高三一轮数学第五章 数列

第五章数列

第一节数列的概念与简单表示法

内容要求考题举例考向规律

1.了解数列的概念和几种2020,全国III卷求数列的通项公考情分析：以考查S”与原的关系为

简单的表示方法（列表、图式）主，简单的递推关系也是考查的热

象、通项公式）2018•全国I卷IMG与S”的关系）点。在高考中以选择、填空的形式

2.了解数列是自变量为2016・浙江高考・THs,与&的关系）进行考查，难度为低档

正整数的一类函数2015•全国I卷-Ti7（递推、通项、求和）核心素养：逻辑推理

教材回扣基础自测

自主学习•知识积淀

\\1上础e因梳理为识占&•得幄4■

1.数列的有关概念

概念含义

数列

按照二定顺序排列的•列数

数列的项数列中的每一个数

数列的通项

数列的第n项a„

通项公式如果数列｛m｝的第，?项小与序号〃之间的关系能用公式仁国表示，

这个公式叫做数列的通项公式

前〃项和

数列｛4〃｝中，Sn=2H---叫做数列的前〃项和

・我提度・

数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性。

2.数列的表示方法

列表法列表格表示〃与小的对应关系

图象法把点（〃，画在平面直角坐标系中

通项

公把数列的通项用公式表示

公式

式

递推

法使用初始值S和。〃+1=./（斯）或41，42和m+I=_A。”，飙-1）等表不数列的方法

公式

3.4”与S”的关系

若数列｛m｝的前〃项和为S”,

则如|大S|,二,1,六2。

4.数列的分类

分类标准类型满足条件

有穷数列项数有限

项数

无穷数列项数无限

递增数列tZn1

项与项间的

递减数列a»\<a其中〃£N’

大小关系nn

常数列anw=an

、小题改演练—

一、常规题

I.数列0,1,0,-1,0,1,0,一1,…的一个通项公式小等于（）

（一岁+1mt

A.2B.cos爹

〃+1〃+2

C•CUJ>271D.cos27

解析令〃=1,2,3,…，逐一验证四个选项。故选D。

答案D

2.在数列｛a”｝中，41=1,m=1+,：）（〃22）,则。5等于（）

35

A.B.

23

2

D.

3

解析G=I+呼=2,ki+WV，e+q=3,…+嚷鼻

答案D

3.根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a,,=,

::::，：h，

"•”.J、.

16

解析由0=1=5X|—4,z=6=5X2—4,々3=11=5X3—4,…，归纳小=5〃-4。

答案5〃一4

二、易错题

〃一2

4.（忽视数列的函数特征）在数列一1,0,今…，中，0.08是它的第项。

=n-225

解析依题意得~^-=行，解得"=10或”=弓（舍）。

答案10

5.（忽视项数为整数的情况）数列｛a,｝中，a„=-n2+lbi（«eN*）,则此数列最大项的值是。

（।jYio1

解析。”=一〃+11〃=—"一方/+-^-,因为〃£N*,所以当〃=5或〃=6时，a“取得最大值30。

答案30

6.（忽视〃=1的特殊情况）已知数列｛小｝的前n项和S”=/+1,则an=0

解析当〃=1时，ai=Si=2,当〃22时，a„=5,-S,r-i=w2+1-[（n-1）2+\]=2n~\,0=2不满足上

|2,n=1,

式。故为=]ua

[2/?—1,“32,o

[2,77=1,

答案

l2n-1,心2,nEN*

考点例析对点微练

互动课堂•考向探究

考点一归纳数列的通项公式自主练习

।新利2345一卷，…的一个通项公式为““=（

L数列一丞8'F24'

.〃+1〃+1

A.(3月B.（一邛后

(一口.%+——1D.

