2021年新教材高一数学暑假作业七新人教A版

高一数学暑假作业

一、单选题

1.托马斯说：“函数是近代数学思想之花.”根据函数的概念判断：下列对应关系是

集合M={-1,2,4}到集合N={1,2,4,16}的函数的是（）

A.y=2xB.y=x+2C.y=x2D.y=2"

2.已知非零向量落石满足|五|=2住I，且位一则弓与否的夹角为（）

3.已知复数2=审，则下列说法正确的是（）

A.z的虚部为4/B.z的共辗复数为l-4i

C.\z\=5D.z在复平面内对应的点在第二象限

4.如图，四边形ABC£>中，ZB=ZC=120°,AB=4,BC=

CD=2,则该四边形的面积等于（）

A.V3B.5>/3

C.6-\/3D.7V3

5.一艘客船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30。方向上，之后它以每小

时32〃〃〃7e的速度沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，测得船与灯塔S

相距8夜mn〃e，则此时灯塔S在客船的（）

A.北偏东75。方向上B.南偏东15。方向上

C.北偏东75。或南偏东15。方向上D.以上方位都不对

6.已知向量65=（2,2），OB=（4,1）1在x轴上有一点P，使布•所有最小值，则P

点坐标为（）

A.（-3,0）B.（3,0）C.（2,0）D.（4,0）

7.非零向量函=乙诟=方，点B关于就所在直线的对称点为C,则向量反为（）

A.增口B.2a-b

8.在直三棱柱ABC-Ci中，AB=2,AC=痘,4B4C=30。，AA2=y/5,则其

外接球的体积是（）

A.V6?rB.—C.%D.—

232

9.已知三棱锥P-ABC中，PA,PB,PC两两垂直，且长度相等.若点P,A,B,C

都在半径为1的球面上，则球心到平面A8C的距离为（）

10.“x=会是"函数y=sin(x+》在R上取得最大值1”的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

11.己知互异的复数m8满足abHO,集合｛a,匕｝=｛。2,炉｝,则。+8=()

A.2B.1C.0D.-1

12.方程20g4%=2的解所在的区间是()

A.(辅)B.(i,|)C,(|,|)D.(I，》

13.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=

〃，。。2(1+》•它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道

带宽W，信道内信号的平均功率S,信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中竟叫

做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若

不改变带宽W,而将信噪比，从1000提升至8000,则C大约增加了()(匈2~

0.3010)

A.10%B.30%C.60%D.90%

二、多选题

14.a,b,c分别为△力BC内角A,B,C的对边.已知bsinA=(3b—c)sinB,且cos4=g,

则()

A.a+c=3bB.tanA=2V2

C.△ABC的周长为4cD.AABC的面积为2c2

9

15.如图，直三棱柱4BC-4iBiCi中，44i=2,AB='■--------------

BC=1,乙4BC=90。，侧面A&CiC中心为0,点E/

是侧棱BBi上的一个动点，有下列判断，正确的是；,/«一:/，,

A.直三棱柱侧面积是4+2V2

B.直三棱柱体积是:

C.三棱锥E-4410的体积为定值

D.4E+EG的最小值为2a

16.点0是平面a上一定点，A,B,C是平面a上AABC的三个顶点，4B,4c分别是边

AC,A8的对角.以下五个命题正确的是（）

A.动点「满足加+4（普不+4三）（/1>0）,则△ABC的重心一定在满足

K\AB\stnB|4C|smC八'

条件的P点集合中

B.动点尸满足灰=成+4熹+票）（2>0）,则△ABC的内心一定在满足条件的

尸点集合中

C.动点尸满足而=0A+4（瀛焉+薄嬴）（4>0），则44BC的垂心一定在满

足条件的P点集合中

D.动点产满足丽=雨+而+正，则△力BC的外心一定在满足条件的P点集合

中

17.下列结论正确的是（）

A.若X],%2都是第一象限角，且与>》2，贝ijsinxi>siziJQ

B.函数/（x）=|sinx|的最小正周期是兀

C.函数y=（cos2x+sinx的最小值为一1

D.已知函数的图象与x轴有四个交点，且f（x+l）为偶函数，则方程/。）=0

的所有实根之和为4

三、填空题

18.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若满足4=泉b=3的△ABC有

且仅有一个，则边”的取值范围是.

