人教版九年级数学上册重难考点专题01圆的基本性质+垂径定理(知识串讲+6大考点)特训(原卷版+解析)

专题01圆的基本性质+垂径定理考点类型知识串讲（一）圆的相关概念（1）圆的概念：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．（2）确定圆的条件：①圆心；②半径，③其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．（3）相关概念同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；等圆：半径相等的圆叫做等圆．（二）垂径定理及其推论（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧（2）推论：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③圆的两条平行弦所夹的弧相等（3）常见辅助线做法：①过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度（多为方程勾股）；②有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．考点训练考点1：圆的相关概念典例1：（2023·福建·九年级专题练习）生活中经常把井盖做成圆形的，这样井盖就不会掉进井里去，这是因为（

）A．同样长度的线段围成的平面图形中圆的面积最大B．同一个圆所有的直径都相等C．圆的周长是直径的π倍D．圆是轴对称图形【变式1】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）已知线段AB的中点为M，动点P满足AB=2PM，则点P的轨迹是（

）A．以AB为直径的圆B．AB的延长线 C．AB的垂直平分线 D．平行AB的直线【变式2】（2022秋·浙江杭州·九年级统考期末）已知AB是半径为2的圆的一条弦，则AB的长可能是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【变式3】（2023·江苏·九年级假期作业）画圆时，圆规两脚间可叉开的距离是圆的（）A．直径 B．半径 C．周长 D．面积考点2：利用垂径定理——求线段典例2：（2023春·湖南长沙·八年级校考期末）如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB长为16，OE长为6，则⊙O半径是（

）A．5 B．6 C．8 D．10【变式1】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，点A、B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合），连接AP、PB，过点O分别作OE⊥AP交AP于点E，OF⊥PB交PB于点

A．2 B．3 C．5 D．6【变式2】（2023·浙江·一模）如图，在水平放置的圆柱形排水管的截面中，圆的半径为5，弓形部分水面宽度AB=8，则该截面中水的最大深度是（

）

A．5 B．4 C．3 D．2【变式3】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，点A、B、C三点在⊙O上，点D为弦AB的中点，AB=8cm，CD=6cm，则A．43cm B．53cm C．83考点3：利用垂径定理——求平行弦典例3：（2022秋·天津和平·九年级校考期末）⊙O半径为5，弦AB∥CD，AB=6，CD=8，则AB与CD间的距离为（A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【变式1】（2022秋·浙江宁波·九年级宁波市第七中学校考阶段练习）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽为（

）A．1.2m B．1.4m C．1.6m D．1.8m【变式2】（2022秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB和CD的距离是（

）A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm【变式3】（2023春·全国·九年级专题练习）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（）cmA．1 B．3 C．3或4 D．1或7考点4：利用垂径定理——求同心圆典例4：（2022秋·北京·九年级北师大实验中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过A2,2，B4,0，A．点D B．点E C．点F D．点G【变式1】（2022春·九年级课时练习）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（）cm.A．6 B．42 C．43 【变式2】（2023春·九年级课时练习）已知△ABC的边BC=23，且△A．60° B．120° C．60°或120° D．90°【变式3】（2021春·九年级课时练习）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（）cmA．5 B．4 C．25 D．考点5：利用垂径定理——实际应用典例5：（2023·广西·统考中考真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（

A．20m B．28m C．35m【变式1】（2022秋·河北邢台·九年级校考期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（

）A．1米 B．3+5米 C．3米 D．3−【变式2】（2023春·福建南平·九年级专题练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧．如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O（O在水面上方）为圆心的圆，且圆O被水面截得的弦AB长为8米．若筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2米，则这个圆的半径为（

）A．2米 B．3米 C．4米 D．5米【变式3】（2023·河北沧州·统考三模）图1是木马玩具，图2是木马玩具底座水平放置的示意图，点O是AB所在圆的圆心，点A，B离地高度均为15cm，水平距离AB=90cm，则

A．60cm B．65cm C．70cm 考点6：垂径定理的推论——定圆心典例6：（2023春·安徽亳州·九年级专题练习）如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，CE=DE，则下列说法错误的是（

）A．CB=BD B．OE=BE C．CA=DA D．【变式1】（2022秋·九年级统考期中）如图，⊙O的弦AB=8，M是AB的中点，且OM=3，则⊙O的半径等于（

）A．7 B．4 C．5 D．6【变式2】（2022春·九年级课时练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，点D是AB的中点，将△ACD沿CD对折得△A′CD．连接BA′，连接AA′交CD于点E，若AB=14cm，BA．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【变式3】（2022秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（

）．A．点P B．点Q C．点R D．点M同步过关一、单选题1．（2022春·九年级单元测试）如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有(

)A．2条 B．3条 C．4条 D．5条2．（2023春·九年级单元测试）在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长弦的长为8cm，最短的弦的长为4cm，则OP的长为（）．A．23cm B．22cm C．2cm 3．（2022秋·九年级单元测试）如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为()A．19 B．16 C．18 D．204．（2023春·九年级单元测试）已知⊙O的半径为10，P为⊙O内一点，且OP＝6，则过P点，且长度为整数的弦有（