1+12+13+14+15+1

解析数列转化为一…，所以该数

(1+1)2-1'(2+1)2-V(3+1产一I，(4+1)—I(5+厅-1'

列的一个通项公式为〃“=（-D"•阳^^彳。

答案D

2.（多选）数列1,2,1,2,…的通项公式可能为（）

3+(一])"-

A.a尸出二B.Cln-o

3+sin叫

3+cosnit

C.=

(ln22

‘^’=1,当〃为偶数时，斯=41=2,故A中通项公式正确；对

解析对于A,当〃为奇数时，an

于B,当〃为奇数时，斯=一2一=2,当〃为偶数时，③=一2一=1,故B中通项公式不正确；对于C,当〃

为奇数时，所=3，=1，当〃为偶数时，的=%'=2,故C中通项公式正确；对于D,当〃为奇数时，an

=^2~^=1,当〃为偶数时，m=殳尹=2,故D中通项公式正确。故选ACD。

答案ACD

3.已知数列｛跖｝的前5项为当，乎，当2当则｛斯｝的一个通项公式为斯=e

解析因为2,6,12,2030分别可分解为1X2,2X3,3X44X5,5X6,所以他“｝的第〃项的分子可表示为

因为353,5,3分别减4得一1,1,-1,1,-I,所以数列｛为｝的第〃项的分母可表示为（-1）〃+4。

5(〃+1)

故数列｛a”｝的一个通项公式为〃“=

(一1)〃+4°

前(〃+1)

答案

(一1)"+4

4.—一毛1，77s-…的•个通项公式是一

解析这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所

以它的一个通项公式是小=（-］）,

答案""=（T）"XnGN，

5.5,55,555,5555,…的一个通项公式是”

解析将原数列改写为^X9,1x99,1x999,…，易知数列9,99,999,…的一个通项为10"-1,故所

，1

求的数列的一个通项公式为^,1=1（10—1）0

答案^=1（10"-1）

图01^4诃

由数列前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略

1.常用方法：观察（观察规律）、比较（比较已知数列）、归纳、转化（转化为特殊数列）、联想（联想常见的

数列）等方法。同时也可以使用添项、还原、分割等方法，转化为一个常见数列，通过常见数列的通项公式

求得所给数列的通项公式。

2.具体策略：

（1）分式中分子、分母的特征。

（2）相邻项的变化特征，如递增时可考虑关于〃的一次递增或以2”，3”等形式递增。

（3）拆项后的特征。

（4）各项的符号特征和绝对值的特征。

（5）化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系。

（6）对于符号交替出现的情况，可用（一1）"或（一I）/'〃£N’来处理。

考点二由数列的a“与S〃的关系求通项公式

【例1】（1）已知数列｛m｝的前〃项和<=/+2〃+1（〃£1>0，则z=。

|4,〃=1,

解析当〃22时，m=5“一S1=2〃+l;当〃=1时，ai=Si=4W2X1+1。因此“〃=彳

（2〃I1,2。

14,Hl,

。案［2〃+1,

12

（2）已知数列｛为｝的前n项和S〃=Q4“+§,则｛”.）的通项公式an=“

解析当〃=1时，oi=Si=；ai+］,所以的=1。当“22时，〃”=£—Sr-11,所以廿'=一：，

所以数列⑷为首项3=1,公比4=一；的等比数列，故",,=|：一；卜。

答案卜分r

（3）已知数列｛〃”｝满足41+2。2+3〃3H---F〃a“=2",则an—。

解析当〃=1时，由已知，可得ai=2i=2。因为ai+2a2+343H---卜〃a"=2"①。故ai+2m+343+…

2«-i

+（〃一l）an7=2"r（〃22）②，由①一②得〃。”=2"—2"|=2"一、所以以=一不。显然当n=\时不满足上式。

所以an—

2,n=1,

答案、

---,〃22

n'

