苏科版九年级数学上学期复习备考高分秘籍专题1.3圆的基本性质13大考点精讲精练(知识梳理+典例剖析+变式训练)特训(原卷版+解析)

2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】专题1.3圆的基本性质13大考点精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练）【知识梳理】一、圆的有关定义1、圆的定义：在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.2、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.3.直径：经过圆心的弦叫做直径，直径等于半径的2倍4.半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆.5.弧、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“⌒”表示，大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧二、垂径定理及其推论1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧2.推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.3、圆的对称性（1）圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.（3）圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.三、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角.2、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等.[来源:Z_xx_k.Com]推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.学-科网四、圆周角定理1、圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.2、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.3、推论:推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.五、圆内接四边形：（1）圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．【典例剖析】【考点1】圆的认识【考点1】圆的基本概念【例1】（2022·江苏·九年级专题练习）有下列说法：（1）直径是弦；（2）经过三点一定可以作圆；（3）圆有无数条对称轴；（4）优弧的长度大于劣弧的长度．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1.1】（2021·江苏无锡·九年级期中）有下列说法：①任意三点确定一个圆；②任意一个三角形有且仅有一个外接圆；③长度相等的两条弧是等弧；④直径是圆中最长的弦，其中正确的是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【变式1..2】（2022·江苏宿迁·九年级期末）下列说法正确的是（

）A．一个三角形只有一个外接圆 B．三点确定一个圆C．长度相等的弧是等弧 D．三角形的外心到三角形三条边的距离相等【变式1..3】（2022·江苏·九年级专题练习）已知AB是半径为2的圆的一条弦，则AB的长不可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【考点2】点与圆的位置关系【例2】（2022·江苏泰州·八年级阶段练习）若⊙O的直径为10，点A到圆心O的距离为6，那么点A与⊙O的位置关系是（

）A．点A在⊙O外 B．点A在⊙O上 C．点A在⊙O内 D．不能确定【变式2.1】（2022·江苏·九年级课时练习）平面内有两点P，O，⊙O的半径为5，若PO=6，则点P与⊙O的位置关系是（

）A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．圆上或圆外【变式2.2】（2022·江苏·九年级课时练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式2..3】（2021·江苏常州·九年级期中）数轴上有两个点A和B，点B表示实数6，点A表示实数a，⊙B半径为4．若点A在⊙B内部，则a的取值范围是（）A．a＜2或a＞10 B．2＜a＜10 C．a＞2 D．a＜10【考点3】点到圆上一点距离的最值【例3】（2022·江苏徐州·二模）如图，点A，B的坐标分别为A(3，0)、B(0，3)，点C为坐标平面内的一点，且BC=2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（

）A．322+1 B．32+2【变式3.1】（2022·江苏·九年级专题练习）如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是（

）A．a B．b C．a+b D．a−b【变式3.2】（2019·江苏镇江·九年级期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D是以点A为圆心，2为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值为

(

)

A．7 B．3.5 C．4.5 D．3【变式3.3】（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，1)、B(0，3)、C(0，-1)、D(4，4)，点P为平面内一点且满足PC⊥PB，则线段PD的最大值为（）A．10 B．8 C．7 D．9【考点4】垂径定理【例4】（2022·江苏·九年级单元测试）如图，在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB于点D，若OC＝10，AB＝16，则CD的长为（

）A．6 B．5 C．4 D．3【变式4.1】（2022·江苏·九年级期中）如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于E，AB＝8，OD＝5，则CE的长为（

）A．4 B．2 C．2 D．1【变式4.2】（2022·江苏·九年级课时练习）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为(

)A．363 B．243 C．183 D．723【变式4.3】（2022·江苏·九年级专题练习）如图，AB为⊙O的直径，AE为⊙O的弦，C为优弧ABE的中点，CD⊥AB，垂足为D，AE=8，DB=2，则⊙O的半径为（

）A．6 B．5 C．42 D．【考点5】垂径定理的应用【例5】（2022·江苏·九年级课时练习）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”这段话的意思是：如图，现有圆形木材，埋在墙壁里，不知木材大小，用锯子将它锯下来，深度CD为1寸，锯长AB为1尺（10寸），问圆材直径几寸？则该问题中圆的直径为（

）A．22寸 B．24寸 C．26寸 D．28寸【变式5.1】（2022·江苏·九年级专题练习）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用现在的数学语言表述是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE为1寸，AB为10寸，求直径CD的长．依题意，CD长为（

）A．252寸 B．13寸 C．25寸 【变式5.2】（2021·江苏·启东折桂中学九年级阶段练习）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16cm，则球的半径为（

）A．103cm B．10cm C．102cm D．83cm【变式5.3】（2019·江苏镇江·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(-3，a)(a>3)，半径为3，函数y=-x的图像被⊙P截得的弦AB的长为42，则a的值是

(

A．4 B．3+2 C．32 D．【考点6】平行弦问题【例6】（2021·江苏·九年级专题练习）⊙O的半径为10cm，弦AB//CD，AB=16，CD=12，则AB、CD间的距离是：（

）A．14 B．2 C．14或2 D．以上都不对【变式6.1】（2021·江苏·九年级专题练习）已知AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD的距离是（）A．1 B．7 C．1或7 D．无法确定【变式6.2】（2021·江苏·九年级专题练习）已知⊙O的半径为5，两条平行弦AB、CD的长分别为6和8，求这两条平行弦AB与CD之间的距离（）A．3 B．4 C．1或7 D．10【变式6.3】（2021·江苏·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，AC＝4，则OD的长为（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5【考点7】弧、弦、圆心角问题【例7】（2022·江苏·九年级课时练习）如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，且AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，则下列结论错误的是（

）A．AB=CD B．OE=OF C．∠AOB=∠COD 【变式7.1】（2022·江苏·九年级单元测试）下列命题是真命题的是（

）A．相等的圆心角所对的弧，所对的弦相等B．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等C．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等D．菱形的对角线互相平分且相等【变式7.2】（2022·江苏扬州·二模）将一张正方形的透明纸片ABCD和⊙O按如图位置叠放，顶点A、D在⊙O上，边AB、BC、CD分别与⊙O相交于点E、F、G、H，则下列弧长关系中正确的是（