）A．5条 B．6条 C．8条 D．10条5．（2022·全国·九年级专题练习）如图，由边长为1的正方形组成的6×5网格中，一块含45°的三角板ABC的斜边AB始终经过格点N，AC始终经过格点M，点A在MN下方运动，格点P到A的距离最小值为（

）A．1 B．2 C．13﹣1 D．22﹣26．（2022秋·全国·九年级专题练习）小明想知道一块扇形铁片OAB中的AB的拱高（弧的中点到弦的距离）是多少？但他没有任何测量工具，聪明的小明观察发现身旁的墙壁是由10cm的正方形瓷砖密铺而成（接缝忽略不计）．他将扇形OAB按如图方式摆放，点O,A,B恰好与正方形瓷砖的顶点重合，根据以上操作，AB的拱高约是（

A．10cm B．20cm C．(30−1057．（2023·广东梅州·统考一模）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交⊙O于点E，垂足为点D，AE，CB的延长线交于点F．若OD=3，AB=8，则FC的长是（

A．10 B．8 C．6 D．48．（2023春·九年级单元测试）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为()A．6 B．62 C．8 D．829．（2023·九年级单元测试）☉O的半径为10cm,弦AB=12cm,则圆心到AB的距离为()A．2cm B．6cm C．8cm D．10cm10．（2022秋·浙江杭州·九年级期中）CD是圆O的直径，弦AB⊥CD于点E，若OE=3，AE=4，则下列说法正确的是（

）A．AC的长为25 B．CEC．CD的长为12 D．AD的长为10二、填空题11．（2022秋·九年级课时练习）在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为10cm，最小距离为4cm，则此圆的半径为．12．（2022春·九年级单元测试）点A、B在⊙O上，若∠AOB=40°，则∠OAB=．13．（2022秋·九年级单元测试）如图，将半径为4cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长度为cm．14．（2023春·九年级课时练习）如图，AB是⊙o的直径，CD是弦，若AB=10cm，CD=8cm,那么A、B两点到直线CD的距离之和为.15．（2022春·九年级课时练习）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径是6，若点P是⊙O上的一点，PB＝AB，则PA的长为．16．（2022秋·九年级课时练习）如图，⊙O的半径为10cm，△ABC内接于⊙O，圆心O在△ABC内，如果AB=AC，BC=12cm，那么△ABC的面积为cm2．三、解答题17．（2022秋·九年级课时练习）已知；如图，在⊙O中，C、D分别是半径OA、BO的中点，求证：AD＝BC．18．（2022秋·九年级单元测试）往直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示．若油面宽AB=60019．（2011秋·七年级课时练习）如下图，在半径为5米的圆形花坛周围修一条宽1米的小路，求小路的面积．20．（2022春·九年级课时练习）为了落实“二十大”报告精神，办人民满意教育，决定重新修建学校运动场，设计图如下：两端是半圆形，中间是长方形．（π取3）(1)求这个运动场的周长．(2)求这个运动场的面积．(3)已知整个运动场由草坪和塑胶跑道组成，塑胶跑道和草坪的面积比是3：7，每平方米草坪的价格是5元，比每平方米塑胶的价格低192021．（2021·全国·九年级假期作业）在直径为10cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图，油面宽AB为6cm，当油面宽AB为8cm时，油上升了多少cm？22．（2021秋·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上且不与点A，B重合，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为点G，交⊙O于点E，连接CE交BD于点F，连接FG．(1)求证：FG=1(2)若AB=65，FG=623．（2022秋·九年级课时练习）如图，已知AB=AC，∠APC=60°（1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若BC=4cm，求⊙O的面积．24．（2022秋·全国·九年级专题练习）问题提出（1）如图①，在△ABC中，BC＝6，D为BC上一点，AD＝4，则△ABC面积的最大值是．问题探究（2）如图②，已知矩形ABCD的周长为12，求矩形ABCD面积的最大值．问题解决（3）如图③，△ABC是葛叔叔家的菜地示意图，其中AB＝30米，BC＝40米，AC＝50米，现在他想利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形ABCD，且满足∠ADC＝60°．你认为葛叔叔的想法能否实现？若能，求出这个四边形鱼塘周长的最大值；若不能，请说明理由．25．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直线MN是过点A的直线CD⊥MN于点D，连接BD．（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC，AD，BD之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B作BE⊥BD，交MN于点E，进而得出：DC+AD=BD．（2）探究证明将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC，AD，BD之间的数量关系，并证明（3）拓展延伸在直线MN绕点A旋转的过程中，当△ABD面积取得最大值时，若CD长为1，请直接写BD的长．

专题01圆的基本性质+垂径定理考点类型知识串讲（一）圆的相关概念（1）圆的概念：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．（2）确定圆的条件：①圆心；②半径，③其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．（3）相关概念同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；等圆：半径相等的圆叫做等圆．（二）垂径定理及其推论（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧（2）推论：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③圆的两条平行弦所夹的弧相等（3）常见辅助线做法：①过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度（多为方程勾股）；②有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．考点训练考点1：圆的相关概念典例1：（2023·福建·九年级专题练习）生活中经常把井盖做成圆形的，这样井盖就不会掉进井里去，这是因为（

