重庆九龙坡区高2025届高二数学第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析

重庆九龙坡区高2025届高二数学第一学期期末教学质量检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若抛物线与直线：相交于两点，则弦的长为（）A.6 B.8C. D.2．执行如图的程序框图，输出的S的值为（）A. B.0C.1 D.23．已知抛物线：，焦点为，若过的直线交抛物线于、两点，、到抛物线准线的距离分别为3、7，则长为A.3 B.4C.7 D.104．已知随机变量，且，，则为（）A.0.1358 B.0.2716C.0.1359 D.0.27185．设圆上的动点到直线的距离为，则的取值范围是（）A. B.C. D.6．设等差数列的前n项和为，若，，则（）A.60 B.80C.90 D.1007．口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球3个，小明从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为（）A.0.4 B.0.5C.0.6 D.0.758．如图，在正方体ABCD-EFGH中，P在棱BC上，BP=x，平行于BD的直线l在正方形EFGH内，点E到直线l的距离记为d，记二面角为A-l-P为θ，已知初始状态下x=0，d=0，则（）A.当x增大时，θ先增大后减小 B.当x增大时，θ先减小后增大C.当d增大时，θ先增大后减小 D.当d增大时，θ先减小后增大9．在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A. B.C. D.10．圆与圆的公切线的条数为（）A.1 B.2C.3 D.411．设函数在R上存在导数，对任意的有，若，则k的取值范围是（）A. B.C. D.12．已知点O为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，点T在抛物线C的准线上，线段FT与抛物线C的交点为W，，则（）A.1 B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点在圆C：（）内，过点M的直线被圆C截得的弦长最小值为8，则______14．展开式中的系数是___________.15．已知曲线在点处的切线方程是，则的值为______16．如图，图形中的圆是正方形的内切圆，点E，F，G，H为对角线与圆的交点，若向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影部分区域内的概率为_________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某校从参加高二年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的化学成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段，，…，后画出如图部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求出这60名学生中化学成绩低于50分的人数；（2）估计高二年级这次考试化学学科及格率（60分以上为及格）；（3）从化学成绩不及格的学生中随机调查1人，求他的成绩低于50分的概率18．（12分）数列满足，，.（1）证明：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和.19．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线与椭圆C交于P，Q两点，点M是线段PQ的中点，直线过点M，且与直线l垂直.记直线与y轴的交点为N，求的取值范围.20．（12分）已知命题；命题.（1）若p是q的充分条件，求m的取值范围；（2）当时，已知是假命题，是真命题，求x的取值范围.21．（12分）设函数（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值．（其中为的导函数．）22．（10分）如图，已知抛物线的焦点为，点是轴上一定点，过的直线交与两点.（1）若过的直线交抛物线于，证明纵坐标之积为定值；（2）若直线分别交抛物线于另一点，连接交轴于点.证明：成等比数列.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由题得抛物线的焦点坐标为刚好在直线上，再联立直线和抛物线的方程，利用韦达定理和抛物线的定义求解.【详解】解：由题得.由题得抛物线的焦点坐标为刚好在直线上，设，联立直线和抛物线方程得,所以.所以.故选：B2、A【解析】直接求出的值即可.【详解】解：由题得，程序框图就是求，由于三角函数的最小正周期为，，，所以.故选：A3、D【解析】利用抛物线的定义，把的长转化为点到准线的距离的和得解【详解】解：抛物线：，焦点为，过的直线交抛物线于、两点，、到抛物线准线的距离分别为3、7，则故选D【点睛】本题考查抛物线定义的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.4、C【解析】根据正态分布的对称性可求概率.【详解】由题设可得，，故选：C.5、C【解析】求出圆心到直线距离，再借助圆的性质求出d的最大值与最小值即可.【详解】圆的方程化为，圆心为，半径为1，则圆心到直线的距离，即直线和圆相离，因此，圆上的动点到直线的距离，有，，即，即的取值范围是：.故选：C6、D【解析】由题设条件求出，从而可求.【详解】设公差为，因为，，故，解得，故，故选：D.7、C【解析】求出第一次取得红球的事件、第一次取红球第二次取白球的事件概率，再利用条件概率公式计算作答.【详解】记“第一次取得红球”为事件A，“第二次取得白球”为事件B，则，，于是得，所以在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为0.6.故选：C8、C【解析】以F为坐标原点，FB，FG，FE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则P(2,x,0)，A(2,0,2)，设直线l与EF，EH交于点M、N，，求得平面AMN的法向量为，平面PMN的法向量，由空间向量的夹角公式表示出，对于A，B选项，令d=0，则，由函数的单调性可判断；对于C，D，当x=0时，则，令，利用导函数研究函数的单调性可判断.