）A．AD=AE C．AF=DG 【变式7.3】（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在半径为5的⊙A中，弦BC，DE所对的圆心角分别是∠BAC，∠DAE．若DE=6，∠BAC+∠DAE=180°，则弦BC的弦心距为（

）.A．412 B．342 C．4【考点8】三角形的外接圆与外心【例8】（2022·江苏·九年级课时练习）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，若⊙O的半径为2，则△ABC的面积为（

）A．32 B．3 C．23 【变式8.1】（2020·江苏·无锡市第一女子中学九年级期中）已知方程x2－7x＋12＝0的两根恰好是一个直角三角形的两条直角边的长，则这个直角三角形的外接圆的直径为（）A．2.5 B．6 C．5 D．12【变式8.2】（2021·江苏盐城·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，3）、（5，3）、（1，－1），则△ABC外接圆的圆心坐标是（

）A．（1，3） B．（3，1） C．（2，3） D．（3，2）【变式8.3】（2022·江苏·九年级专题练习）下列命题是真命题的是（

）A．内错角相等 B．四边形的外角和为180°C．等腰三角形两腰上高相等 D．平面内任意三点都可以在同一个圆上【考点9】圆周角定理【例9】（2022·江苏泰州·九年级期末）如图，四边形ABCD内接于以BD为直径的⊙O，CA平分∠BCD，若四边形ABCD的面积是30cm2，则AC=______cm．【变式9.1】（2022·江苏·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE、BD．若∠BCD＝115°，则∠EBD的大小为_______．【变式9.2】（2022·江苏·九年级课时练习）如图，直线l与⊙O相交于点B、D，点A、C是直线l两侧的圆弧上的动点，若⊙O的半径为1，∠A＝30°，那么四边形ABCD的面积的最大值是_______．【变式9.3】（2021·江苏·南通田家炳中学九年级阶段练习）如图，在半径为32的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AC⏜的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC【考点10】四边形外接圆【例10】（2022·江苏·九年级课时练习）已知⊙O半径为r，弦AB＝r，则AB所对圆周角的度数为______．【变式10.1】（2021·江苏镇江·九年级期中）如图，△ABC内接于⊙O，将BC沿BC翻折，BC交AC与点D，连接BD，若∠BAC＝68°，则∠ABD＝____．【变式10.2】（2022·江苏宿迁·九年级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为AB延长线上一点，若∠AOC＝150°，求∠EBC的度数．【变式10.3】（2022·江苏·九年级专题练习）在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=80°，以BC边的中点O为圆心，12BC长为半径画圆，该圆分别交AB，AC边于点D，E，P是圆上一动点（与点D，E不重合），连结PD，PE，则∠DPE【考点11】圆有关线段计算综合问题【例11】（2021·江苏·南通市八一中学九年级阶段练习）已知AB是半圆O的直径，OD⊥弦AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC＝2，(1)求OF的长；(2)连接BE，若BE=23，求半径OA【变式11.1】（2022·江苏·九年级单元测试）如图，AB是⊙O的直径，CB是弦，OD⊥CB于E，交BC于D，连接AC．(1)请写出三个不同类型的正确结论；(2)若CB=8，ED=2，求⊙O的半径．【变式11.2】（2022·江苏·九年级课时练习）如图，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=8，连接BC．(1)尺规作图：作半径OD交AC于E，使得点E为AC中点；(2)连接AD，求三角形OAD的面积．【变式11.3】（2022·江苏·九年级课时练习）在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题：(1)如图1，⊙O1的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心O1(2)如图2，O2C⊥弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦AB折叠后经过O2C的中点D，【考点12】圆有关作图及应用问题【例12】（2022·江苏·九年级课时练习）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．(1)利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．①作△ABC的外接圆⊙O；②以线段AC为一边，在AC的右侧作等边三角形ACD；③连接BD，交⊙O于点E，连接AE；(2)在（1）中所作的图中，若AB=4，BC=2，则线段AE的长为______．【变式12.1】（2022·江苏·泰兴市教师发展中心二模）（1）如图1，△ABD和△CBD中，___________．从下列4个信息“①AB=BC，②∠BAD=∠BCD，③BD平分∠ABC，④AD=DC”中，选取两个将其序号填写在横线上，使得结论AC⊥BD成立，并说明理由．（2）如图2，已知3个点，只用圆规作出半径为OM的⊙O与点M，N所在直线的另一个交点（不写作法，保留作图痕迹）．【变式12.2】（2022·江苏·九年级课时练习）已知：如图，△ABC．

