）数列，，，不具有性质；（2）证明见解析；（3）可能取值只有.【解析】（1）由数列具有性质的定义，只需判断存在与都不是数列中的项即可.（2）由性质知：、，结合非负递增性有，再由时，必有，进而可得，，，，，应用累加法即可证结论.（3）讨论、、，结合性质、等差数列的性质判断是否存在符合题设性质，进而确定的可能取值.【小问1详解】数列，，，不具有性质.因为，，和均不是数列，，，中的项，所以数列，，，不具有性质.【小问2详解】记数列的各项组成的集合为，又，由数列具有性质，，所以，即，所以.设，因为，所以.又，则，，，，.将上面的式子相加得：.所以.【小问3详解】（i）当时，由（2）知，，，这与数列不是等差数列矛盾，不合题意.（ii）当时，存在数列，，，，符合题意，故可取.（iii）当时，由（2）知，.①当时，，所以，.又，，∴，，，，即.由，，得：，，∴.②由①②两式相减得：，这与数列不是等差数列矛盾，不合题意.综上，满足题设的的可能取值只有.【点睛】关键点点睛：第二问，由可知，并应用累加法求证结论；第三问，讨论k的取值，结合的性质，由性质、等差数列的性质判断不同k的取值情况下数列的存在性即可.18、（1）（2）【解析】（1）根据两点距离公式即可求半径，进而得圆方程；（2）根据直线与圆的弦长公式即可求解【小问1详解】由，所以圆O的方程为；【小问2详解】由点O到直线的距离为所以弦长19、（1）；（2）.【解析】（1）首先求导函数，计算，接着根据导数的几何意义确定切线的斜率，最后根据点斜式写出直线方程即可;（2）因为点不在曲线上，所以设切点为，根据导数的几何意义写出切线的方程，代入点求解，最后写出切线方程即可.【详解】（1）.，.所以曲线在处的切线方程为，即（2）设切点为，则曲线在点处的切线方程为，代入点得，，.所以曲线过点的切线方程为，即.20、（1）；（2）.【解析】（1）将不等式分解因式，即可求得不等式解集；（2）根据不等式解集，考虑其对应二次函数的特征，即可求出参数的范围.【小问1详解】当时，即，也即，则，解得或，故不等式解集为.【小问2详解】不等式的解集为，即的解集为，也即的解集为，故其对应二次函数的，解得.故实数的取值范围为：.21、（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）求出函数的定义域为，求得，分、、三种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；（2）构造函数，由题意可知恒成立，对实数分和两种情况讨论，利用导数分析函数在区间上的单调性，验证是否成立，由此可得出实数的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为，.（i）当时，，函数在上单调递增；（ii）当时，令得.若，则；若，则.①当时，，函数在上单调递增；②当时，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；综上，可得，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（2）设，，则.当时，单调递增，则.所以，函数在上单调递增，且.当时，，于是，函数在上单调递增，恒成立，符合题意；当时，由于，，，所以，存在，使得.当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.故，不符合题意，综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，考查分类讨论思想的应用，属于难题.22、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据等腰三角形可得，再由面面垂直的性质得出线面