2025届安徽省六安市青山中学高二数学第一学期期末统考试题含解析

2025届安徽省六安市青山中学高二数学第一学期期末统考试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若椭圆的短轴为,一个焦点为,且为等边三角形的椭圆的离心率是A. B.C. D.2．设、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则3．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则4．已知f(x)为R上的可导函数，其导函数为，且对于任意的x∈R，均有，则（）A.e－2021f(－2021)>f(0)，e2021f(2021)<f(0) B.e－2021f(－2021)<f(0)，e2021f(2021)<f(0)C.e－2021f(－2021)>f(0)，e2021f(2021)>f(0) D.e－2021f(－2021)<f(0)，e2021f(2021)>f(0)5．命题若，且，则，命题在中，若，则.下列命题中为真命题的是（）A. B.C. D.6．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与圆相切于点，交双曲线的右支于点，且点是线段的中点，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.7．已知圆，直线，则直线l被圆C所截得的弦长的最小值为（）A.2 B.3C.4 D.58．已知角的终边经过点，则，的值分别为A.， B.，C.， D.，9．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则为（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形10．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.11．从集合中任取两个不同元素，则这两个元素相差的概率为（）A. B.C. D.12．已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且，则椭圆的方程为A B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知抛物线的准线方程为，在抛物线C上存在A、B两点关于直线对称，设弦AB的中点为M，O为坐标原点，则的值为___________.14．无穷数列满足：只要必有则称为“和谐递进数列”.已知为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，，则=_________.15．在下列所示电路图中，下列说法正确的是____(填序号)（1）如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；（2）如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；（3）如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；（4）如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件16．已知等差数列中，，则=_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD为矩形，，AB=2，，平面，，，E是SA的中点（1）求直线EF与平面SCD所成角的正弦值；（2）在直线SC上是否存在点M，使得平面MEF平面SCD？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由18．（12分）已知抛物线的准线方程是.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，证明：.19．（12分）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过F的直线与抛物线C交于A，B两点，点M在抛物线C的准线上，MF⊥AB，S△AFM＝λS△BFM（1）当λ＝3时，求|AB|的值；（2）当λ∈[]时，求|+|的最大值20．（12分）已知平面直角坐标系上一动点满足：到点的距离是到点的距离的2倍.（1）求点的轨迹方程；（2）若点与点关于直线对称，求的最大值.21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.点P是椭圆上的一动点，且P在第一象限.记的面积为S，当时，.（1）求椭圆E的标准方程；（2）如图，PF1，PF2的延长线分别交椭圆于点M，N，记和的面积分别为S1和S2.（i）求证：存在常数λ，使得成立；（ii）求S2-S1的最大值.22．（10分）自疫情爆发以来，由于党和国家对抗疫工作高度重视，在人民群众的不懈努力下，我国抗疫工作取得阶段性成功，国家经济很快得到复苏.在餐饮业恢复营业后，某快餐店统计了近天内每日接待的顾客人数，将前天的数据进行整理得到频率分布表和频率分布直方图.组别分组频数频率第组第组第组第组第组合计（1）求、、的值，并估计该快餐店在前天内每日接待的顾客人数的平均数；（2）已知该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的方差为，在后天内每日接待的顾客人数的平均数为、方差为，估计这家快餐店这天内每日接待的顾客人数的平均数和方差.（）

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】因为为等边三角形,所以.考点：椭圆的几何性质.点评：椭圆图形当中有一个特征三角形，它的三边分别为a,b,c.因而可据此求出离心率.2、B【解析】根据线线、线面、面面的位置关系，对选项进行逐一判断即可.【详解】选项A.一条直线垂直于一平面内的，两条相交直线，则改直线与平面垂直则由，不能得出，故选项A不正确.选项B.,则正确，故选项B正确.选项C若，则与可能相交，可能异面，也可能平行，故选项C不正确.选项D.若，则与可能相交，可能平行，故选项D不正确.故选：B3、C【解析】对于A、B、D均可能出现，而对于C是正确的4、D【解析】通过构造函数法，结合导数确定正确答案.【详解】构造函数，所以在上递增，所以，即.故选：D5、A【解析】根据不等式性质及对数函数的单调性判断命题的真假，根据大角对大边及正弦定理可判断命题的真假，再根据复合命题真假的判断方法即可得出结论.【详解】解：若，且，则，当时，，所以，当时，，所以，综上命题为假命题，则为真命题，在中，若，则，由正弦定理得，所以命题为真命题，为假命题，所以为真命题，，，为假命题.故选：A.6、D【解析】焦点三角形问题，可结合为三角形的中位线，判断：焦点三角形为直角三角形，并且有，，可由勾股定理得出关系，从而得到关系，从而求得渐近线方程.【详解】由题意知，，且点是线段的中点，点是线段的中点，为三角形的中位线故，故，由双曲线定义有由勾股定理有故则则，故故渐近线方程为：故选：D【点睛】双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、||PF1|-|PF2||＝2a，得到a，c的关系7、C【解析】直线l过定点D(1，1)，当时，弦长最短.