）A．同样长度的线段围成的平面图形中圆的面积最大B．同一个圆所有的直径都相等C．圆的周长是直径的π倍D．圆是轴对称图形【答案】B【分析】根据圆的特征即可求解．【详解】解：根据同一个圆所有的直径都相等，则井盖就不会掉进井里去，故选：B．【点睛】本题主要考查圆的基础知识，理解并掌握圆的基础知识，圆的基本特征是解题的关键．【变式1】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）已知线段AB的中点为M，动点P满足AB=2PM，则点P的轨迹是（

）A．以AB为直径的圆B．AB的延长线 C．AB的垂直平分线 D．平行AB的直线【答案】A【分析】根据圆的有关概念即可分析判断．【详解】解：∵线段AB的中点为M，∴MA=MB=1∵AB=2PM，∴PM=MA=MB=1∴点P在以点M为圆心，AB为直径的圆上，故选：A．【点睛】本题考查了圆的有关认识，掌握圆的有关概念是解题的关键．【变式2】（2022秋·浙江杭州·九年级统考期末）已知AB是半径为2的圆的一条弦，则AB的长可能是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】求出圆的直径，根据直径是圆中最长的弦判断即可．【详解】∵圆的半径为2，∴圆的直径为4，∵AB是半径为2的圆的一条弦，∴0<AB≤4，故选：A．【点睛】此题考查了圆的弦的性质：直径是圆中最长的弦，正确理解是解题的关键．【变式3】（2023·江苏·九年级假期作业）画圆时，圆规两脚间可叉开的距离是圆的（）A．直径 B．半径 C．周长 D．面积【答案】B【详解】解：画圆时，圆规两脚间可叉开的距离是圆的半径．故选：B．【点睛】本题考查了圆的半径的定义，理解半径的定义是解本题的关键．考点2：利用垂径定理——求线段典例2：（2023春·湖南长沙·八年级校考期末）如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB长为16，OE长为6，则⊙O半径是（

）A．5 B．6 C．8 D．10【答案】D【分析】连接OB，由垂径定理可得BE=AE=8，由勾股定理计算即可获得答案．【详解】解：如图，连接OB，∵线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，AB=16，∴BE=AE=1∴在Rt△OBE中，可有OB=∴⊙O半径是10．故选：D．【点睛】本题主要考查了垂径定理及勾股定理等知识，理解并掌握垂径定理是解题关键．【变式1】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，点A、B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合），连接AP、PB，过点O分别作OE⊥AP交AP于点E，OF⊥PB交PB于点

A．2 B．3 C．5 D．6【答案】C【分析】先根据垂径定理得出AE=PE，PF=BF，故可得出EF是【详解】解：∵OE⊥AP于E，OF⊥PB于∴AE=PE，∴EF是△APB的中位线，∴EF=1故选：C．【点睛】本题考查的是垂径定理，中位线定理，熟知垂直于弦的直径平分弦是解答此题的关键．【变式2】（2023·浙江·一模）如图，在水平放置的圆柱形排水管的截面中，圆的半径为5，弓形部分水面宽度AB=8，则该截面中水的最大深度是（

）

A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】根据垂径定理和勾股定理求解即可．【详解】解：连接OA，过O作OC⊥AB于C，并延长交圆于D，则OD=OA=5，AC=12AB=4

在Rt△OCA在，OC=∴CD=OD−OC=2，即该截面中水的最大深度是2，故选：D．【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理得到是解答的关键．【变式3】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，点A、B、C三点在⊙O上，点D为弦AB的中点，AB=8cm，CD=6cm，则A．43cm B．53cm C．83【答案】B【分析】连接OA，设OA=r(cm)，根据CD的长计算出OD的长，根据点D为弦AB的中点，O为圆心得到OD⊥AB，从而求出AD的长，在Rt△AOD中利用勾股定理求出r【详解】解：连接OA，设OA=r(cm则OC=OA=r(cm∵点D为弦AB的中点，O为圆心，∴OD⊥AB，∵AB=8(cm∴AD=BD=4(cm∵CD=6(cm∴OD=CD−OC=(6−r)(cm在Rt△AOD中，由勾股定理得O∴r解得r=13∴OD=5故选：B．【点睛】本题考查了垂径定理及推论，熟知：垂直于弦的直径平分这条弦，熟练掌握勾股定理的计算．考点3：利用垂径定理——求平行弦典例3：（2022秋·天津和平·九年级校考期末）⊙O半径为5，弦AB∥CD，AB=6，CD=8，则AB与CD间的距离为（A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【答案】C【分析】过O点作OE⊥AB，E为垂足，交CD与F，连OA，OC，由AB∥CD，得到OF⊥CD，根据垂径定理得AE=3，CF=4，再在Rt△OAE中和在Rt△OCF中分别利用勾股定理求出OE，OF，然后讨论：当圆O点在AB、CD之间，AB与CD之间的距离=OE+OF；当圆O点不在AB、CD之间，AB与【详解】解：过O点作OE⊥AB，E为垂足，交CD与F，连OA，OC，如图，∵AB∥∴OF⊥CD，∴AE=BE，CF=DF，而AB=6，CD=8，∴AE=3，CF=4，在Rt△OAE中，OA=5，OE=在Rt△OCF中，OC=5，OF=当圆O点在AB、CD之间，AB与CD之间的距离=OE+OF=7；当圆O点不在AB、CD之间，AB与CD之间的距离=OE−OF=1；所以AB与CD之间的距离为7或1．故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及分类讨论的思想的运用．【变式1】（2022秋·浙江宁波·九年级宁波市第七中学校考阶段练习）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽为（