19.轴截面为等边三角形的圆锥叫作等边圆锥，底面半径为2的等边圆锥的体积为

22

20.不等式?n2_(m—3m)i<(m—4m+3)i+10成立的实数m的取值集合是

21.表面积为817r的球，其内接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是7,则这个正

四棱柱的表面积为.

22.在△ABC中，边a,b,c所对的角分别为4,B,C,△ABC的面积S满足4bS=b2+

c2-a2,若a=4,则△4BC外接圆的面积为.

23.如图，边长为2的菱形ABCD的对角线相交于点。，点P

在线段8。上运动.若荏.同=1,则而•丽的最小值

为.

B

24.己知s勿2a=则sin2(a+£)=______.

34

25.已知点。为△ABC的外心，K|ZC|=4,|AB|=21则布•瓦:=.

26.若/'(x)=2sin(a)x+。)+?n,对任意实数，都有f(t+》=且//)=-1,

则实数根的值等于

27.如图，一块边长为1的正方形区域ABCQ,在A处有一个

可转动的探照灯，其照射角4M4N始终为三记探照灯照射

在正方形ABC。内部区域(阴影部分)的面积为S.若设

^BAM=a,aG[0,J,则S的最大值为.

四、解答题

28.在①=a(^sinC+6cosC);(2)2acosA=bcosC+ccosB.③acosC+^c=b,

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.

在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知.

(1)求角A；

(2)设AABC的面积为S,若a=a,求面积S的最大值.

29.已知丘=(cosx,sinx),b=(cosx+V3sjnx,y/Scosx—sinx},f(x)=a-b

(1)求f(x)的解析式及其最小正周期;

(2)求/(x)的单调增区间.

30.如图为一个健身哑铃，它是由两个全等的大圆柱和中间一个连杆圆

柱构成的，已知大圆柱的底面半径为6c〃?，高为2cm,连杆圆柱的底

面半径为2c〃z,高为8cm.

(1)求该健身哑铃的体积；

(2)求该健身哑铃的表面积.

31.如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P,已知射线

AB,AC为湿地两边夹角为120。的公路(长度均超过2千米)，在两条公路A8,AC

上分别设立游客接送点M,N,从观景台P到M,N建造两条观光线路PM,PN,

测得AM=2千米，AN=2千米.

(1)求线段MN的长度；

(2)若/MPN=60°,求两条观光线路与PN之和的最大值.

32.已知函数f(x)是定义在［-4,4］上的奇函数，当%e［0,4］时,f(x)=2x+a-4x(ae/?).

(1)求/(x)在[-4,0)上的解析式；

(2)若xe[-2,-1],不等式/'(x)W爱恒成立，求〃?的取值范围.

33.经过长期发展，我国的脱贫攻坚成功走出了一条中国特色的扶贫开发道路.某个农

村地区因地制宜，致力于建设“特色生态水果基地”.经调研发现：某珍稀水果树

的单株产量〃单位：千克)与施肥量工(单位：千克)满足函数关系：L(x)=

f5(x2+6),0<x<2

75z2<v，且单株水果树的肥料成本投入为20x元，其它成本投入(如

Q+x，x-

培育管理、施肥等人工费)为25x元已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，

且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为7•(%)(单位：元).

(1)求f。)的函数关系式；

(2)当单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

答案和解析

1.【答案】C

【解析】

【分析】

根据函数的定义，分别进行判断即可.

本题主要考查函数的概念，利用函数的对应性是解决本题的关键，是基础题.

【解答】

解:4当％=-1时，y=-2,没有对应值,不满足条件.

8.当x=4时，y=x+2=6,没有对应值，不满足条件.

C.满足条件.

D当％=-1时，y=p没有对应值，不满足条件.

故选：C.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属于基础题.

由位—b)_Lb,可得0—b)・b=0,进一"步得到同间cos<三花〉—b=0,然后求出

夹角即可.