(1)求作：△ABC的外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)若△ABC是直角三角形，则其外接圆的圆心在；(3)若△ABC是边长为6的等边三角形，其外接圆的圆心O到BC边的距离为3，求其外接圆的面积．【变式12.3】（2022·江苏·九年级课时练习）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．（1）用尺规作出该轮的圆心O，并保留作图痕迹；（2）若△ABC是等腰三角形，设底边BC＝8，腰AB＝5，求该轮的半径R．【考点13】圆有关性质综合问题【例13】（2022·江苏·九年级期中）如图，点A、P、B、C是⊙O上的四个点，且∠APC=∠CPB=60°．(1)证明：△ABC是正三角形．(2)若⊙O的半径是6，求正△ABC的边长．【变式13.1】（2022·江苏·九年级专题练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB=∠CDB．(1)试判断△ABC的形状，并给出证明；(2)若AB=2，AD=1，求CD【变式13.2】（2022·江苏·九年级专题练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD交AC于点E，延长AD，BC交于点F，且CF=AC．(1)求证∶CD=AD；(2)若AD=3，AB=22，求FD【变式13.3】（2022·江苏·九年级课时练习）如图，D是△ABC的BC边上一点，连结AD，作△ABD的外接圆O，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在⊙O上．(1)若∠ABC=30°，如图1．①求∠ACB的度数．②若AD=DE，求∠EAB的度数．(2)若AD=BE,AC=4,CD=22022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】专题1.3圆的基本性质13大考点精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练）【知识梳理】一、圆的有关定义1、圆的定义：在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.2、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.3.直径：经过圆心的弦叫做直径，直径等于半径的2倍4.半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆.5.弧、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“⌒”表示，大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧二、垂径定理及其推论1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧2.推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.3、圆的对称性（1）圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.（3）圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.三、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角.2、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等.[来源:Z_xx_k.Com]推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.学-科网四、圆周角定理1、圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.2、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.3、推论:推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.五、圆内接四边形：（1）圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．【典例剖析】【考点1】圆的认识【考点1】圆的基本概念【例1】（2022·江苏·九年级专题练习）有下列说法：（1）直径是弦；（2）经过三点一定可以作圆；（3）圆有无数条对称轴；（4）优弧的长度大于劣弧的长度．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧进行分析．【详解】解：直径是圆中最长的弦，说法正确，符合题意；经过不在同一条直线上的三点一定可以作圆，不符合题意；圆有无数条对称轴，符合题意；没有强调是在同圆或等圆中，不符合题意；正确的说法有2个，故选：B．【点睛】本题主要考查了圆的认识，关键是掌握直径、弧的定义，注意在同圆或等圆中，优弧的长度一定大于劣弧的长度．【变式1.1】（2021·江苏无锡·九年级期中）有下列说法：①任意三点确定一个圆；②任意一个三角形有且仅有一个外接圆；③长度相等的两条弧是等弧；④直径是圆中最长的弦，其中正确的是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】D【分析】根据与圆相关的基本概念、性质和定义进行逐项分析判断即可．【详解】解：①任意不在同一直线上的三个点确定一个圆，故原说法错误；②任意一个三角形三边的中垂线有且仅有一个交点，则对应的外接圆有且仅有一个，故原说法正确；③在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故原说法错误；④连接圆上任意两点的线段是弦，其中直径是圆中最长的弦，故原说法正确；∴说法正确的有：②④，故选：D．【点睛】本题考查和圆相关的基本概念与性质，掌握圆的基本性质，理解圆中的相关概念是解题关键．【变式1.2】（2022·江苏宿迁·九年级期末）下列说法正确的是（

）A．一个三角形只有一个外接圆 B．三点确定一个圆C．长度相等的弧是等弧 D．三角形的外心到三角形三条边的距离相等【答案】A【分析】根据确定圆的条件、三角形外接圆、圆的有关概念判断即可．【详解】解：A、一个三角形只有一个外接圆，故本选项正确；B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；C、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，长度相等的弧不一定能够重合，故本选项错误；D、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本选项错误；故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理以及圆有关的知识，关键是熟练掌握有关性质和定理，能对命题的真假进行判断．【变式1.3】（2022·江苏·九年级专题练习）已知AB是半径为2的圆的一条弦，则AB的长不可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可．【详解】解：∵圆的半径为2，∴直径为4，∵AB是一条弦，∴AB的长应该小于等于4，不可能为5，故选：D．【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径．【考点2】点与圆的位置关系【例2】（2022·江苏泰州·八年级阶段练习）若⊙O的直径为10，点A到圆心O的距离为6，那么点A与⊙O的位置关系是（

）A．点A在⊙O外 B．点A在⊙O上 C．点A在⊙O内 D．不能确定【答案】A【分析】根据题意得⊙O的半径为5，则点A到圆心O的距离大于圆的半径，则根据点与圆的位置关系可判断点A在⊙O内．【详解】解：∵⊙O的直径为10，∴⊙O的半径为5，而圆心O的距离为6，∴点A在⊙O外．故选：A．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r．【变式2.1】（2022·江苏·九年级课时练习）平面内有两点P，O，⊙O的半径为5，若PO=6，则点P与⊙O的位置关系是（

）A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．圆上或圆外【答案】C【分析】根据点到圆心的距离小于半径即可判断点P在⊙O的内部．【详解】∵⊙O的半径为5，PO＝6，∴点P到圆心O的距离大于半径，∴点P在⊙O的外部，故选C．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，理解点与圆的位置关系是解题的关键．【变式2.2】（2022·江苏·九年级课时练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先利用勾股定理可得AC=3，再根据“点C在⊙A内且点B在⊙A外”可得3<r<5，由此即可得出答案．【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4，∴AC=A∵点C在⊙A内且点B在⊙A外，∴AC<r<AB，即3<r<5，观察四个选项可知，只有选项C符合，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键．【变式2.3】（2021·江苏常州·九年级期中）数轴上有两个点A和B，点B表示实数6，点A表示实数a，⊙B半径为4．若点A在⊙B内部，则a的取值范围是（）A．a＜2或a＞10 B．2＜a＜10 C．a＞2 D．a＜10【答案】B【分析】先表示出AB=|6-a|，从而列出|6-a|＜4，进而即可求解．【详解】解：∵点B表示实数6，点A表示实数a，∴AB=|6-a|，∵⊙B半径为4．若点A在⊙B内部，∴|6-a|＜4，即：2＜a＜10，故选B．【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点在圆的内部则点与圆心的距离小于圆的半径，是解题的关键．【考点3】点到圆上一点距离的最值【例3】（2022·江苏徐州·二模）如图，点A，B的坐标分别为A(3，0)、B(0，3)，点C为坐标平面内的一点，且BC=2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（

）A．322+1 B．32+2【答案】A【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC=2，∴C在⊙B上，且半径为2，取OD=OA=3，连接CD，∵AM=CM，OD=OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM=12=CD当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，∵OB=3，OD=3，∠BOD=90°，∴BD=32∴CD=32∴OM=12CD=322+1，即故选A【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点．【变式3.1】（2022·江苏·九年级专题练习）如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是（

）A．a B．b C．a+b D．a−b【答案】C【分析】根据：三角形的任意两边的长度之和大于第三边，可得：只有空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最大值，据此求解即可．【详解】解：空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最大值a+b．故选：C．【点睛】此题主要考查了两点间的距离的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的任意两边的长度之和大于第三边．【变式3.2】（2019·江苏镇江·九年级期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D是以点A为圆心，2为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值为

(

)