已知S”求小的方法

LVi，n=1，

已知S”求知的常用方法是利用a\cc转化为关于小的关系式，再求通项公式。主要分

n$—dn-1»2

三个步骤完成：

1.先利用〃1=S1，求得41。

2.用〃一1替换S”中的〃得到一个新的关系式，利用a〃=S“一S”i(〃22)便可求出当〃22,♦时的

通项公式。

3.对〃=1时的结果进行检验，看是否符合〃22,〃£N♦时小的表达式，如果符合则可以把数列的通项

公式合写；如果不符合，则应该分〃=1与〃22两段来写。

【变式训练】(1)(2021.贵阳适应性考试)设S”为数列｛小｝的前〃项和，若2S”=3小一3,则久等于()

A.27B.81

C.93D.243

解析根据2Sn=3a”-3,可得2S”+i=3a〃+i—3,两式相减得2%+1=3%+1—3为，即为+1=3③，当〃=1

时，2$=3卬-3,解得0=3,所以数列｛小｝是以3为首项，3为公比的等比数列，所以8=44=34=81。

故选Bo

答案B

(2)己知数列(小｝的前〃项和为S”且满足m=1,M2S”-1)=2S打?22,〃£N"),则如=。

解析因为当“22时，知(2S“-1)=2晶，*=Sn-Sf所以(工一S”T>(21-1)=2S机所以&一|一工=

2Sn-\Sn,即上一£[=2,故121是以上=1为首项，2为公差的等差数列，所以(=1+2(〃-1)=2〃-1,所以

1,〃=1,

S产壮？因为当心2时,4.=SLSI,所以近

(2〃_1)(2〃一3)，°

1,〃=1,

答案--Z一〃22

(2〃-1)(2/?—3)，j

考点三由数列的递推关系求通项公式

【例2】(1)已知数列(小｝中，。|=1,a“7=a”+2〃+l,则公=。

解析依题意得斯+1-。〃=2〃+1,。5=的+(42—4l)+(〃3—42)+(O|—。3)+(。5—44)=I+3+5+7+9=25。

答案25

(2)若0=1,。”+1=2"为，则通项公式。

,+243++<|)

解析由a„+i=2"a„,得-"=21(心2),所以a„=—…一生小=2"，2心…“2-1=2--"'

an-\an-\an-z0

n(n-1)〃(〃+1)

29

=2o又m=l适合上式，故a“=2。

n(w-1)

答案22

(3)若。i=l,即i=则数列｛〃”)的通项公式小=________C

Clny乙

解析因为用”+1=-22大0=1,所以aHO,所以」—=；+〈，即又41=1,则;=1,所

期十2an+i4”/a〃+ia”,ai

以是以1为首项，1为公差的等差数列。所以;=；+(〃-l)X：=g+]。所以z=—^77("WN*)。

[UMJLUnCl\LZ.L〃十I

答案系2

已知数列的递推关系求通项公式的典型方法

1.当出现小=w“y为常数)时，构造等比数列。

2.当出现小=为_1+/(〃)时，用累加法求解。

3.当出现a=A”)时，用累乘法求解。

Cln—l

【变式训练】(I)在数列｛〃"｝中，"1=100,a"_|=a〃+3"(/?£N)则通项公式小=。

解析由a”+i=4〃+3"(〃WN*),得办+La0=3"(〃eN")，分别令〃=1,2,3,4,…，〃一1(〃22),得到(〃一

1)个等式：02—。1=3,03—42=32,£14—03=33,…,。“一4"-1=3"-1。将这(〃一1)个等式累加得44=。1+3+3?