）A．1.2m B．1.4m C．1.6m D．1.8m【答案】C【分析】先根据垂径定理和勾股定理求出OE的长，再根据垂径定理求出CF，即可得出结论.【详解】如图作OE⊥AB于点E，交CD于F∵AB=1.2，OE⊥AB，OA=1∴OE=0.8m∵水管水面上升了0.2米，∴OF=OE-EF=0.8-0.2=0.6m∴CF=O∴CD=1.6m故选C【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理是解题关键.【变式2】（2022秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB和CD的距离是（

）A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm【答案】D【分析】分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况，根据垂径定理和勾股定理进行计算即可．【详解】第一种情况：两弦在圆心的一侧时，∵CD=10cm，OE⊥CD，∴DE=1∵圆的半径为13cm，∴OD=13cm，∴利用勾股定理可得：OE=O同理可求OF=5cm，∴EF=OE-OF=12cm-5cm=7cm；第二种情况：只是EF=OE+OF=17cm．其它和第一种一样；综上分析可知，两弦之间的距离为7cm或17cm，故D正确．故选D．【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用定理、注意分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况讨论是解题的关键．【变式3】（2023春·全国·九年级专题练习）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（）cmA．1 B．3 C．3或4 D．1或7【答案】D【分析】分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面CD，作ON⊥AB与CD、AB的交点为M、N，可知OM⊥CD，CM=MD=12CD=4cm，AN=BN=12AB=3cm，在Rt△BON中，由勾股定理得ON=OB2−BN2，解得ON的值，在Rt△DOM中，由勾股定理得OM=OD2−DM2，解得OM的值，计算ON−OM即可；②如图2，宽度为8cm的油面EF，作PN⊥EF与AB、EF的交点为【详解】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面CD，作ON⊥AB与CD、AB的交点为M、N由题意知OM⊥CD，CM=MD=12在Rt△BON中，由勾股定理得ON=在Rt△DOM中，由勾股定理得OM=∴MN=ON−OM=1②如图2，宽度为8cm的油面EF，作PN⊥EF与AB、EF的交点为N、P，连接OB由题意知PN⊥AB，EP=PF=12在Rt△BON中，由勾股定理得ON=在Rt△EPO中，由勾股定理得OP=∴NP=ON+OP=7∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm；故选D．【点睛】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对两种情况全面考虑．考点4：利用垂径定理——求同心圆典例4：（2022秋·北京·九年级北师大实验中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过A2,2，B4,0，A．点D B．点E C．点F D．点G【答案】B【分析】根据图形作线段AB和PQ的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可．【详解】解：如图作线段AB和PQ的垂直平分线，交于点E，即为弧的圆心，故选：B．【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用．【变式1】（2022春·九年级课时练习）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（）cm.A．6 B．42 C．43 【答案】C【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，∵OA=OD=4，CD=2，∴OC=2，∴AC=OA∴AB=2AC=43故答案为C.【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.【变式2】（2023春·九年级课时练习）已知△ABC的边BC=23，且△A．60° B．120° C．60°或120° D．90°【答案】C【分析】连接OB，OC，作OD⊥BC，利用垂径定理和特殊角的三角函数可求得∠BOD=60°，从而求得答案.注意弦所对的圆周角有锐角和钝角两种情况.【详解】①当△ABC时锐角三角形时，连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，∴BD=12∵OB=2∴sin∴∠BOD=60°∴∠BOC=2∠BOD=2×60°=120°，∵BC=BC，∴∠A=1②当△ABC时钝角三角形时，如图，由①可知∠E=60°，∵四边形ABEC是圆内接四边形，∴∠E+∠A=180°，∴∠A=180°-60°=120°.故∠A的度数为60°或120°.故答案为：C【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理和解直角三角形．正确作出辅助线是解题的关键.【变式3】（2021春·九年级课时练习）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（）cmA．5 B．4 C．25 D．【答案】D【详解】解：∵O为圆心的两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆相切于C点，∴C点是AB的中点，即AC=BC=12并且OC⊥AB，在RtΔAOC中，由勾股定理得AO所以OC2=AO2所以OC所以OC=27故选：D【点睛】本题考查弦心距，勾股定理，解答本题要求考生掌握弦心距的概念和性质，熟悉勾股定理的内容.考点5：利用垂径定理——实际应用典例5：（2023·广西·统考中考真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（