A．7 B．3.5 C．4.5 D．3【答案】B【分析】作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后在△CEM中根据三边关系即可求解．【详解】解：作AB的中点E，连接EM、CE．在直角△ABC中，AB=∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，∴CE=∵M是BD的中点，E是AB的中点，∴ME=∴在△CEM中，5∴3故选：B【点睛】本题考查了轨迹，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【变式3.3】（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，1)、B(0，3)、C(0，-1)、D(4，4)，点P为平面内一点且满足PC⊥PB，则线段PD的最大值为（）A．10 B．8 C．7 D．9【答案】C【分析】根据点P为平面内一点且满足PC⊥PB，得到点P的运动轨迹是以点A为圆心，半径是2的圆，可得当线段PD过圆心时，PD的值最大，据此求解即可．【详解】解：∵A，B，C三点的坐标为：(0，1)，(0，3)，(0，-1)，则有：AB=AC=2，又∵点P为平面内一点且满足PC⊥PB，则点P的运动轨迹是以点A为圆心，半径是2的圆，如图示，当线段PD过圆心时，PD的值最大，过D点作DF⊥x轴，交x轴于点F，过A点作AE⊥DF，交DF于点E，∵D点的坐标是(4，4)，A点的坐标是(0，1)，∴AE=4，DE=3，则：AD=5∴PD=AD+AP=5+2=7，故选：C．【点睛】本题考查了圆的基本性质，勾股定理，平面坐标系内的两点的距离，点的运动等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．【考点4】垂径定理【例7】（2022·江苏·九年级单元测试）如图，在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB于点D，若OC＝10，AB＝16，则CD的长为（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】连接OA，如图，利用垂径定理得到AD=BD=12AB=8，再利用勾股定理计算出OD，然后计算OC-OD【详解】解：连接OA，如图，∵OC⊥AB，∴AD=BD=12AB=在Rt△OAD中，OD=A∴CD=OC-OD=10-6=4．故选C．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．【变式7.1】（2022·江苏·九年级期中）如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于E，AB＝8，OD＝5，则CE的长为（

）A．4 B．2 C．2 D．1【答案】B【分析】连接OA，如图，先根据垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE＝3，然后计算OC﹣OE即可．【详解】解：连接OA，如图，∵AB⊥CD，∴AE＝BE=12在Rt△OAE中，OE=O∴CE＝OC﹣OE＝5﹣3＝2．故选：B．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．【变式7.2】（2022·江苏·九年级课时练习）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为(

)A．363 B．243 C．183 D．723【答案】A【分析】连接OC，首先根据题意可求得OC=6，OE=3，根据勾股定理即可求得CE的长，再根据垂径定理即可求得CD的长，据此即可求得四边形ACBD的面积．【详解】解：如图，连接OC，∵AB＝12，BE＝3，∴OB＝OC＝6，OE＝3，∵AB⊥CD，∴在Rt△COE中，EC=O∴CD＝2CE＝63，∴四边形ACBD的面积＝12故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，垂径定理，熟练掌握和运用垂径定理是解决本题的关键．【变式7.3】（2022·江苏·九年级专题练习）如图，AB为⊙O的直径，AE为⊙O的弦，C为优弧ABE的中点，CD⊥AB，垂足为D，AE=8，DB=2，则⊙O的半径为（

）A．6 B．5 C．42 D．【答案】B【分析】如图，连接CO，延长CO交AE于点T．设⊙O的半径为r．证明△AOT≌△COD(AAS)，推出CD=AT=4，在Rt△COD中，根据OC【详解】解：如图，连接CO，延长CO交AE于点T，设⊙O的半径为r，∵AC∴CT⊥AE，∴AT=TE=1在△AOT和△COD中，{∠ATO=∠CDO=90°∴△AOT≌△COD(AAS)，∴CD=AT=4，在Rt△COD中，OC∴r∴r=5，故选：B．【点睛】此题主要考查圆心角，弧，弦之间的关系，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解答该题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，该题属于中考常考题型．【考点5】垂径定理的应用【例5】（2022·江苏·九年级课时练习）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”这段话的意思是：如图，现有圆形木材，埋在墙壁里，不知木材大小，用锯子将它锯下来，深度CD为1寸，锯长AB为1尺（10寸），问圆材直径几寸？则该问题中圆的直径为（

）A．22寸 B．24寸 C．26寸 D．28寸【答案】C【分析】设圆材的圆心为O，延长CD，交⊙O于点E，连接OA，由题意知CE过点O，且OC⊥AB，AD=BD=5，设圆形木材半径为r，可知OD=r−1，OA=r，根据OA【详解】解：设圆材的圆心为O，延长CD，交⊙O于点E，连接OA，如图所示：由题意知：CE过点O，且OC⊥AB，则AD=BD=1设圆形木材半径为r，则OD=r−1，OA=r．∵OA∴r2解得r=13，即⊙O的半径为13寸，∴⊙O的直径为26寸．故选：C．【点睛】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．【变式5.1】（2022·江苏·九年级专题练习）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用现在的数学语言表述是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE为1寸，AB为10寸，求直径CD的长．依题意，CD长为（

）A．252寸 B．13寸 C．25寸 【答案】D【分析】连结AO，根据垂径定理可得：AE=12AB=5，然后设⊙O半径为R，则OE【详解】解：连结AO，∵CD为直径，CD⊥AB，∴AE=1设⊙O半径为R，则OE＝R－1．Rt△AOE中，OA2＝AE2+OE2，∴R2＝52+(R-1)2，∴

R＝13，∴

CD＝2R＝26(寸)．故选：D【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．【变式5.2】（2021·江苏·启东折桂中学九年级阶段练习）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16cm，则球的半径为（

）A．103cm B．10cm C．102cm D．83cm【答案】B【分析】首先找到EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM是16-x，MF=8，然后在直角三角形MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．【详解】解：取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，根据垂径定理知球心O在MN上，连接OF，设OF=x，则OM=16-x，MF=8，在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2，即：（16-x）2+82=x2，解得：x=10．即球的半径为10cm．故选：B．【点睛】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．【变式5.3】（2019·江苏镇江·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(-3，a)(a>3)，半径为3，函数y=-x的图像被⊙P截得的弦AB的长为42，则a的值是