3(1—3'门)11Q71107

------F3n-,=1004---匚彳一=5・3”+二厂(〃》2)。显然。1=100适合上式，故通项公式〃£N*。

答案/3"+野，"CN，

(2)(2021・西安检测)在数列｛〃“｝中，m=2,且°”+|=41+26+3。3+…+〃。"，〃£N”,则通项公式an—

解析对于。"+1=4|+2〃2+3出+…令〃为〃一I,得到小=。|+2。2+3。3~1---F(〃-l)a”-i(〃22)。

两式相减后得到如+1—小=/必（〃22）,即％H1=（〃+即二一=〃+1（〃32）。于是7=3,7=4,二=

UnC12。3田

5,•••,将这（〃一2）个等式累乘起来，得竽竽竽….2~=345I）•小即?=，，心2。在

an-\。2aycuan-\。2z

|2,〃=1,

已知中令〃=1,得“2=0=2,所以如=〃！（〃22）,ai=2不适合此式，因此

；〃！，〃22,且〃£N*。

2,n=I,

答案|〃！，”22,且〃£N*

考点四数列的函数性质微专题

微考向1：数列的周期性

【例3】已知数列｛小｝满足an+\an=an—\tm=2,则U2O2i=。

a1=

解析解法一：由已知得，an+i=\所以诙+2=1一」一=1-~\"=---1，厮+3=1----

a”am+i,1a,-Ia+2

n1---n

an

=1---看-=4”，所以数列｛〃”｝的周期为3。由41=2,得G=；,G=—1,所以。2021=03x673+2=42=4。

an—\

解法二：由加1°”=〃”一1,得4241=0-1,又41=2,所以。2=；,由。342=42—1,得“3=-1,由44G

=〃3—1,得01=2,所以数列｛〃〃）的周期为3。于是，42021=03x673+2=42=；。

答案5

解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值。

微考向2：数列的单调性

【例4】已知等差数列｛为｝的前〃项和为S”，且斗一=-2,Sm=0,S,”r=3（机22）,则〃S”的最小值

为（）

A.-3B.—5

C.-6D.-9

解析由&1=一2,Sm=0,Sm“=3(/〃22),可知〃“尸2,0M+1=3,设等差数列｛知｝的公差为d,则d

_....〃(〃-5)n2(n-5);r(x-5)

=1,因为S”,=0,所以ai=-而=-2,则a”=〃-3,Sn=-〜-,nSn=---3---。设_/(%)=-------,x>0,

310

则/")=尹一5工，Q0,所以的极小值点为x=不，因为〃£N'，且｛3)=—9,人4)=一8,所以(〃S”)min

=-9<.

答案D

陶昂;

应用数列单调性的关键是判断单调性，判断数列单调性的常用方法有两个

I.利用数列对应的函数的单调性判断。

2.对数列的前后项作差（或作商），利用比较法判断。

【题组对点练】

1.（微考向I）数列｛«”｝满足小=-3,‘其前"项积为T”，则乃以=（）

。1+1二十:I

I

A.ZB.1

3

C.2D.-3

,a«+i-1RI«c1+。”_八“，I1

解析由。"=---工7，得。“》+|+。“=念+1-1,即斯+1=■；----O又41=-3,所以。2=一不，。3=弓，04

an+\-r1I—an23

=2,〃5=—3,所以数列｛⑥｝是周期数列，周期为4,且。口2。或4=1,所以T202i=/x50s+i=Ti=ai=-3。故

选D。

答案D

2.（微考向2）已知数列｛小｝的通项公式为小=7—2加（〃6N*）,则“2<1”是“数列｛小｝为递增数列”的

（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

解析若数列｛4｝为递增数列，则a“+L4〃>0,得2〃+1>22,k“g”对任意的〃£N’都成立，于是衣|。

由Zvi可推得反过来，由2<|不能得到2<1,因此。<1"是''数列(如｝为递增数列”的充分不必要条

件。故选A。

答案A

3.(微考向2)已知数列｛劣｝的通项公式为小=写^若数列｛小｝为递减数列，则实数k的取值范围为

解析因为an+\—an=------而—=一强有—，由数列｛♦”｝为递减数列知，对任意〃£N*,an+\—

33fi~~k

—<°，所以4>3—3〃对任意〃£N'恒成立，所以A£(0,4-oo)o

答案(()，4-oo)