A．20m B．28m C．35m【答案】B【分析】由题意可知，AB=37m，CD=7m，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到【详解】解：如图，由题意可知，AB=37m，CD=7m，主桥拱半径∴OD=OC−CD=R−7∵OC是半径，且OC⊥AB，∴AD=BD=1在Rt△ADO中，A∴37解得：R=1565故选B

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解题关键．【变式1】（2022秋·河北邢台·九年级校考期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（

）A．1米 B．3+5米 C．3米 D．3−【答案】D【分析】连接OC交AB于D，根据圆的性质和垂径定理可知OC⊥AB，AD=BD=2，根据勾股定理求得OD的长，由CD=OC−OD即可求解．【详解】解：根据题意和圆的性质知点C为AB的中点，连接OC交AB于D，则OC⊥AB，AD=BD=1在Rt△OAD中，OA=3，AD=2∴OD=A∴CD=OC−OD=3−5即点C到弦AB所在直线的距离是3−5故选：D．【点睛】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．【变式2】（2023春·福建南平·九年级专题练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧．如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O（O在水面上方）为圆心的圆，且圆O被水面截得的弦AB长为8米．若筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2米，则这个圆的半径为（

）A．2米 B．3米 C．4米 D．5米【答案】D【分析】过圆O作OD⊥AB于E，如图所示，由垂径定理可知AE=BE=4，设圆的半径为r，再利用勾股定理列方程求解即可得到答案．【详解】解：过圆O作OD⊥AB于E，如图所示：∵弦AB长为8米，∴AE=BE=4，∵盛水桶在水面以下的最大深度为2米，设圆的半径为r，在Rt△AOE中，∠AEO=90°，OA=r，AE=4，OE=OD−ED=r−2，则由勾股定理可知OA2=OE解得r=5，∴这个圆的半径为5米，故选：D．【点睛】本题考查垂径定理及勾股定理的应用，根据题意，垂径定理构造直角三角形，勾股定理列方程求线段长是圆背景下求线段长的解题关键．【变式3】（2023·河北沧州·统考三模）图1是木马玩具，图2是木马玩具底座水平放置的示意图，点O是AB所在圆的圆心，点A，B离地高度均为15cm，水平距离AB=90cm，则

A．60cm B．65cm C．70cm 【答案】D【分析】连接AB，作半径OD⊥AB交AB于E，设OA=xcm，则OE=OD−DE=x−15cm，应用垂径定理、勾股定理列出关于x【详解】解：如图所示，连接AB，作半径OD⊥AB交AB于E，

，则AE=BE=12AB=设OA=xcm，则OE=OD−DE=∵OA∴x解得：x=75，故选：D．【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用勾股定理来解决问题．考点6：垂径定理的推论——定圆心典例6：（2023春·安徽亳州·九年级专题练习）如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，CE=DE，则下列说法错误的是（

）A．CB=BD B．OE=BE C．CA=DA D．【答案】B【分析】根据垂径定理及其推论判断即可．【详解】解：∵AB是⊙O的直径与弦CD交于点E，CE=DE，∴根据垂径定理及其推论可得，点B为劣弧CD的中点，点A为优弧CD的中点，AB⊥CD∴CB=BD，∴CA=DA但不能证明OE=BE，故B选项说法错误，符合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是垂径定理及其推论，解决本题的关键是熟练掌握垂径定理及其推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．【变式1】（2022秋·九年级统考期中）如图，⊙O的弦AB=8，M是AB的中点，且OM=3，则⊙O的半径等于（

）A．7 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】连接OA，根据M是AB的中点，得到OM⊥AB，利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：∵⊙O的弦AB=8，M是AB的中点，∴OM⊥AB，AM=1连接OA，在Rt△OMA中，OA=即：⊙O的半径等于5；故选C．【点睛】本题考查垂径定理的逆定理．熟练掌握平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，是解题的关键．【变式2】（2022春·九年级课时练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，点D是AB的中点，将△ACD沿CD对折得△A′CD．连接BA′，连接AA′交CD于点E，若AB=14cm，BA．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【答案】B【分析】由折叠性质得AA′⊥CD，AD=A′D，根据直角三角形斜边上的中线性质可证得CD=AD=BD=A′D，可证得A、C、A′、B共圆且AB为直径，利用垂径定理的推论和三角形的中位线性质证得DE=12A′B，进而可求解CE【详解】解：由折叠性质得AA′⊥CD，AD=A′D，∵∠ACB=90∘，点D是∴CD=AD=BD=A′D=12AB∴A、C、A′、B共圆且AB为直径，又AA′⊥CD，∴AE=A′E，又AD=BD，∴DE是△ABA′的中位线，∴DE=12A′B∵AB=14cm，B∴CD=7cm，DE=2cm，∴CE=CD-DE=7-2=5cm，故选B．【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线性质、三角形的中位线性质、折叠性质、垂径定理的推论，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．【变式3】（2022秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（

）．A．点P B．点Q C．点R D．点M【答案】B【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到答案．【详解】解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．故选：B．【点睛】本题主要查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，理解并掌握圆心为弦垂直平分线的交点是解决此题的关键．同步过关一、单选题1．（2022春·九年级单元测试）如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有(