(

A．4 B．3+2 C．32 D．【答案】B【分析】如图所示过点P作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，可得OC=3，PC=a，把x=-3代入y=-x得y=3，可确定D点坐标，可得△OCD为等腰直角三角形，得到△PED也为等腰直角三角形，又PE⊥AB，由垂径定理可得AE=BE=12AB=22，在Rt△PBE中，由勾股定理可得PE=32-（22）2=1，可得【详解】解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（-3，a），∴OC=3，PC=a，把x=-3代入y=-x得y=3，∴D点坐标为（-3，3），∴CD=3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE=BE=12AB=12×42=2在Rt△PBE中，PB=3，∴PE=32∴PD=2PE=2，∴a=3+2．故选B【点睛】本题主要考查了垂径定理、一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理，熟练掌握圆中基本定理和基础图形是解题的关键．【考点6】平行弦问题【例6】（2021·江苏·九年级专题练习）⊙O的半径为10cm，弦AB//CD，AB=16，CD=12，则AB、CD间的距离是：（

）A．14 B．2 C．14或2 D．以上都不对【答案】C【分析】先根据勾股定理求出OE=6，OF=8，再分AB、CD在点O的同侧时，AB、CD在点O的两侧时两种情况分别计算求出EF即可.【详解】如图，过点O作OF⊥CD于F，交AB于点E，∵AB//CD，∴OE⊥AB，在Rt△AOE中，OA=10，AE=12在Rt△COF中，OC=10，CF=12当AB、CD在点O的同侧时，AB、CD间的距离EF=OF-OE=8-6=2；当AB、CD在点O的两侧时，AB、CD间的距离EF=OE+OF=6+8=14，故选：C.【点睛】此题考查了圆的垂径定理，勾股定理，在圆中通常利用垂径定理和勾股定理求半径、弦的一半、弦心距三者中的一个量.【变式6.1】（2021·江苏·九年级专题练习）已知AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD的距离是（）A．1 B．7 C．1或7 D．无法确定【答案】C【分析】由于弦AB、CD的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可.【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，∵AB∥CD，∴OE⊥AB，∵AB＝8，CD＝6，∴AE＝4，CF＝3，∵OA＝OC＝5，∴由勾股定理得：EO＝52−42＝3，∴EF＝OF﹣OE＝1；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②，过点O作OE⊥AB于点E，反向延长OE交AD于点F，连接OA，OC，EF＝OF+OE＝7，所以AB与CD之间的距离是1或7．故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.也考查了勾股定理及分类讨论的思想的应用.【变式6.2】（2021·江苏·九年级专题练习）已知⊙O的半径为5，两条平行弦AB、CD的长分别为6和8，求这两条平行弦AB与CD之间的距离（）A．3 B．4 C．1或7 D．10【答案】C【分析】先根据题意画出符合条件的两种情况，过O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，再根据垂径定理和勾股定理即可求出OE、OF，然后结合图形求出EF即可．【详解】解：分为两种情况：①当AB和CD在O的同旁时，如图1，过O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，则由垂径定理得：AE=12AB=3，CF=12在Rt△OAE中，由勾股定理得：OE=OA同理可求出OF=3，∴EF=4－3=1；②当AB和CD在O的两侧时，如图2，同法求出OE=4，OF=3，则EF=4+3=7；即AB与CD的距离是1或7.故选C.【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，关键是能正确求出符合条件的两种情况、熟练掌握垂径定理.【变式6.3】（2021·江苏·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，AC＝4，则OD的长为（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5【答案】C【分析】由OD⊥BC，根据垂径定理，可得CD＝BD，即可得OD是△ABC的中位线，则可求得OD的长．【详解】解：∵OD⊥BC，∴CD＝BD，∵OA＝OB，AC＝4∴OD＝12AC故选C．【点睛】此题考查了垂径定理以及三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．【考点7】弧、弦、圆心角问题【例7】（2022·江苏·九年级课时练习）如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，且AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，则下列结论错误的是（

）A．AB=CD B．OE=OF C．∠AOB=∠COD 【答案】D【分析】在同圆中，根据圆心角、弧和弦之间的关系即可判断．【详解】解：在⊙O中，∵AB=CD∴AB=CD故A、C选项正确，不符合题意；∵AB=CD，OA=OD，OB=OC∴△OAB≌△ODC∴S△OAB∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴12∴OE=OF故B选项正确，不符合题意．故选D【点睛】本题考查圆的对称性，理解同圆中圆心角、弧和弦之间的关系是解题的关键．【变式7.1】（2022·江苏·九年级单元测试）下列命题是真命题的是（

）A．相等的圆心角所对的弧，所对的弦相等B．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等C．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等D．菱形的对角线互相平分且相等【答案】C【分析】判断一个命题的真假，需要分析题设能否推出结论．【详解】解：A、相等的圆心角所对的弧，所对的弦相等的前提条件是在同一个圆或者半径相等的圆中，故A选项不正确；B、两边及其一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，故B选项不正确；C、线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，这是线段垂直平分线的性质，故C选项正确；D、菱形的对角线互相平分但不一定相等，例如一个角为60°的菱形的对角线就不相等，故D选项不正确．故选：C．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假的关键在于对学过的性质定理的掌握程度．【变式7.2】．（2022·江苏扬州·二模）将一张正方形的透明纸片ABCD和⊙O按如图位置叠放，顶点A、D在⊙O上，边AB、BC、CD分别与⊙O相交于点E、F、G、H，则下列弧长关系中正确的是（

）A．AD=AE C．AF=DG 【答案】C【分析】连接AF,DG，根据弦与弧的关系，只要比较弦长即可比较弧长的大小即可求解．【详解】如图，连接AF,DG，过点O作NM⊥AD，交AD于M，交BC于N，则MN⊥BC，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=BC=CD，∠B=∠C，∴AM=MD，∴四边形AMNB,MNCD是矩形，∴NB=AM=MD=NC，∴FN=GN，∴FB=GC，∴Rt△ABF≌Rt△CDG，∴AF=DG，A.∵AD>AE，∴AD>B.∵AD=AB<AF，∴ADC.∵AF=DG，∴AF=D.∵DH<DC<DG=AF，∴AF>故选：C.【点睛】本题考查了弦与弧的关系，掌握同圆或等圆中，等弦对等弧是解题的关键．【变式7.3】（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在半径为5的⊙A中，弦BC，DE所对的圆心角分别是∠BAC，∠DAE．若DE=6，∠BAC+∠DAE=180°，则弦BC的弦心距为（