【详解】由，圆心，半径，，由，故直线l过定点，∵，故D在圆C内部，直线l始终与圆相交，当时，直线l被圆截得的弦长最短，，弦长＝.故选：C.8、C【解析】利用任意角的三角函数的定义：，，，代入计算即可得到答案【详解】由于角的终边经过点，则,，（为坐标原点），所以由任意角的三角函数的定义：，.故答案选C【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，解决此类问题的关键是掌握牢记三角函数定义并能够熟练应用，属于基础题9、B【解析】由余弦定理可得，再利用可得答案.【详解】因为，所以，由余弦定理，因为，所以，又，∴，故为直角三角形.故选：B.10、D【解析】以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，，，因此异面直线与所成角的余弦值等于.故选：D.11、B【解析】一一列出所有基本事件，然后数出基本事件数和有利事件数，代入古典概型的概率计算公式，即可得解.【详解】解：从集合中任取两个不同元素的取法有、、、、、共6种，其中满足两个元素相差的取法有、、共3种.故这两个元素相差的概率为.故选：B.12、D【解析】根据等腰直角三角形的性质可得，将代入椭圆方程，结合离心率为以及性质列方程组求得与的值，从而可得结果.【详解】设直线与椭圆在第一象限的交点为，因为，所以，即，由可得，，故所求椭圆的方程为.故选D.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与性质，以及椭圆离心率的应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、5【解析】先运用点差法得到，然后通过两点距离公式求出结果详解】解：抛物线的准线方程为，所以，解得，所以抛物线的方程为，设点，，，，的中点为，，则，，两式相减得，即，又因为，两点关于直线对称，所以，解得，可得，则，故答案为：514、7578【解析】根据新定义得数列是周期数列，从而易求得【详解】∵成等比数列，，∴，又，为“和谐递进数列”，∴，，，，…，∴数列是周期数列，周期为4∴故答案为：757815、（1）（2）（3）【解析】充分不必要条件是该条件成立时，可推出结果，但结果不一定需要该条件成立；必要条件是有结果必须有这一条件，但是有这一条件还不够；充要条件是条件和结果可以互推；条件和结果没有互推关系的是既不充分也不必要条件【详解】（1）开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关不一定闭合，所以开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件，选项（1）正确.（2）开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关必须闭合，所以开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件，选项（2）正确.（3）开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关必须闭合，所以开关闭合是灯泡亮的充要条件，选项（3）正确.（4）开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关不一定闭合，所以开关闭合是灯泡亮的既不充分也不必要条件，选项（4）错误.故答案为（1）（2）（3）.16、4【解析】由等差数列的通项公式求出公差，进而求出.【详解】设该等差数列的公差为，则，所以.故答案为：4.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）存在，M与S重合【解析】（1）分别取AB，BC中点M，N，易证两两互相垂直，以为正交基底，建立空间直角坐标系，先求得平面SCD的一个法向量，再由求解；（2）假设存在点M，使得平面MEF平面SCD，再求得平面MEF的一个法向量，然后由求解.小问1详解】解：分别取AB，BC中点M，N，则，又平面则两两互相垂直，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，，所以，设平面SCD的一个法向量为，，，则，，直线EF与平面SBC所成角的正弦值为.【小问2详解】假设存在点M，使得平面MEF平面SCD，，，设平面MEF的一个法向量，，令，则，平面MEF平面SCD，，，存在点，此时M与S重合.18、（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析【解析】（Ⅰ）利用排趋性的准线方程求出p，即可求解抛物线的方程；（Ⅱ）直线y=k（x-2）（k≠0）与抛物线联立，通过韦达定理求解直线的斜率关系即可证明OM⊥ON试题解析：（Ⅰ）解：因为抛物线的准线方程为，所以，解得，所以抛物线的方程为.（Ⅱ）证明：设，.将代入，消去整理得.所以.由，，两式相乘，得，注意到，异号，所以.所以直线与直线的斜率之积为，即.考点：直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程19、（1）（2）【解析】（1）由面积之比可得向量之比，设直线AB的方程，与抛物线的方程联立求出两根之和及两根之积，与向量的关系可得的A，B的横坐标的关系联立求出直线AB的斜率，再由抛物线的性质可得焦点弦的值；（2）由（1）的解法类似的求出AB的中点N的坐标，可得直线AB的斜率与λ的关系，再由λ的范围，求出直线AB的斜率的范围，由题意设直线MF的方程，令y＝﹣1求出M的横坐标，进而求出|MN|的最大值，而|+|＝2||，求出|+|的最大值【小问1详解】当λ＝3时，即S△AFM＝3S△BFM，由题意可得＝3，因为抛物线C：x2＝4y的焦点为F（1，0），准线方程为y＝﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y＝kx+1，联立，整理可得：x2﹣4kx﹣4＝0，显然，x1+x2＝4k①，x1x2＝﹣4②，y1+y2＝k（x1+x2）+2＝4k2+2，由＝3，则（﹣x1，1﹣y1）＝3（x2，y2﹣1）可得x1＝﹣3x2③，①③联立可得x2＝﹣2k，x1＝6k，代入②中可得﹣12k2＝﹣4，解得k2＝，由抛物线的性质可得|AB|＝y1+y2+2＝4×+2＝，所以|AB|的值为；【小问2详解】由（1）可得AB中点N（2k，2k2+2），由＝λ，则x1＝﹣λx2④，同（1）的算法：①②④联立4k2λ＝（1﹣λ）2，因为λ∈[]，所以4k2＝λ+﹣2，令y＝λ+，λ∈[]，则函数y先减后增，所以λ＝2或时，y最大且为2+，此时4k2最大，且为，所以k2的最大值为：，直线MF的方程为：y＝﹣x+1，令y＝﹣1，可得x＝2k，即M（2k，﹣1），因为|+|＝2||，而|NM|＝|2k2+2+1|＝2k2+3≤2×+3＝，所以|+|的最大值为20、（1）（2）【解析】（1）直接法求动点的轨迹方程，设点，列方程即可.（2）点关于直线对称的对称点问题，可以先求出点到直线的距离最值的两倍就是的距离，也可以求出点的轨迹方程直接求解的距离.【小问1详解】设，由题意，得：，化简得，所以点轨迹方程为【小问2详解】方法一：设，因为点与点关于点对称，则点坐标为，因为点在圆，即上运动，所以，所以点的轨迹方程为，所以两圆的圆心分别为，半径均为2，则.方法二：由可得：所以点的轨迹是以为圆心