)A．2条 B．3条 C．4条 D．5条【答案】B【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案．【详解】解：图中的弦有AB，BC，CE共三条，故选B．【点睛】本题主要考查了弦的定义，熟知定义是解题的关键：连接圆上任意两点的线段叫弦．2．（2023春·九年级单元测试）在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长弦的长为8cm，最短的弦的长为4cm，则OP的长为（）．A．23cm B．22cm C．2cm 【答案】A【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是8cm；最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长【详解】如图所示，CD⊥AB于点P．根据题意，得：AB=8cm，CD=4cm．∴OC=1∵CD⊥AB，∴CP=12CD根据勾股定理，得OP=OC故选A．3．（2022秋·九年级单元测试）如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为()A．19 B．16 C．18 D．20【答案】D【分析】延长AO交BC于D，根据∠A、∠B的度数易证得△ABD是等边三角形，由此可求出OD、BD的长；过O作BC的垂线，设垂足为E；在Rt△ODE中，根据OD的长及∠ODE的度数易求得DE的长，进而可求出BE的长；由垂径定理知BC=2BE，由此得解．【详解】解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E；∵∠A=∠B=60°，∴∠ADB=60°；∴△ADB为等边三角形；∴BD=AD=AB=12；∴OD=4，又∵∠ADB=60°，∴DE=12∴BE=10；∴BC=2BE=20；故选D．【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质以及垂径定理的应用，解答此题的关键是正确做出辅助线，得到△ADB为等边三角形．4．（2023春·九年级单元测试）已知⊙O的半径为10，P为⊙O内一点，且OP＝6，则过P点，且长度为整数的弦有（

）A．5条 B．6条 C．8条 D．10条【答案】C【详解】解：如图，AB是直径，OA=10，OP=6，过点P作CD⊥AB，交圆于点C，D两点．由垂径定理知，点P是CD的中点，由勾股定理求得，PC=8，CD=16，则CD是过点P最短的弦，长为16；AB是过P最长的弦，长为20．所以过点P的弦的弦长可以是17，18，19各两条．总共有8条长度为整数的弦．故选C．5．（2022·全国·九年级专题练习）如图，由边长为1的正方形组成的6×5网格中，一块含45°的三角板ABC的斜边AB始终经过格点N，AC始终经过格点M，点A在MN下方运动，格点P到A的距离最小值为（

）A．1 B．2 C．13﹣1 D．22﹣2【答案】B【分析】根据方格纸的结构特征，得到点A的轨迹，再根据勾股定理解答即可．【详解】解：由运动可得：点A的轨迹为以点O为圆心，ON为半径，过格点M、A′、N的圆弧上，当点A与A′重合时，格点P到此时PA＝PA′=故选：B．【点睛】此题考查勾股定理，关键是明确点A的轨迹是一段圆弧，根据勾股定理求出PA的值．6．（2022秋·全国·九年级专题练习）小明想知道一块扇形铁片OAB中的AB的拱高（弧的中点到弦的距离）是多少？但他没有任何测量工具，聪明的小明观察发现身旁的墙壁是由10cm的正方形瓷砖密铺而成（接缝忽略不计）．他将扇形OAB按如图方式摆放，点O,A,B恰好与正方形瓷砖的顶点重合，根据以上操作，AB的拱高约是（

A．10cm B．20cm C．(30−105【答案】D【分析】如图所示，通过数瓷砖的个数，可以得到OC=30cm，AB=40cm，由垂径定理得OC垂直且平分AB，则BC=20cm，再由勾股定理得OB=OC2+BC2=10【详解】解：如图所示，通过数瓷砖的个数，可以得到OC=30cm，AB=40cm，∵D为AB中点，∴由垂径定理得OC垂直且平分AB，∴BC=20cm，∴OB=O∵OD=OB=1013∴CD=OD-OC=1013即拱高为1013故选D．【点睛】此题考查了垂径定理和勾股定理，根据题意做出辅助线构造直角三角形是解题的关键．7．（2023·广东梅州·统考一模）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交⊙O于点E，垂足为点D，AE，CB的延长线交于点F．若OD=3，AB=8，则FC的长是（