）.A．412 B．342 C．4【答案】D【分析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，再利用圆心角、弧、弦的关系得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，则AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=12BF【详解】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，如图，∵∠BAC+∠EAD=180°，而∠BAC+∠BAF=180°，∴∠DAE=∠BAF，∴DE=∴DE=BF=6，∵AH⊥BC，∴CH=BH，而CA=AF，∴AH为△CBF的中位线，∴AH=12BF故选：D.【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质，掌握以上知识是解题的关键．【考点8】三角形的外接圆与外心【例8】（2022·江苏·九年级课时练习）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，若⊙O的半径为2，则△ABC的面积为（

）A．32 B．3 C．23 【答案】D【分析】过点O作OH⊥BC于点H，根据等边三角形的性质即可求出OH和BH的长，再根据垂径定理求出BC的长，最后运用三角形面积公式求解即可．【详解】解：过点O作OH⊥BC于点H，连接AO，BO，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∵O为三角形外心，∴∠OAH=30°，∴OH=12OB∴BH=BO2−OH2=3∴BC=2BH=23∴SΔ故选：D【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．【变式8.1】（2020·江苏·无锡市第一女子中学九年级期中）已知方程x2－7x＋12＝0的两根恰好是一个直角三角形的两条直角边的长，则这个直角三角形的外接圆的直径为（）A．2.5 B．6 C．5 D．12【答案】C【分析】先解一元二次方程求出两条直角边长，再用勾股定理得到斜边长，从而得到直角三角形外接圆的直径．【详解】解：x2－7x＋12＝0，解得x1=3，x2=4，根据勾股定理得斜边=32∴外接圆的直径为5．故选：C．【点睛】本题考查勾股定理、一元二次方程解法和直角三角形外接圆的外心性质，直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处．【变式8.2】（2021·江苏盐城·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，3）、（5，3）、（1，－1），则△ABC外接圆的圆心坐标是（

）A．（1，3） B．（3，1） C．（2，3） D．（3，2）【答案】B【分析】根据三角形的外心的概念作出外心，根据坐标与图形性质解答即可．【详解】解：连接AB、AC，分别作AB、AC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点P，则点P为△ABC外接圆的圆心，由题意得：点P的坐标为（3，1），即△ABC外接圆的圆心坐标是（3，1），故选：B．【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、坐标与图形性质，掌握三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点是解题的关键．【变式8.3】（2022·江苏·九年级专题练习）下列命题是真命题的是（

）A．内错角相等 B．四边形的外角和为180°C．等腰三角形两腰上高相等 D．平面内任意三点都可以在同一个圆上【答案】C【分析】根据内错角的定义、多边形的外角和、等腰三角形的特征、确定圆的条件逐个进行判断即可．【详解】解：A、内错角不一定相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、四边形的外角和为360°，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C、等腰三角形两腰上高相等，故原命题正确，是真命题，符合题意；D、平面内不在同一条直线的三点可以在同一个圆上，故原命题错误，是假命题，不符合题意．故选C．【点睛】本题考查了命题，解题的关键是掌握内错角的定义、多边形的外角和、等腰三角形的特征、确定圆的条件，属于基础题，难度不大．【考点9】圆周角定理【例9】（2022·江苏泰州·九年级期末）如图，四边形ABCD内接于以BD为直径的⊙O，CA平分∠BCD，若四边形ABCD的面积是30cm2，则AC=______cm．【答案】2【分析】过A点作AE⊥AC，交CD的延长线与点E，证明△ABC≌△ADE，从而得到四边形ABCD的面积等于△ACE的面积，然后证明出△ACE是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求出AC的长度．【详解】如图，过A点作AE⊥AC，交CD的延长线与点E．∵BD为⊙O的直径∴∠BAD＝∠BCD＝90°∵CA平分∠BCD∴∠BCA＝∠ACD＝45°∴∠E＝∠ACD＝45°∴AC＝AE∵AE⊥AC∴∠CAE＝90°∴∠CAD+∠DAE＝90°又∵∠BAC+∠CAD＝90°∴∠BAC＝∠DAE又∵∠BCA＝∠E＝45°在△ABC≌△ADE中，∠BCA∴△ABC≌△ADE（ASA）∴S∴S∴1∴AC故答案为：2【点睛】本题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，关键在于运用转化思想，将四边形ABCD的面积转化为△ACE的面积．【变式9.1】（2022·江苏·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE、BD．若∠BCD＝115°，则∠EBD的大小为_______．【答案】25°【分析】由圆的内接四边形的内对角和为180°解得∠BAD=65°，连接DE，根据同弧所对的圆周角解得∠BED=65°，由直径所对的圆周角是90°解得∠EBD=25°【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD＝115°，∴∠BAD=180°−115°=65°连接DE，∵∴∠BED=65°∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE=90°∴∠EBD=90°−65°=25°故答案为：25°．【点睛】本题考查圆的性质，涉及圆周角性质、直径所对的圆周角是90°、圆的内接四边形性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．【变式9.2】（2022·江苏·九年级课时练习）如图，直线l与⊙O相交于点B、D，点A、C是直线l两侧的圆弧上的动点，若⊙O的半径为1，∠A＝30°，那么四边形ABCD的面积的最大值是_______．【答案】1【分析】当A点和C点到BD的距离最大时，四边形ABCD的面积最大，此时A点和C点为BD所对弧的中点，则AC⊥BD，利用圆周角定理得到∠BOC＝30°，接着计算出BH的长，则可计算出S△ABC＝12，从而得到四边形ABCD【详解】解：当A点和C点到BD的距离最大时，四边形ABCD的面积最大，此时A点和C点为BD所对弧的中点，∴AC为⊙O的直径，如图，∴AC⊥BD，∵∠BAC＝30°，∴∠BOC＝30°，在Rt△OBH中，BH＝12OB＝1∴S△ABC＝12•BH•AC＝12×2×12∴四边形ABCD的面积＝2×12∴四边形ABCD的面积的最大值为1．故答案为1．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了含30度的直角三角形三边的关系，灵活应用定理是解题的关键．【变式9.3】（2021·江苏·南通田家炳中学九年级阶段练习）如图，在半径为32的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AC⏜的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC【答案】8【分析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理得出OD⊥AC，AF＝CF，进而证得DF＝BC，根据三角形中位线定理求得OF＝12BC＝12DF，从而求得BC＝DF＝22，利用勾股定理即可求得【详解】解：连接OD，交AC于F，∵D是AC⏜∴OD⊥AC，AF＝CF，∴∠DFE＝90°，∵OA＝OB，AF＝CF，∴OF＝12BC∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在△EFD和△ECB中，∠DBE=∠BCE=90∴△EFD≌△ECB（AAS），∴DF＝BC，∴OF＝12DF∵OD＝32，∴OF＝2，∴BC＝22，在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，∴AC＝AB2−B故答案为8．【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理及推论、全等三角形的判定、勾股定理、灵活应用性质及定理是关键，熟练掌握垂径定理是重点．【考点10】四边形外接圆【例10】（2022·江苏·九年级课时练习）已知⊙O半径为r，弦AB＝r，则AB所对圆周角的度数为______．【答案】30°或150°【分析】先计算出∠AOB的度数，根据圆周角定理即可求出∠C的度数，再根据圆的内接四边形定理，可得的∠ADB度数，这两个角都是弦AB所对的圆周角．【详解】解：如图，⊙O中OA=OB=AB，∴∠AOB=60°，