【解答】

解：■­(a-b>)1b>

(a—b,)-b=a-b—b2

=|a||K|cos<a,b>—b=0,

/T丞、同21

•••3<。/>=丽=了

v<a,b>G[0,n]»

-<a,b>=p

故选艮

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共辗复数的概念，是基础题.

利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z,然后逐一核对四个选项得答案.

【解答】

解„„：,寸S+3i高(5+3十0(l+i)丁2+8i….,今..，

•••2的共轨复数为1一4九

故选B.

4.【答案】B

【解析】解：连接8。，在△8CD中，BC=CD=2,/.BCD=120°,

•••Z.CBD=30°,BD=2V3，

S^BCD=IX2x2xsinl20°=V3.

在AABD中，/.ABD=120°-30°=90°,

AB=4,BD=2V3.

SA®=^AB-BD=Ix4x2V3=4V3,

二四边形A8CZ)的面积是5百.

故选B

连接8。，在ABCD中利用BC=CO,nBCD=120。求得8。，进而利用三角形面积公式

求得三角形BCD的面积.在AAB。中，依题意求得N4B0=90。进而利用两直角边求得

三角形的面积，最后相加即可.

本题主要考查了解三角形问题.考查了三角函数基础知识的综合应用.

5.【答案】C

【解析】解：在△4BS中，己知/B4S=30°,且边BS=8V2nmile，AB=32x|=16nmile；

A8_

利用正弦定理可得:BS

sin乙4sBsinz.B>4S，

16_80

sin乙4sBsi九300

sinZjlSB=—,

2

所以乙4sB=45。或135。，

所以灯塔S在B处的北偏东75。或南偏东15。,

如图所示.

故选：C.

由题意及图形在中，4BAS=30°,AB=16,BS=8痘，利用正弦定理求得乙4sB

的值，即可得出正确的结论.

本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了数形结合思想，是基础题.

6.【答案】B

【解析】解：设点P的坐标为(x,0),可得：

AP=(x-2,-2)，BP=(x-4,-1)，

因止匕~AP-BP=(x-4)(%-2)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1.

,二次函数y=(x-3)2+1,当x=3时取得最小值为1,

••・当x=3时，而取得最小值1,此时P(3,0),

故选：B.

设P(x,0),可得存、而含有x的坐标形式，由向量数量积的坐标运算公式得而•前的

表达式，结合二次函数的图象与性质，可得当x=3时，取得最小值1,得到本题答案.

本题着重考查了向量数量积的坐标运算公式和二次函数的性质等知识，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：如图由题意点8关于就所在直线的对J\

称点为C,

•••NB04=ACOA,°3/口

••.由平行四边形法则知：~0B+0C=~0D,、\^

且向量而的方向与向量市的方向相同，C

由数量积的概念，向量而在向量市方向上的投影是。M=萼，

又设与向量次方向相同的单位向量为义，

・响量方=2而7=2.萼2=膂，

\a\\a\1和

.-.OC=OD-OB=^^-b.

|Q|2

故选：A.

由平行四边形法则向量抽+元的方向与向量诃的方向相同，因此只需要求得与向量

万?方向相同的单位向量3以及向量而在向量方方向上的投影萼，即可得到向量反.

本题考查向量加法的平行四边形法则，向量的数量积的概念，向量的模的概念，是中档

题.

8.【答案】B

【解析】解：直三棱柱4BC-&B1G中,

如图所示：

已知力B=2,AC=V3-^BAC=30°,

所以利用余弦定理：BC2=AC2+AB2-2-AC-AB-cos30°,

整理得8c2=22+(V3)2-2x2xV3Xy,

解得BC=1,

所以45=4C2+BC2,故△ABC为直角三角形;

所以点。为△ABC的外接圆的圆心，

直三棱柱的外接球的球心在平面44B1B的中心位置，

由于44i=V5.

所以R=0C=J$2+/=|,

故%=”,©3=上

故选：B.

首先利用余弦定理求出BC的长，进一步判断△ABC为直角三角形，再求出球的球心和

半径，最后求出球的体积.