A．10 B．8 C．6 D．4【答案】A【分析】先根据垂径定理可得AD=4，再利用勾股定理可得OE=OA=5，然后根据三角形中位线定理即可得．【详解】解：∵OE⊥AB,AB=8，∴AD=1∵OD=3，∴OA=O∴OE=5，∵OE⊥AB，∴∠ADO=90°=∠ABC，∴OE//又∵OA=OC，∴OE是△ACF的中位线，∴FC=2OE=10，故选：A．【点睛】本题考查了垂径定理、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题关键．8．（2023春·九年级单元测试）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为()A．6 B．62 C．8 D．82【答案】B【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的长，然后判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OP的长．【详解】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，∵AB=CD=16，∴BM=DN=8，∴OM=ON=102∵AB⊥CD，∴∠DPB=90°，∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP=∠ONP=90°∴四边形MONP是矩形，∵OM=ON，∴四边形MONP是正方形，∴OP=62故选B．【点睛】本题考查的是垂径定理，正方形的判定与性质及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．9．（2023·九年级单元测试）☉O的半径为10cm,弦AB=12cm,则圆心到AB的距离为()A．2cm B．6cm C．8cm D．10cm【答案】C【分析】根据题意画出图形,利用垂径定理、勾股定理解答即可.【详解】如图,作OE⊥AB于点E,AB=12cm,根据垂径定理可知BE=6cm,在Rt△OBE中,OB=10cm,由勾股定理得OE=8cm.故选C.【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练运用垂径定理、勾股定理是解决本题的关键.10．（2022秋·浙江杭州·九年级期中）CD是圆O的直径，弦AB⊥CD于点E，若OE=3，AE=4，则下列说法正确的是（