∴∠C=12∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形，∴∠C+∠ADB=180°，∴∠ADB=180°−30°=150°，∴弦AB所对的圆周角的度数是30°或150°．故答案为：30°或150°．【点睛】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形定理，熟练掌握这两个定理是解题的关键．注意：圆当中一条弦对了两条弧，也就对了两个圆周角，做题时防止漏掉一个解．【变式10.1】（2021·江苏镇江·九年级期中）如图，△ABC内接于⊙O，将BC沿BC翻折，BC交AC与点D，连接BD，若∠BAC＝68°，则∠ABD＝____．【答案】44°##44度【分析】根据折叠的性质和圆内接四边形的性质得到∠A+∠BDC=180°，根据邻补角的定义和三角形的内角和即可得到结论．【详解】解：∵将BC沿BC翻折，BC交AC与点D，∴∠A+∠BDC=180°，∵∠A=68°，∴∠BDC=112°，∴∠ADB=180°-∠BDC=68°，∴∠ABD=180°-68°-68°=44°，故答案为：44°．【点睛】本题考查了圆内接四边形，折叠的性质，三角形的内角和定理，正确的识别图形是解题的关键．【变式10.2】（2022·江苏宿迁·九年级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为AB延长线上一点，若∠AOC＝150°，求∠EBC的度数．【答案】75°【分析】由圆周角定理求得∠ADC，再根据四点共圆的性质，得到∠ABC的值，最后根据∠EBC与∠ABC互补，求得∠EBC的值．【详解】解：由圆周角定理得，∠ADC=12∠AOC=∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC=180°−∠ADC=180°−75°=105°，∴∠EBC=180°−∠ABC=180°−105°=75°．【点睛】本题考查了圆周角定理及四点共圆的性质，熟练掌握相关几何性质是解题的关键．【变式10.3】（2022·江苏·九年级专题练习）在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=80°，以BC边的中点O为圆心，12BC长为半径画圆，该圆分别交AB，AC边于点D，E，P是圆上一动点（与点D，E不重合），连结PD，PE，则∠DPE【答案】170°或10°【分析】连接OD，OE，求出∠DOE，再分当点P在优弧DBE上时和当点P在劣弧DE上时，分别求出∠DPE即可．【详解】解：连接OD，OE，∵∠A=80°，AB=AC，∴∠B=∠C=12∵OD=OB=OC=OE，∴∠ODB=∠B=∠C=∠OEC=50°，∴∠BOD=∠COE=80°，∴∠DOE=20°，当点P在优弧DBE上时，∠DP1E=12∠DOE当点P在劣弧DE上时，∠DP2E=180°-∠DP1E=170°，∴∠DPE=170°或10°，故答案为：170°或10°．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆心角，圆周角定理，理解题意，画出图形，进行分类讨论是解题的关键．【考点11】圆有关线段计算综合问题【例11】（2021·江苏·南通市八一中学九年级阶段练习）已知AB是半圆O的直径，OD⊥弦AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC＝2，(1)求OF的长；(2)连接BE，若BE=23，求半径OA【答案】(1)OF＝1(2)半径为3【分析】（1）先根据垂径定理得出AD＝CD＝1，根据“AAS”证明△ADO≌△OFE，即可得出OF＝AD＝1；（2）设OA=OB=OE=x，则：BF=OB-OF=x-1，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可．（1）解：∵OD⊥AC，AC＝2，∴AD＝CD＝1，∵OD⊥AC，EF⊥AB，∴∠ADO＝∠OFE＝90°，∵OE∥AC，∴∠DOE＝∠ADO＝90°，∴∠DAO+∠DOA＝90°，∠DOA+∠EOF＝90°，∴∠DAO＝∠EOF，∵在△ADO和△OFE中，∠ADO=∠EFO∠DAO=∠FOE∴△ADO≌△OFE（AAS），∴OF＝AD＝1．（2）解：设OA=OB=OE=x，则：BF=OB-OF=x-1，∵EF⊥AB，∴∠BFE＝∠OFE＝90°，∴EF∴x2解得：x1=3，∴半径OA=3．【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，三角形全等的判定和性质，作出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定和性质，是解题的关键．【变式11.1】（2022·江苏·九年级单元测试）如图，AB是⊙O的直径，CB是弦，OD⊥CB于E，交BC于D，连接AC．(1)请写出三个不同类型的正确结论；(2)若CB=8，ED=2，求⊙O的半径．【答案】(1)结论见解析(2)5【分析】（1）根据垂径定理即可证明出BE=CE，BD⏜=CD（2）设圆的半径等于R，利用垂经定理和勾股定理列方程可求出圆的半径．（1）不同类型的正确结论有：①BE=CE；②BD⏜=CD证明如下：∵CB是弦，OD⊥CB于E，∴BE=CE，BD⏜=CD（2）∵OD⊥CB∴BE=CE=12设半径等于R，则OE=OD－DE=R－2在Rt△OEB中，由勾股定理得，OE2解得R=5∴⊙O的半径为5．【点睛】本题主要考查了垂径定理，求圆的弦，半径，弦心距的问题可以转化为解直角三角形的问题，解题的关键是熟练掌握垂径定理．【变式11.2】（2022·江苏·九年级课时练习）如图，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=8，连接BC．