本题考查的知识要点：三棱柱体和外接球的关系，余弦定理，外接球的球心的确定，球

的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

9.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球

的几何特征，点到面的距离问题的解决技巧，为拔高题.

先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所

求距离转化为正方体中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算.

【解答】

解：•.•三棱锥P-ABC中，PA,PB,PC两两垂直，且长度相等，

•・・此三棱锥的外接球即以PA,PB,PC为三边的正方体的外接球0,且体对角线为球0

的直径，

•••球。的半径为1,设正方体的边长为。，则有夜2+a2+a2=2,解得a=2，

3

•••正方体的边长为延，即PA=PB=PC=—，

33

球心到截面A8C的距离即正方体中心到截面ABC的距离，

设P到截面ABC的距离为/7,则正三棱锥P-4BC的体积

1

y=xh

1

=2XPC

由勾股定理易知44BC为边长为平的正三角形,

V3,2瓜、22\[3

Sr—BC=7X(­)Z=—

则打平X九(竽尸,

2

・•・h

由正方体的几何形状可知，直线尸。经过三菱锥P-4BC以P为顶点的高线,

所以球心到平面ABC的距离为1一九=%

二球心(即正方体中心)0到截面ABC的距离为也

故选：C.

10.【答案】A

【解析】解：①当X=*时，y=Sin(x+；)=sin]=1,.•.充分性成立，

②当y=sin(x+》在R上取得最大值1时，X+H+2/CTT,k&Z,■-x=^+2kn,

kez,.•.必要性不成立，

•••x=g是函数y=sin(x+g)在R上取得最大值1的充分不必要条件，

O3

故选：A.

根据正弦函数的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，正弦函数的性质，属于基础题.

11.【答案】D

【解析】解：根据集合相等的条件可知，若｛。/｝=也2,接｝,

鹭葬①或｛：：1②,

由①得『=。)=L

[b=0^b=l

vabH0,・•.aH0且bH0,即Q=1,b=1,此时集合｛1,1｝不满足条件.

由②得,若b=a2,a=b2,则两式相减得小-h2=h-a,即(Q-h)(a+b)=-(a-b),

・••互异的复数小b,

・•・a—bW0,即Q+b=—1,

故选：D.

根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论.

本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要

进行分类讨论.

12.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，函数零点的判定定理，体现了转化的数学

思想，属于基础题.

令/(x)=log4x+;-2,则利用函数零点的判定定理求得函数/'(x)的零点所在区间即可.

【解答】

解：令/'(X)-log4x+：-2,则/(x)在((),+x)连续，

又因为/©)=log41+3-2=log4|+l>0,/(1)=log41+2-2=log4|<0,

熙)展)<。，

所以方程的解所在区间为GA),

故选：B.

13.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算，是基础题.

利用香农公式分别计算出信噪比为1000和8000时的C的值，再利用对数的运算性质求

出C的比值即可得到结果.

【解答】

解:当5=1000时，Clxwiog21000,当5=8000时，C2aWlog28000,

.£2_仞。。28000_2g8000_3+3的2〜]3

,•Ci-WIogzIOOO-®1000­3〜■'

・•.。大约增力□了30%,

故选：B.

14.【答案】ABD

【解析】解:因为bs讥4=(3b-c)sinB,

所以由正弦定理可得ab=(3b-c)b,可得a=3b-c,即a+c=3b,故A正确；

又因为cos4=%

所以tcmA=-1=J/-1=2企，故B正确；

可得△4BC的周长a+b+c=3b+b=4b^4c,

可得sin4=V1—cos2/l=—»

3

根据余弦定理(3b-c)2=b2+c2-2bccosA,整理解得b=|c,

△ABC的面积S=-bcsinA=-xcx-cx—=—c2.

22339

故选：ABD.

由正弦定理化简已知等式可得a+c=3b,即可判断4；

由cos4=5利用同角三角函数基本关系式可求tanA的值，即可判断B；

根据余弦定理整理解得b=|c,可得AABC的周长a+b+c=3b+b=4bK4c,即可

判断C；

利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值，利用三角形的面积公式即可判断D.

