2025届河北省普通高中高二数学第一学期期末经典试题含解析

2025届河北省普通高中高二数学第一学期期末经典试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设双曲线：的左、右焦点分别为、，P为C上一点，且，，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.2．下列说法正确的有（）个.①向量，，，不一定成立；②圆与圆外切③若，则数是数，的等比中项.A.1 B.2C.3 D.03．圆与圆的位置关系是（）A.相交 B.相离C.内切 D.外切4．已知O为坐标原点，，点P是上一点，则当取得最小值时，点P的坐标为（）A. B.C. D.5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作直线交双曲线的右支于A，B两点.若，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.6．若抛物线焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为A. B.C. D.7．复数，则对应的点所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限8．已知等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，前项和为．若，则（）A. B.C. D.9．在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则（）A.5 B.6C.7 D.810．已知全集，，（）A. B.C. D.11．动点到两定点，的距离和是，则动点的轨迹为（）A.椭圆 B.双曲线C.线段 D.不能确定12．过抛物线的焦点作直线l，交抛物线与A、B两点，若线段中点的纵坐标为3，则等于（）A.10 B.8C.6 D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知拋物线的焦点F为，过点F的直线交该抛物线的准线于点A，与该抛物线的一个交点为B，且，则______14．已知点，则线段的垂直平分线的一般式方程为__________.15．已知数列的前n项和，则其通项公式______16．抛物线上一点到其焦点的距离为，则的值为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆()与椭圆的焦点相同，且椭圆C过点（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点A，B，且，(O为坐标原点)，若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由；（3）P是椭圆C上异于上顶点，下顶点的任一点，直线，，分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值18．（12分）已知的展开式中，只有第6项的二项式系数最大（1）求n的值；（2）求展开式中含的项19．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，直线过与交于两点，的周长为8（1）求的方程；（2）过作直线交于两点，且向量与方向相同，求四边形面积的取值范围20．（12分）2021年2月12日，辛丑牛年大年初一，由贾玲导演的电影《你好，李焕英》上映，截至到2月21日22点8分，票房攀升至40.25亿，反超同期上映的《唐人街探案3》，迎来了2021春节档最具戏剧性的一幕．正是因为影片中母女间的这份简单、纯粹、诚挚的情感触碰了人们内心柔软的地方，打动了万千观众，才赢得了良好的口碑，不少观众都流下了感动的泪水．影片结束后，某电影院工作人员当日随机抽查了100名观看《你好，焕英》的观众，询问他们在观看影片的过程中是否“流泪”，得到以下表格：男性观众女性观众合计流泪20没有流泪520合计（1）完成表格中的数据，并判断是否有99.9%的把握认为观众在观看影片的过程中流泪与性别有关？（2）以分层抽样的方式，从流泪与没有流泪的观众中抽取5人，然后从这5人中再随机抽取2人，求这2人都流泪的概率附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，21．（12分）已知数列的前项和为，且，，数列是公差不为0的等差数列，满足，且，，成等比数列.（1）求数列和通项公式；（2）设，求数列的前项和.22．（10分）已知函数.（1）若函数的图象在处的切线方程为，求的值；（2）若函数在上是增函数，求实数的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据双曲线定义结合，求得，在中，利用余弦定理求得之间的关系，即可得出答案.【详解】解：因为在双曲线中，因为，所以，所以，在中，，，由余弦定理可得，即，所以，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故选：B.2、A【解析】由向量数量积为实数，以及向量共线定理，即可判断①；求出圆心距，即可判断两圆位置关系，从而判断②；取，即可判断③【详解】对于①，与共线，与共线，故不一定成立，故①正确；对于②，圆的圆心为，半径为，圆可变形为，故其圆心为，半径为，则圆心距，由，所以两圆相交，故②错误；对于③，若，取，则数不是数的等比中项，故③错误故选：A3、A【解析】求出两圆的圆心及半径，求出圆心距，从而可得出结论.【详解】解：圆的圆心为，半径为，圆圆心为，半径为，则两圆圆心距，因为，所以两圆相交.故选：A.4、A【解析】根据三点共线，可得，然后利用向量的减法坐标运算，分别求得，最后计算，经过化简观察，可得结果.【详解】设，则则∴当时，取最小值为-10，此时点P的坐标为.故选：A【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，难点在于三点共线，审清题干，简单计算，属基础题.5、A【解析】根据给定条件结合双曲线定义求出，，再借助余弦定理求出半焦距c即可计算作答.【详解】因，令，，而双曲线实半轴长，由双曲线定义知，，而，于是可得，在等腰中，，令双曲线半焦距为c，在中，由余弦定理得：，而，，，解得，所以双曲线的离心率为.