(1)尺规作图：作半径OD交AC于E，使得点E为AC中点；(2)连接AD，求三角形OAD的面积．【答案】(1)见解析(2)10【分析】（1）过点O作OD⊥AC，交AC于点E，交⊙O于点D；（2）由题意可得OD=5，由（1）得：OE⊥AC，点E为AC中点，继而可得AE=1（1）解：如图，点E即为所求；（2）解：如图，连接AD，∵⊙O的直径是10，∴OD=5，由（1）得：OE⊥AC，点E为AC中点，∴AE=1∴S△OAD【点睛】本题主要考查了垂径定理、三角形的面积公式，熟练掌握垂径定理是解题的关键．【变式11.3】（2022·江苏·九年级课时练习）在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题：(1)如图1，⊙O1的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心O1(2)如图2，O2C⊥弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦AB折叠后经过O2C的中点D，【答案】(1)43(2)35【分析】（1）如图1，作O1M⊥AB交AB于N，交⊙O1于M，连接AO1，由题意知，O1N=MN=12×4=2（2）如图2，延长O2C交⊙O2于E，连接AO2，设半径为r，由题意知AC=CB=12AB=5（1）解：如图1，作O1M⊥AB交AB于N，交⊙O1由题意知，O1N=MN=在Rt△AO1∴AB=4∴AB的长为43（2）解：如图2，延长O2C交⊙O2于E由题意知AC=CB=12AB=5在Rt△AO2C中，由勾股定理得解得：r=35，r=−3∴半径的长为35【点睛】本题考查了垂径定理，折叠的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【考点12】圆有关作图及应用问题【例12】（2022·江苏·九年级课时练习）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．(1)利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．①作△ABC的外接圆⊙O；②以线段AC为一边，在AC的右侧作等边三角形ACD；③连接BD，交⊙O于点E，连接AE；(2)在（1）中所作的图中，若AB=4，BC=2，则线段AE的长为______．【答案】(1)作图见解析；(2)47【分析】（1）利用直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点，先做AB的垂直平分线，找出圆心O，以O为圆心，OA为半径画圆即可，再分别以A，B为圆心，AB为半径画弧交于点D，连接AD，CD，即可做出等边三角形ACD；（2）证明∠BAD=90°，利用勾股定理求出BD=AB2（1）解：作图如下：（2）解：∵AB=4，BC=2，△ACD是等边三角形，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=30°+60°=90°，∴AD=AC=AB×3∴BD=A∴AE=1故线段AE的长为47【点睛】本题考查三角形的外接圆，垂直平分线的作法，等边三角形的性质，勾股定理，（1）的关键是掌握直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点，（2）的关键是证明∠BAD=90°．【变式12.1】（2022·江苏·泰兴市教师发展中心二模）（1）如图1，△ABD和△CBD中，___________．从下列4个信息“①AB=BC，②∠BAD=∠BCD，③BD平分∠ABC，④AD=DC”中，选取两个将其序号填写在横线上，使得结论AC⊥BD成立，并说明理由．（2）如图2，已知3个点，只用圆规作出半径为OM的⊙O与点M，N所在直线的另一个交点（不写作法，保留作图痕迹）．【答案】①③或①④或②③，证明见解析【分析】（1）①③根据等腰三角形的三线合一即可得到结论，①④用垂直平分线的的判定可得到结论，②③先根据△ABED≅△CBD,得出BA=BC,DA=DC,再根据垂直平分线的判定记得得出结论．（2）以M为圆心，MO长为半径作弧，以N为圆心，NO为半径作弧，两弧相交于点E，再以点E圆心，EM为半径作弧，以点O为圆心，OM长为半径作弧，交于点F，点F为所求．【详解】解：（1）在横线上填①③或①④或②③，如图所示：AC与BD相交于点E，若以①③为条件，∵AB=BC,BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE,∴△ABE≅△CBE∴∠AEB=∠CEB,∵∠AEB+∠CEB=180°,∴∠AEB=∠CEB=90°,∴AC⊥BD,故以①③为条件成立．若以②③为条件，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE,∴△ABED≅△CBD∴BA=BC,DA=DC,∴BD⊥AC,故以②③为条件成立．若以①④为条件，∵AB=BC,AD=DC,∴BD⊥AC,故以①④为条件成立．（2）如图点F是所求作的另一个交点．【点睛】本题主要考查了在平面内两条直线垂直的判定，等腰三角形的三线合一，垂直平分线的判定，直线与圆的位置关系，熟练掌握等腰三角形的三线合一的性质判定和垂直平分线的性质判定是解此题的关键．【变式12.2】（2022·江苏·九年级课时练习）已知：如图，△ABC．

(1)求作：△ABC的外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)若△ABC是直角三角形，则其外接圆的圆心在；(3)若△ABC是边长为6的等边三角形，其外接圆的圆心O到BC边的距离为3，求其外接圆的面积．【答案】(1)见解析(2)斜边中点(3)12π【分析】（1）作AB、AC的垂直平分线交于点O，以O为圆心，OA为半径画圆即可；（2）根据直角三角形外心为斜边中点作答即可；（3）连接OB，利用勾股定