4.(加强练)(多选)已知函数段)=21nx+；,数列｛小)的前〃项和为£,且满足0=2,%+1=&,)(〃仁N)

则下列有关数列｛小｝的叙述正确的是()

A.ai<a\B.an>\

C.Sl(X)<100D.6t/r-£7n»1+l<2flw

解析G=2ln2+g=ln4+gvlne|+£=2,A正确；因为/(#=：-2=等'，所以当x>l时J(x)X),

所以/W单调递增，所以次用次1)=1,因为s=2>l,所以小+1=大小)>1,所以%>1,B正确；因为小>1,

所以Si()o>lOO,C错误：令人(x)=lnx+；—1(心>1),h'(x)=^—A=^2^->0,所以/?(x)在(1,+8)单调递增，

所以“(工)>/?(1)=0,所以lna“+J■—1>0,则21n〃“+取一2>0,所以121n”〃+月+/>2,即a”+i+J~>2,所以

4小卜1+1>2。”，所以D错误。故选AB。

答案AB

『彳教师备用题

【例1】(配合例1使用)若数列｛小｝是正项数列，且砺+诲+…+的=〃2+〃，则：+竽+…+等=

解析当n=1时，M^i=12+1=2,ai=4。当时，如i+g^+…+或3=(〃-1)2+(〃-1),gi+

^U2~\卜4％-1+乐尸两式相减可得｛£=2〃，即。“=4〃\乂0=4也符合该式，所以小=4〃，则

~=4/?,则,----F-=4X1+4X24---F4〃=2〃2+2〃(〃£N,)。

答案2〃2+2〃(〃£N)

【例2】(配合例3使用)若4i=1,对任意的〃£N",都有“>0,且〃届-]一(2〃-1)。“十1〃”一2足=0。设

“⑶表示整数X的个位数字，则“(42021)=o

解析由已知得(叩”+]+〃〃)(4〃+[—2。”)=0,因为。〃>0,所以小+i—2。“=0,则竽^=2,因为。|=1,所

Un

以数列｛%｝是以1为首项，2为公比的等比数列，所以m=lX2门=2"r(〃£N")。所以刃=2,公=4,小=8,

的=16,俏=32,m=64,爆=128,…，所以当〃22时，M(〃“)依次构成以4为周期的数列。所以M(so2i)

=M(45)=6,故答案为6。

答案6

【例3](配合例4使用)已知数列｛〃“｝满足〃为一2—(〃+2)斯=，/+2〃)，其中卬=1,G=2,若an<an

”对任意的〃£N’恒成立，则实数2的取值范围是。

解析由孙+2—(〃+2)z="/+2〃)=筋(〃+2)得幺三;一包=九所以数列制的奇数项与偶数项均是以z

为公差的等差数列，因为ai=1,s=2,所以当〃为奇数时，牛=1+产>一1|=J~：+1,所以a"』’」'