）A．AC的长为25 B．CEC．CD的长为12 D．AD的长为10【答案】A【分析】连接AO，分别在Rt△AOE中，Rt△ACE中，Rt△ADE中，根据勾股定理即可求得相应线段的长度，依此判断即可．【详解】解：连接AO，∵AB⊥CD于点E，OE=3，AE=4，∴在Rt△AOE中，根据勾股定理AO=A∵CD为圆O的直径，∴OC=OD=OA=5，∴CD=10，CE=OC-OE=2，故B选项和C选项错误；在Rt△ACE中，根据勾股定理AC=A在Rt△ADE中，根据勾股定理AD=A故选：A．【点睛】本题考查勾股定理，同圆半径相等．正确作出辅助线，构造直角三角形是解题关键．注意圆中半径相等这一隐含条件．二、填空题11．（2022秋·九年级课时练习）在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为10cm，最小距离为4cm，则此圆的半径为．【答案】3cm或7cm【详解】设⊙O的半径为r，当点P在圆外时，r=10−42当点P在⊙O内时，r=10+42故答案为：3cm或7cm．12．（2022春·九年级单元测试）点A、B在⊙O上，若∠AOB=40°，则∠OAB=．【答案】70°．【分析】如图，连接AB，根据圆的半径相等得△AOB为等腰三角形，又因为∠AOB=40°，根据三角形的内角和定理解题即可．【详解】解：如图，连接AB，∵AO=BO，∠AOB=40°，∴∠OAB=∠OBA=180°−40°2故答案为70°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理与圆的性质，解题的关键是熟练的掌握三角形内角和定理与圆的性质．13．（2022秋·九年级单元测试）如图，将半径为4cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长度为cm．【答案】43【详解】解：如图，过点O作OC⊥AB，垂足为C，连接OA，∵OA=4cm，∴OC=2cm，∴AC=23∴AB=43故答案为4314．（2023春·九年级课时练习）如图，AB是⊙o的直径，CD是弦，若AB=10cm，CD=8cm,那么A、B两点到直线CD的距离之和为.【答案】6cm.【详解】试题分析：过O作OG⊥CD于G，连接OC，如图所示，∵OG⊥CD，CD=8cm，∴G为CD的中点，即CG=DG=4cm，在Rt△OCG中，OC=12AB=5cm，CG=4cm，根据勾股定理得：OG=O又AE⊥EF，OG⊥EF，BF⊥EF，∴AE∥OG∥BF，又O为AB的中点，∴G为EF的中点，即OG为梯形AEFB的中位线，∴OG=12考点：1．垂径定理；2．勾股定理；3．梯形中位线定理．15．（2022春·九年级课时练习）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径是6，若点P是⊙O上的一点，PB＝AB，则PA的长为．【答案】63【分析】连接OA、OB、OP，根据圆周角定理求得∠APB＝∠C＝30°，进而求得∠PAB＝∠APB＝30°，∠ABP＝120°，根据垂径定理得到OB⊥AP，AD＝PD，∠OBP＝∠OBA＝60°，即可求得△AOB是等边三角形，从而求得PB＝OA＝6，解直角三角形求得PD，即可求得PA．【详解】解：连接OA、OB、OP，∵∠C＝30°，∴∠APB＝∠C＝30°，∵PB=∴PB＝AB，∴∠PAB＝∠APB＝30°∴∠ABP＝120°，∵PB＝AB，∴OB⊥AP，AD＝PD，∴∠OBP＝∠OBA＝60°，∵OB＝OA，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝6，则Rt△PBD中，PD＝cos30°•PB＝32×6＝33∴AP＝2PD＝63，故答案为63．【点睛】本题主要考查垂径定理，关键在于根据题意做出辅助线，构造直角三角形，结合三角函数的特殊角进行计算,这是这类题目的通常解题思路.16．（2022秋·九年级课时练习）如图，⊙O的半径为10cm，△ABC内接于⊙O，圆心O在△ABC内，如果AB=AC，BC=12cm，那么△ABC的面积为cm2．【答案】108【分析】过点A作AM⊥BC于点M，连接OC，根据等腰三角形的性质及垂径定理即可求出OM的值，从而可知AM的值，进而面积可求.【详解】如图，过点A作AM⊥BC于点M，连接OC，∵AB=AC且BC=12cm．∴BM=CM=12BC∵圆的半径等于10cm．∴OA=OC=10cm．∴OM=O∴AM=18cm．∴S△ABC=故答案为108【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键.三、解答题17．（2022秋·九年级课时练习）已知；如图，在⊙O中，C、D分别是半径OA、BO的中点，求证：AD＝BC．【答案】证明见解析【分析】首先证明OC=OD，再证明△OCB≌△ODA，进而得到AD=BC．【详解】解：∵OA、OB是⊙O的两条半径，∴AO＝BO，∵C、D分别是半径OA、BO的中点，∴OC＝OD，在△OCB和△ODA中，AO＝BO∠O＝∠O∴△OCB≌△ODA（SAS），∴AD＝BC．【点睛】本题考查圆的认识，以及全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS．18．（2022秋·九年级单元测试）往直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示．若油面宽AB=600【答案】200mm【分析】先过点O作OD⊥AB于点D，交AB于点F，连接OA，由垂径定理可求出AD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可得出DF的长．【详解】解：过点O作OD⊥AB于点D，交AB于点F，连接OA，∵AB＝600mm，∴AD＝12∵直径为650mm，∴OA＝12∴OD＝OA2−A∴DF＝OF−OD＝12答：油的最大深度为200mm．【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．19．（2011秋·七年级课时练习）如下图，在半径为5米的圆形花坛周围修一条宽1米的小路，求小路的面积．【答案】28.26平方米【分析】利用圆环的面积等于外圆的面积减去内圆的面积，即可完成求解．【详解】外圆半径r1为5米，围修一条宽1米的小路∴内圆半径r2为4米圆环的面积为=πr12-πr22=3.14×5×5-3.14×4×4=78.5-50.24=28.26∴小路的面积为28.26平方米．【点睛】本题考查了圆形面积计算和二次函数的知识；解题的关键是熟练并运用掌握二次函数和圆形面积计算的性质求解实际问题．20．（2022春·九年级课时练习）为了落实“二十大”报告精神，办人民满意教育，决定重新修建学校运动场，设计图如下：两端是半圆形，中间是长方形．（π取3）(1)求这个运动场的周长．(2)求这个运动场的面积．(3)已知整个运动场由草坪和塑胶跑道组成，塑胶跑道和草坪的面积比是3：7，每平方米草坪的价格是5元，比每平方米塑胶的价格低1920【答案】(1)440(2)12800(3)428800（元）【分析】（1）用长方形的两条长边加上一个圆的周长即可；（2）用长方形的面积加上圆的面积；（3）根据等量关系列方程求出塑胶的单价，然后按比例分配求出塑胶跑道的面积和草坪的面积，进而求得结果；【详解】（1）解：运动场的周长：C=100×2+40×2π=200+80π=200+240=440(m答：这个运动场的周长为440米．（2）解：运动场的面积：S=100×80+40答：运动场的面积为：12800（3）解：设平方米塑胶的价格为x元根据题意得：(1−19解得：x=100该运动场塑胶跑道的面积为：12800×3该运动场草坪的面积为：12800×故总费用为：3840×100+8960×5=428800（元）【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，圆的基本知识；熟练根据等量关系列方程式解题的关键．21．（2023·全国·九年级假期作业）在直径为10cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图，油面宽AB为6cm，当油面宽AB为8cm时，油上升了多少cm？【答案】油上升了1cm．【详解】连接AO，过点O作OC⊥AB于点C，根据垂径定理结合勾股定理求出当AB=6cm和8cm时OC的长度，由此即可得出结论．解：连接AO，过点O作OC⊥AB于点C，如图所示．∵OC⊥AB于C，且AB为弦，∴AC=12AB当AB=6cm时，在Rt△OAC中，OA=102=5cm，AC∴OC=OA当AB=8cm时，在Rt△OAC中，OA=102=5cm，AC∴OC=OA∴4cm﹣3cm=1cm．答：油上升了1cm．点睛：本题主要考查垂径定理.利用垂径定理与勾股定理是解题的关键.22．（2022秋·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上且不与点A，B重合，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为点G，交⊙O于点E，连接CE交BD于点F，连接FG．(1)求证：FG=1(2)若AB=65，FG=6【答案】(1)详见解析(2)AG的长为35【分析】（1）证明∠EFD=90°，再利用直角三角形斜边中线的性质证明即可；（2）利用勾股定理求出OG，可得结论．【详解】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵∠E=∠CBD，∴∠E=∠ABD，∵DE⊥AB，∴DG=EG，∵∠ABD+∠BDG=90°，∴∠E+∠FDE=90°，∴∠EFD=90°，∴GF=1（2）解：如图，连接OD，则OD=OA=1∵FG=DG=6，∴OG=(3∴AG=OA−OG=35【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．23．（2022秋·九年级课时练习）如图，已知AB=AC，∠APC=60°（1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若BC=4cm，求⊙O的面积．【答案】（1）证明见解析（2）OC=43【详解】试题分析：（1）根