【详解】解：由题意，以F为坐标原点，FB，FG，FE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示,设正方体的棱长为2，则P(2,x,0)，A(2,0,2)，设直线l与EF，EH交于点M、N，则，所以，，设平面AMN的法向量为，则，即，令，则，设平面PMN的法向量为，则，即，令，则，，对于A，B选项，令d=0，则，显示函数在是为减函数，即减小，则增大，故选项A，B错误；对于C，D，对于给定的，如图，过作，垂足为，过作，垂足为，过作，垂足为，当在下方时，，设，则对于给定的，为定值，此时设二面角为，二面角为，则二面角为，且，故，而，故即，当时，为减函数，故为增函数，当时，为增函数，故为减函数，故先增后减，故D错误.当在上方时，，则对于给定的，为定值，则有二面角为，且，因，故为增函数，故为减函数，综上，对于给定的，随的增大而减少，故选：C.9、D【解析】由题，求得圆的圆心和半径，易知最长弦，最短弦为过点与垂直的弦，再求得BD的长，可得面积.【详解】圆化简为可得圆心为易知过点的最长弦为直径，即而最短弦为过与垂直的弦，圆心到的距离：所以弦所以四边形ABCD的面积：故选：D10、D【解析】公切线条数与圆与圆的位置关系是相关的，所以第一步需要判断圆与圆的位置关系.【详解】圆的圆心坐标为，半径为3；圆的圆心坐标为，半径为1，所以两圆的心心距为，所以两圆相离，公切线有4条.故选：D.11、C【解析】构造函数，求导后利用单调性，对题干条件变形后得到不等关系，求出答案.【详解】令，则恒成立，故单调递增，变形为，即，从而，解得：，故k的取值范围是故选：C12、B【解析】根据平面向量共线的性质，结合抛物线的定义进行求解即可.【详解】由已知得：，该抛物线的准线方程为：，所以设，因为，所以，由抛物线的定义可知：，故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据点与圆的位置关系，可求得r的取值范围，再利用过圆内一点最短的弦，结合弦长公式可得到关于r的方程，求解即可.【详解】由点在圆C：内，且所以，又，解得过圆内一点最短的弦，应垂直于该定点与圆心的连线，即圆心到直线的距离为又，所以，解得故答案为：14、【解析】根据二项展开式的通项公式，可知展开式中含的项，以及展开式中含的项，再根据组合数的运算即可求出结果.【详解】解：由题意可得，展开式中含的项为，而展开式中含的项为，所以的系数为.故答案为：.15、11【解析】根据给定条件结合导数的几何意义直接计算作答.【详解】因曲线在点处的切线方程是，则，，所以.故答案为：1116、【解析】利用几何概型概率计算公式，计算得所求概率.【详解】设正方形的边长为2，则阴影部分的面积为，故若向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影部分区域内概率为故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）6人；（2）75%；（3）.【解析】（1）由频率分布直方图可得化学成绩低于50分的频率为0.1，然后可求得人数为人；（2）根据频率分布直方图求分数在第三、四、五、六组的频率之和即可；（3）结合图形可得“成绩低于50分”的人数是6人，成绩在这组的人数是，由古典概型概率公式可得所求概率为试题解析：（1）因为各组的频率和等于1，由频率分布直方图可得低于50分的频率为：，所以低于分的人数为（人）（2）依题意可得成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组（低于50分的为第一组），其频率之和为，故抽样学生成绩的及格率是，于是，可以估计这次考试化学学科及格率约为75%（3）由（1）知，“成绩低于50分”的人数是6人，成绩在这组的人数是（人），所以从成绩不及格的学生中随机调查1人，有15种选法，成绩低于50分有6种选法，故所求概率为18、(1)证明见解析；(2)【解析】（1）将的两边同除以，得到，由等差数列的定义，即可作出证明；（2）有（1）求出，利用错位相减法即可求解数列的前项和.试题解析：(1)证明：由已知可得＝＋1，即－＝1.所以是以＝1为首项，1为公差的等差数列(2)由(1)得＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2.从而bn＝n·3n.Sn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，①3Sn＝1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1.②①－②得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1＝－n·3n＋1＝.所以Sn＝.点睛：本题主要考查了等差数列的定义、等差数列的判定与证明和数列的求和，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本的解答中利用等差数列的定义得到数列为等差数列，求解的表达式，从而化简得到，利用乘公比错位相减法求和中，准确计算是解答的一个难点.19、（1）（2）【解析】（1）求出后可得椭圆的方程.（2）联立直线的方程和椭圆方程，消去后利用韦达定理可用表示，利用换元法和二次函数的性质可求的取值范围.小问1详解】由题意可得，解得，.故椭圆C的标准方程为.【小问2详解】设，，.联立，整理得，则，解得，从而，.因为M是线段PQ的中点，所以，则，故.直线的方程为，即.令，得，则，所以.设，则，故.因为，所以，所以.20、（1）；（2）.【解析】（1）解不等式组即得解；（2）由题得p、q一真一假，分两种情况讨论得解.【小问1详解】解：由题意知p是q的充分条件，即p集合包含于q集合，有；【小问2详解】解：当时，有，由题意知，p、q一真一假，当p真q假时，，当p假q真时，，综上，x的取值范围为21、（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）的定义域为，，分和两种情况解不等式和即可得单调递增区间和单调递减区间；（Ⅱ）由题意可得对于恒成立，分离可得，令，只需，利用导数求最小值即可求解.【详解】（Ⅰ）函数的定义域为，当时，对于恒成立，此时函数在上单调递增；当时，由可得；由可得；此时在上单调递减，在上单调递增；综上所述：当时，函数的单调递增区间为，当时，单调递减区间为，单调递增区间为，（Ⅱ）若，由可得，因为，所以，所以所以对于恒成立，令，则，，令，则对于恒成立，所以在单调递增，因为，，所以在上存在唯一零点，即，可得：，当时，，则，当时，，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，所以的最大值为.【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数的定义域；求导函数，由（或）解出相应的的范围，对应的区间为的增区间（或减区间）