故选：A【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率的方法：(1)定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；(2)齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；(3)特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.6、D【解析】解：椭圆的右焦点为(2,0)，所以抛物线的焦点为(2,0)，则，故选D7、C【解析】化简复数，根据复数的几何意义，即可求解.【详解】由题意，复数，所以复数对应的点为位于第三象限.故选：C.8、D【解析】用基本量表示可得基本量的关系式，从而可得，故可得正确的选项.【详解】若，则，而，此时，这与题设不合，故，故，故，而，故，此时不确定，故选：D.9、B【解析】当n为偶数时，展开式中第项二项式系数最大，当n为奇数时，展开式中第和项二项式系数最大.【详解】因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故，得.故选：B10、C【解析】根据条件可得，则，结合条件即可得答案.【详解】因，所以，则，又，所以，即.故选：C11、A【解析】根据椭圆的定义，即可得答案.【详解】由题意可得，根据椭圆定义可得，P点的轨迹为椭圆，故选：A12、B【解析】根据抛物线的定义求解【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，设，则，所以，故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】作垂直于准线，垂足为，准线与轴交于点，根据已知条件，利用几何方法，结合抛物线的定义得到答案.【详解】抛物线的焦点坐标，准线方程，作垂直于准线于，准线与轴交于点，则，∴.∵，∴，由抛物线的定义得，∴.故答案为：.14、【解析】由中点坐标公式和斜率公式可得的中点和直线斜率，由垂直关系可得垂直平分线的斜率，由点斜式可得直线方程，化为一般式即可【详解】由中点坐标公式可得，的中点为，可得直线的斜率为，由垂直关系可得其垂直平分线的斜率为，故可得所求直线的方程为：，化为一般式可得故答案为：15、【解析】利用当时，，可求出此时的通项公式，验证n=1时是否适合，可得答案.【详解】当时，，当时，不适合上式，∴，故答案为:.16、【解析】将抛物线方程化为标准方程，利用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，再利用点到直线的距离公式进行求解.【详解】将抛物线化为，由抛物线定义得点到准线的距离为，即，解得故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）存在，；（3）证明见解析，定值2【解析】(1)根据已知条件，用待定系数解方程组即可得到C的方程；(2)设出AB的方程，与椭圆方程联立，得到根与系数关系，代入由确定方程内即可得到结果；(3)设P点坐标，求出M和N坐标，设出圆G的圆心坐标，求得圆的半径，由垂径定理求得切线长|OT|，结合P在椭圆上可证|OT|为定值﹒【小问1详解】设椭圆C的方程为将点代入椭圆方程有点解得，(舍)∴椭圆的方程为；【小问2详解】设，当AB斜率存在时，设，代入，整理得，由得，即，由韦达定理化简得，即，设存在圆与直线相切，则，解得，∴圆的方程为；又若AB斜率不存在时，检验知满足条件，故存在圆心在原点的圆符合题意；【小问3详解】如图：，，设，直线，令，得；直线，令，得；解法一：设圆G的圆心为，则，，，而，∴，∴，∴，即线段OT长度为定值2解法二：，而，∴，∴由切割线定理得．∴，即线段OT的长度为定值218、（1）10；（2）；【解析】(1)利用二项式系数的性质即可求出的值；(2)求出展开式的通项公式，然后令的指数为即可求解【小问1详解】∵的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，∴展开后一共有11项，则，解得；【小问2详解】二项式的展开式的通项公式为，令，解得，∴展开式中含的项为19、（1）；（2）.【解析】(1)根据给定条件直接求出半焦距，及长半轴长即可作答.(2)根据给定条件结合椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，设出直线l的方程，与椭圆C的方程联立，借助韦达定理、对勾函数性质计算作答.【小问1详解】依题意，椭圆半焦距，由椭圆定义知，的周长，解得，，因此椭圆的方程为.【小问2详解】依题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为，，由消去并整理得：，则，，因与方向相同，即，又椭圆是以原点O为对称中心的中心对称图形，于是得，即四边形为平行四边形，其面积，则，令，则，则，显然在上单调递增，则当时，，即，从而可得，所以四边形面积的取值范围为.【点睛】结论点睛：过定点的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点，，则面积；过定点直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点，，则面积20、（1）填表见解析；有99.9%的把握认为观众在观看影片的过程中流泪与性别有关；（2）【解析】（1）由已知数据可完善列联表，然后计算可得结论；（2）根据分层抽样定义求出5人中流泪与没有流泪的观众人数并编号，用列举法写出作任取2人的所有基本事件，并得出2人都流泪的基本事件，计数后可计算概率【详解】解：（1）男性观众女性观众合计流泪206080没有流泪15520合计3565100所以有99.9%的把握认为观众在观看影片的过程中流泪与性别有关（2）以分层抽样的方式，从流泪与没有流泪的观众中抽取5人，则流泪的观众抽到人，记为，，，，没有流泪的观众抽到人，记为从这5人中抽2人有10种情况，分别是，，，，，，，，，其中这2人都流泪有6种情况，分别是，，，，，所以所求概率21、（1），（2）【解析】（1）根据，求出是以1为首项，3为公比的等比数列，求出的通项公式，求出的公差，进而求出的通项公式；（2）分组求和.【小问1详解】因为①，所以当时，②，①－②得：，即③，令得：，满足③，综上：是以1为首项，3为公比的等比数列，故，设的公差为d，则，因为，所以，解得：或0（舍去），所以【小问2详解】，则22、（1）；（2）.【解析】（1）