本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的面积公式在

解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

15.【答案】ACD

【解析】解：直三棱柱4BC-&B1C1中的底面是等腰直角三

角形，侧面时矩形，所以其侧面积为1x2x2+V^x2=4+

25/2，故4正确；

直三棱柱的体积为：xlxlx2=1,故8不正确;

三棱锥E-44。的高为定值四,底面积为工x&x2=遮,所以其体积为工x四x坦=三,

2423226

故C正确；

把侧面44GC和侧面CGB1B展开在一个平面上，当E为4G的中点时，AE+EC1的最

小值等于AG=y/22+(1+I)2=2A/2.故D正确.

故选：ACD.

通过计算可得到答案.

本题考查了命题真假的判断与应用.属中档题.

16.【答案】ABC

【解析】解：对于4,设BC边上的高为〃，则|四|sinB=/i，|3?|sinC=/i，

又诃—刃=屈，.••都=：（同+硝，.・.则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合

中，选项A正确；

对于8,...而-a=9，.•.9=〃需+翡），而需j,翡分别为荏,前方向上的单

位向量，

二^+需所在的直线平分NBAC,••.△4BC的内心一定在满足条件的尸点集合中，选项

B正确：

对于C,设况边上的高与BC交点为E，OP-OA=AP，.：AP=2（备+磊），

•••丽•近=；1（鬻+鬻）=用前|-|而|）=0,.•.都1元，

・•・△48C的垂心一定在满足条件的P点集合中，所以C正确；

对于。，•・•诃=次+而+无，.•.可+而+方=6，二2为AABC的重心，所以。

错误.

故选：ABC.

对于A,设8C边上的高为h,将条件转化为荏=2港+码即可判断;对于B,由焉+

^所在的直线平分4B4C即可判断；对于C,利用存•配=0即可判断；对于。，先得

到同+而+正=6，即可判断尸为AABC的重心，即可判断.

本题考查了用平面向量解决三角形四心的问题，难度较大，需要掌握四心的定义和性质，

属于难题.

17.【答案】BCD

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的性质，函数的奇偶性，属于中档题.

利用象限角和三角函数的性质判断4利用三角函数的周期性判断8；利用三角恒等变

换化简函数解析式，结合三角函数的最值判断C；利用函数的奇偶性的性质判断。.

【解答】

解：对于A：若*1=等，x2=^>且满足%1>刀2，则sinxi<sinx2，故A错误；

对于B：函数f(x)=|s讥的最小正周期是兀，故8正确；

对于C：函数y=1coszx+sinx=1(1—sin2x)+sinx=—|sin2x+sinx+1=

—1(sinx—l)2+1,

当sinx=-l时，函数的最小值为-1,故C正确；

对于。：/'(x+1)为偶函数，则f(x+l)的图象关于y轴对称，

则函数的图象可看做是+1)的图象向右平移1个单位，则/(%)的图象关于x=1

对称，

则方程f(x)=0的所有实根之和为4,故O正确；

故选：BCD.

18.【答案】｛a|aN3或。=誓｝

【解析】解：过C作A8边上的高八=6讥4=3X^=越，

22

若满足4=7,b=3的448c有且仅有一个，/K

则。=/:=雷或。2人所以。23或。=苧，b=3/\

h=bsinA

即实数a的取值范围是｛a[a>3或a=这:

故答案为：｛a|a23或a=2｝.

求出三角形底边AC上的高h,结合三角形的性质建立条件关系即可.

本题考查了正弦定理的应用，考查了数形结合思想，是中档题.

19.【答案】迪I

3

【解析】解：•••圆锥的底面半径为2,轴截面为等边三角形，

・••圆锥的母线长1=4.圆锥的高为2次，

•••该圆锥的体积为U=工兀X22x2b=亚红.

33

故答案为：见红.

3

由已知可得圆锥的母线长，再由圆锥的体积公式求解.

本题考查圆锥的结构特征，考查圆锥体积的求法，是基础题.