z+z?o当〃为偶数时，£=l+/g—lj=¥"2z+l,所以斯="工2或+〃,当〃为奇数时，由得〃2一

2++1,即7(〃-1)>—2,若〃=1,则％£R,若则久>一〃士]，所以丸20。当

〃2—2〃(n+])2—(fi+1)7

〃为偶数时，由a”<a”+[,得/+,?<5^.+〃+1,即3加>-2,所以拉一盆，即220。综上，

实数2的取值范围为[0,+8）。

答案[0,+~）

深度探究素养达成

课外阅读•增分培优

三类递推公式求通项公式

一、形如4〃+1=一冬。,，P，y为常数，，>0,p,q,%W0）的数列的通项公式的探求

pcin\q

【例1】在数列（仇｝中，01=-1,瓦+1=§；3,则通项公式乩=。

【思路分析】将递推公式两边同时取倒数，转化为厮=4al+8（〃22,A,B为常数）的形式，即可

轻松解题。

【解析】对递推公式历H1=/：的两边同时取倒数，得",即，一=2.；+3,因此J一F

5Dn~rl。"+1OnDn+l%On+\

3=2•优+3）,*+3=2,喘+3）是以2为首项,2为公比的等比数列,于是2+3=22门,可得"=亍七，

【答案】仅二,

【名师微点】一般地，形如小，】=启力八P，q是常数，/>0,p,q,小KO）结构的递推公式往往可

以通过等式两边同时取倒数变形构造出线性递推公式bn=Ab„,+^>2,A,B是常数），进而求出原数列

的通项。

【变式训练I】已知数列｛小｝满足0=1,4田=V7〃£N*）。若瓦=log2p+l|,则数列｛6｝的通项

ClnIZW"/

公式是瓦=（）

A.B.n—1

C.nD.2/7

解析由念+1=—%,得'—=1+?，所以一1一+|=必+],又2+1=2#0,故?+”是首项为2,

Cln।2Cln+1OnCtn-i-1*Ta”/41I。"J

公比为2的等比数列，所以;+1=2X2"-1=2",儿=log』；+1：=log22"=〃。

Cln\C*n）

答案c

二、形如z+i=pa“+4（〃W0,且声勺）的数列的通项公式的探求

【例2】记数列｛“〃｝的前〃项和为S”已知5”=3%+2〃-3,则数列｛〃”｝的通项公式为an=。

【思路分析】首先根据数列通项z与前n项和S”之间的关系得到数列｛〃”｝的递推关系式，然后利用

待定系数法将其转化为一个等比数列，进而可得出数列伍“｝的通项公式。

【解析】当〃=1时，$=0=3幼-1,解得3=5当“22时，S0=3a“+2〃-3,S〃_i=3a,一+2〃-5,

33

3--

两式相减可得，m=3小一3。”-1+2,故小=呼“-1—1,22

2）,故1:二2=5。所以数列｛小一2｝是以一，为首项，|为公比的等比数列，所以小-2=—*1|卜，故m=2

-即

【答案】2-（1｝

【名师微点】根据形如如+i=pa“+qS#O,且〃W1）的递推关系式求通项公式时，一般先构造公比为

p的等比数列｛。；+灯，即将原递推关系式化为&7+1=双小+幻的形式，再求出数列｛〃”+%｝的通项公式，最

后求｛为｝的通项公式。

【变式训练2】已知数列｛小｝满足0=1,fln+|=3fln+4,则斯=（）

A.3nB.3门

C.3”一2D.3n~1-2

解析由。〃+1=3。,+4,得。”+|+2=3（如+2）,且ai+2=3W0,所以a”+2W0,所以包£[=3,因此

。”十z

数列｛为+2｝是以3为首项，3为公比的等比数列，故期+2=3X3"==3"，因此如=3"—2。故选C。

答案C

三、形如跖,+I=M”+/（〃）S为常数，且〃#0）的数列的通项公式的探求

n

【例3】在数列｛〃”｝中，«1=-1,an+i=2an+4X3求通项公式a”。

【解】解法一：原递推公式可化为

④+1+33"=2（%+九3广।）①。

比较系数得2=-4,①式即是

为+1一4X3“=2（即-4X3'门）。

则数列｛③-4X3”「｝是一个等比数列，其首项是0-4X3C=-5,公比是2。

所以。”一4X3"r=-5X2〃r。

即为=4X3"-i-5X2”Z

解法二：将为+]=2%+4X3门的两边同除以3""。

得瑞=|竽+*,令儿=竽。

24

则力”+i=?〃”+§,

24

设d+i+Z=W（b“+A）,比较系数得k=~~y

,4

Dn+\一彳A

则:不巧.

