高一数学下册期末考点大串讲(人教A版)第2讲正弦定理和余弦定理的应用(知识点串讲)特训（学生版+解析）

第2讲正弦定理和余弦定理的应用【知识梳理】一、实际测量中的常见问题求AB图形需要测量的元素解法求竖直高度底部可达∠ACB＝α，BC＝a解直角三角形AB＝atanα底部不可达∠ACB＝α，∠ADB＝β，CD＝a解两个直角三角形AB＝eq\f(atanαtanβ,tanβ－tanα)求水平距离山两侧∠ACB＝α，AC＝b，BC＝a用余弦定理AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosα)河两岸∠ACB＝α，∠ABC＝β，CB＝a用正弦定理AB＝eq\f(asinα,sinα＋β)河对岸∠ADC＝α，∠BDC＝β，∠BCD＝δ，∠ACD＝γ，CD＝a在△ADC中，AC＝eq\f(asinα,sinα＋γ)在△BDC中，BC＝eq\f(asinβ,sinβ＋δ)；在△ABC中，应用余弦定理求AB2．仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图①)．3．方位角和方向角(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等．【考点精炼】考点一：高度问题（已知仰角或俯角）例1、(2019·山东青岛月考)如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________.练习1、(2019·河北衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了1200m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为________m.求解高度问题的3个注意点(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．考点二：高度问题（已知方位角或方向角）例2、如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝______m.考点三：距离问题例3、(2019·山东临沂联考)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于________m.(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，eq\r(3)≈1.73)训练3、如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离，即AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosα).若测得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．求解距离问题的一般步骤(1)画出示意图，将实际问题转化成三角形问题．(2)明确所求的距离在哪个三角形中，有几个已知元素．(3)使用正弦定理、余弦定理解三角形对于解答题，应作答．考点四：角度问题例4、如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40nmile的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20nmile的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ的值为________.训练4、(2019·山西大同联考)在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20km/h；水的流向是正东，流速是20km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东________，速度的大小为________km/h.解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义．(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．训练5、(2019·河南安阳调研)如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(eq\r(3)－1)nmile的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2nmile的C处的我方缉私船奉命以10eq\r(3)nmile/h的速度追截走私船，此时走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．第2讲正弦定理和余弦定理的应用【知识梳理】一、实际测量中的常见问题求AB图形需要测量的元素解法求竖直高度底部可达∠ACB＝α，BC＝a解直角三角形AB＝atanα底部不可达∠ACB＝α，∠ADB＝β，CD＝a解两个直角三角形AB＝eq\f(atanαtanβ,tanβ－tanα)求水平距离山两侧∠ACB＝α，AC＝b，BC＝a用余弦定理AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosα)河两岸∠ACB＝α，∠ABC＝β，CB＝a用正弦定理AB＝eq\f(asinα,sinα＋β)河对岸∠ADC＝α，∠BDC＝β，∠BCD＝δ，∠ACD＝γ，CD＝a在△ADC中，AC＝eq\f(asinα,sinα＋γ)在△BDC中，BC＝eq\f(asinβ,sinβ＋δ)；在△ABC中，应用余弦定理求AB2．仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图①)．3．方位角和方向角(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等．【考点精炼】考点一：高度问题（已知仰角或俯角）例1、(2019·山东青岛月考)如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________.【答案】eq\f(\r(3),2)a[由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，AD＝eq\r(3)a，所以在Rt△ADB中，AB＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(\r(3),2)a.]练习1、(2019·河北衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了1200m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为________m.【答案】600eq\r(2)[在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，由正弦定理得eq\f(AM,sin∠MCA)＝eq\f(AC,sin∠AMC)，即eq\f(1200,\f(\r(2),2))＝eq\f(AC,\f(\r(3),2))，解得AC＝600eq\r(6).在△ACD中，∵tan∠DAC＝eq\f(DC,AC)＝eq\f(\r(3),3)，∴DC＝600eq\r(6)×eq\f(\r(3),3)＝600eq\r(2).]求解高度问题的3个注意点(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．考点二：高度问题（已知方位角或方向角）例2、如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝______m.【答案】100eq\r(6)[由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600m，故由正弦定理得eq\f(600,sin45°)＝eq\f(BC,sin30°)，解得BC＝300eq\r(2)m.在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝300eq\r(2)×eq\f(\r(3),3)＝100eq\r(6)(m)．]考点三：距离问题例3、(2019·山东临沂联考)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于________m.(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，eq\r(3)≈1.73)【答案】60[如图，过点A作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，则在Rt△ABD中，∠ABD＝67°，AD＝46，AB＝eq\f(46,sin67°).在△ABC中，根据正弦定理得BC＝eq\f(ABsin37°,sin30°)＝46×eq\f(sin37°,sin67°sin30°)≈60.]训练3、如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离，即AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosα).若测得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．解在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos60°＝280000，∴AB＝200eq\r(7)(m)，即A，B两点间的距离为200eq\r(7)m.求解距离问题的一般步骤(1)画出示意图，将实际问题转化成三角形问题．(2)明确所求的距离在哪个三角形中，有几个已知元素．(3)使用正弦定理、余弦定理解三角形对于解答题，应作答．考点四：角度问题例4、如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40nmile的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20nmile的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ的值为________.【答案】eq\f(\r(21),14)[在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，得BC＝20eq\r(7).由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，即sin∠ACB＝eq\f(AB,BC)·sin∠BAC＝eq\f(\r(21),7).由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝eq\f(2\r(7),7).由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝eq\f(\r(21),14).]训练4、(2019·山西大同联考)在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20km/h；水的流向是正东，流速是20km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东________，速度的大小为________km/h.【答案】60°20eq\r(3)[如图，∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos120°＝1200，故OC＝20eq\r(3)，∠COy＝30°＋30°＝60°.]解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义．(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．训练5、(2019·河南安阳调研)如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(eq\r(3)－1)nmile的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2nmile的C处的我方缉私船奉命以10eq\r(3)nmile/h的速度追截走私船，此时走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝10eq\r(3)tnmile，BD＝10tnmile，在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝(eq\r(3)－1)2＋22－2(eq\r(3)－1)×2×cos120°＝6，解得BC＝eq\r(6).又∵eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，∴sin∠ABC＝eq\f(AC·sinA,BC)＝eq\f(2×sin120°,\r(6))＝eq\f(\r(2),2)，∴∠ABC＝45°，故