20.【答案】3

【解析】解：由不等式——(m2—3m)i<(m2—4m+3)i+10,可得

(m2<10

Im2-3m=m2—4m+3=0'

解得m=3,

故答案为3.

根据两个复数如果能比较大小，则这两个数都是实数，可得

24n，由此求得，"的值.

(m-3m=m-4m4-3=0

本题主要考查复数的基本概念，两个复数如果能比较大小，则这两个数都是实数，属于

基础题.

21.【答案】144

【解析】解：设球的半径为r,贝ij47n'2=81兀，解得r=£

设正四棱柱的底面边长为a,则正四棱柱的体对角线为Va2+a?+72=2r=9，

解得a=4,

・••正四棱柱的表面积为S=2x4?+4x4x7=144,

故答案为：144.

由已知计算球的半径，根据正四棱柱的体对角线等于球的直径求出棱柱的底面边长，再

计算表面积.

本题考查了球与棱柱的位置关系，几何体的体积与表面积计算，属于基础题.

22.【答案】167r

【解析】

【分析】

本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解

三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，是中档题.

由已知利用三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式可得tanA,结合范围

Ae可求A,

利用正弦定理可求△力BC外接圆的半径，即可求△ABC外接圆的面积.

【解答】

解：：46S=b2+c2-a2>

••4A/3x-bcsinA=2bccosA,可得：tanA=—>

23

•••Ae(0,7T),

.n

AA=-

6f

a4.

二则△ABC外接圆的半径R=五热=充=生

2

・••则△4BC夕卜接圆的面积S=nR2=167r.

故答案为：167r.

23.【答案】一:

4

【解析】解：建立如图所示的坐标系，

yt

D,

AB-AO=]AO\2=则4。=1,

又由菱形ABC。的边长为2,

则。8=W，

故A(—1,0),B(S>,-V3),

设P点坐标为(0,b)，bG[-V3,0],

则方=(l,b)，BP=(0,b+V3)

APBP=b2+V3b>

当b=—4时，AP-前取最小值一%

故答案为：一：

4

建立坐标系，由已知求出AO,OB长，设尸点坐标为(0,b),求出两个向量的坐标，进

而求出向量积的表达式，由二次函数的性质，可得答案.

本题考查的知识点是平面向量数量积的性质及其运算，难度中档.

24.【答案】

6

【解析】解：因为s讥2a=|,

所以siM(a+3)=sina+^-cosa)2=|(14-sin2a)=x(1+|)=

故答案为：

O

由已知利用两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式化简所求

即可求解。

本题主要考查了两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式在三

角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题。

25.【答案】6

【解析】解：,点。为△ABC的外心，且|正|=4,|而|=2，

.­■AO-BC=Ad-(AC-AB)=Ad-AC-Ad-AB

=|^4O||^4C|cos<AO,AC>-\AO\\AB\cos<AO>'AB>

=|ZC||ZC|x1-|ZS||^B|x|=|(4x4-2x2)=6

故答案为：6

根据点。为△ABC的外心，且|而|=4,|荏|=2，所以布•豆？=荷・(前—荏)=

AOAC-AOAB

=|而||4|cos<AC,AO>-\AB\\AO\cos<AB,A0>

得到答案.

本题主要考查向量数量积的几何意义.要会巧妙的转化问题.属中档题.

26.【答案】-3或1

【解析】

【分析】

由/Q+》=/(-t)0/(t)=一t)=/(x)=2sin(3x+四+Tn的图象关于直线

x=g对称，从而可求得实数，"的值.

本题考查正弦函数的对称性，求得f(x)=2sin(a)x+。)+m的图象关于直线》=今寸称

是关键，考查转化思想与运算能力，属于中档题.

【解答】

解：••"《+》=/(—)，

用T替换上式中的f,得

/(%)=2sin(cox+。)+m的图象关于直线x=g对称，

.1.y=/'(x)在对称轴x=；处取到最值，

2+m=-1或-2+m=—1,

解得：m=—3或m=1,

故答案为：一3或1.

27.【答案】2-V2

【解析】

【分析】

本题考查三角形的实际应用，以及基本不等式的应用，同时考查了学生的计算能力，属

于中档题.

利用S=S正方形ABCD—SA4BM~~SXADN,利用基本不等式求出面积的最小值即可.

【解答】

解：因为4B=1,/.BAM=a,ae[0,^],所以BM=tana,

令tcma=3则OWtWl,而-c,

4

7T

tan----tana

4_________

所以DN=tan(1«tj7F

1+tan-•tana1+f

4

S=S正方形ABCD_SfBM_S&ADN

=1-夫后X缶=2-](t+l)+言],OWtWl,

所以S=2-](t+l)+舟式2-卜2作77^^=2-a,

当且仅当1+1=告，即士=鱼—1时取等号，

所以S的最大值为2-e.

故答案为：2—五.

28.【答案】解：(1)若选条件①，•：y/3b=a(sinC+75cosC),

・••由正弦定理得百si?iB=sinA^sinC+A/3COSC),

vsinB=sin(/l+C)=sinAcosC+cosAsinC,

:，y/3(sinAcosC+cosAsinC^=sinAsinC+VSsinAcosC，

^P\/3cosAsinC=sinAsinC，

•・•sinCH0,

・•・tanA=百，

v0<i4<7T,

An；

-A=3—，

若选条件②，•・,2acosA=bcosC+ccosB,

・・・由正弦定理得

2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB,

^2sinAcosA=sin(B+C)=sinA,

即cos4=I，

v0<i4<7T,

,n；

a=—3,

若选条件③，vacosC+|c=Z?,

，由正弦定理得

sinAcosC+-2sinC=sinB,

vsinB=sin(i4+C)=sinAcosC4-cosAsinC,

・・

•sinAcosC+-2sinC=sinAcosC+cosAsinC,

^cosAsinC=-2sinC,

vsinCW0,

.i

・•・cosA=

v0<<7T,

.n

"4=5；

所以不管选择哪个条件，力=卓

(2)a2=b2+c2—2bccosA,

又a=%,A=%

即匕2+c2—be=3,

Vb2+c2>2bc,

..2bc-be<3,即be<3,当b=c时等号成立.

・•.be的最大值为3,

•••ShABC=^besinA,

面积S的最大值为"3x哼=号

224

【解析】(1)首先任选择一个条件，然后根据正弦定理进行边角互化，再根据三角恒等

变换，化简求值.

(2)由(1)得4=壬利用余弦定理和基本不等式求从的最大值，再求面积的最大值.

本题为开放性问题，利用正弦定理解三角形，同时根据均值不等式求面积的最值问题.

29.【答案】解：(1)v/(x)=ab=cosx(cosx+V3sinx)+sinx(^/3cosx-sinx)

=cos2x+2y/3sinxcosx—sin2x

=cos2x+V3sin2x=2sin(2x+-6),

：・T=71

(2)令一]+2/OTW2X+牌5+2/OT,kEZ

则-g+/CTT<xWg+kn,kEZ

DO

所以单调增区间为［-W+k兀W+

Jo

【解析】(1)由f(%)=a-b=cosx^cosx+V3sinx)+sinx(y/3cosx-sinx)=cos2x4-

2\/3sinxcosx-sin2x=2sin(2x+：),可求T

(2)令-5+2k7r42x+g<m+2/c7r,kEZ,解不等式可求单调增区间

本题以向量的数量积的坐标表示为载体，主要考查了三角公式的二倍角公式及辅助角公

式在三角函数化简中的应用，及正弦函数的性质的应用.

30.【答案】解：(1)该健身哑铃的体积V=2TTX62X2+71x22x8=176兀(CM3)；

(2)该健身哑铃的表面积S=47rx62+2x27rx6x2+27rx2x8-2x7rx22=

2167r(cm?).

【解析】(1)直接利用圆柱体积公式求解；

(2)由两个大圆柱的表面积加上小圆柱的侧面积减去小圆柱的上下底面积得答案.

本题考查圆柱体积与表面积的求法，考查运算求解能力，是基础题.

31.【答案】解：(1)在△AMN中，由余弦定理得，

MN