瓦一3

b'~3=~3=~3^0,

所以是以一|为首项，|为公比的等比数列。

所以瓦，-找一柒住卜，

则上尸泻x修卜。

所以小=3"X瓦=4X3"r-5X2Li。

【名师微点】（1）形如〃“-1=加“+£的递推公式可用构造法求通项，构造法的基本原理是在递推关系

的两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差或

等比数列。

（2）本题的递推公式是网讨=如“+£的推广an+i=aan+pxf,两边同时除以/*乜后得到资=%，+§

转化为儿+i=：乩+§的形式，通过构造公比是;的等比数列｛5+£｝求解。

【变式训练3】已知正项数列｛〃”｝中，£71=2,a,”I=2a”+3X5",则数列｛小｝的通项。”=（）

A.一3X2“rB.3X2M-'

C.5n+3X2n1D.5n-3X2n1

解析解法一：在递推公式an+i=2a”+3X5"的两边同时除以5"+'得制'=|乂号+|①，令儿=工

则①式变为伍+i=|b〃+|,即包+L1=|（d一1）,所以数列｛5一1｝是等比数列，其首项为力L1=?-1=一

|,公比为|,所以5一1=（一|卜仔卜，即九=1一3修卜，所以第=1修卜=1一，故如=5"

一3X2"）。故选D。

解法二：设为+]+欠X5"|=2（小+4X5"）,则如+i=2.一32X5”,与题中递推公式比较得攵=一1,即④

+1—5"+|=2（〃"一5"）,所以数列他”一5"｝是首项为。力一5=—3,公比为2的等比数列，则小一5"=-3X2”「，

故4“=5"-3X2LL故选D。

答案D

第二节等差数列及其前n项和

内容要求考题举例考向规律

1.理解等差数列的概念2020•全国II卷1,（等差数列的考情分析：等差数列的基本运算、基本性质，等

2.掌握等差数列的通项公式与实际应用）差数列的证明是考查的热点。本节内容在高考中

前〃项和公式2020•北京高考•£（等差数列的既可以以选择、填空的形式进行考查，也可以以

3.能在具体的问题情境中识别最大、最小项）解答题的形式进行考查。解答题往往与数列的计

数列的等差关系，并能用有关2019•全国1卷•4（等差数列基算、证明、等比数列、数列求和、不等式等问题

知识解决相应的问题本量计算）综合考查，难度中低档

4.了解等差数列与一次函数、2019・全国III卷(等差数列基核心素养：逻辑推理、数学运算

二次函数的关系本量计算)

教材回扣基础自测

自主学习•知识积淀

\\础细梳理.•⑼楂*.

1.等差数列的有关概念

(1)等差数列的定义

一般地，如果•个数列从第2项起，每•项与它的前一项的差等于同•个常数,那么这个数列就叫做等

差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母4表示，定义表达式为小一，“产小常数心2)

或a“+|—q〃=d(常数

(2)等差中项

若三个数”，A,b成等差数列，则A叫做。与力的等差中项，且有A=皇。

2.等差数列的有关公式

(1)等差数列的通项公式

如果等差数列｛为｝的首项为0，公差为"，那么它的通项公式是-=0+(〃-1)4

(2)等差数列的前〃项和公式

设等差数列｛小｝的公差为d,其前〃项和，=皿土地产之或$产迤।产支

3.等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an=am+(n-fh]d(n,

(2)若｛m｝为等差数列，且&+/=〃?+〃(&,/,w,〃£N*),则-+a/=a,”+a”。

(3)若他〃｝是等差数列，公差为d,则｛3｝也是等差数列，公差为2d。

(4)若｛%｝,｛瓦｝是等差数列，则｛/%”+被“｝也是等差数列。

(5)若｛〃〃｝是等差数列，公差为d,则G，Ok+m»伙+2m，…(匕〃?£N*)是公差为遮_的等差数列。

(6)数列S”，S2m—Sm,S3,”一Slrn,…也是等差数列。

(7)S2n-l=(2〃-1)服。

(8)若项数n为偶数,则S悯―S令=竽;

若项数〃为奇数，则S*-S『a中(中间项)。

•微提醒・

1.用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个关键词：“从第2项起”“每一

项与它的前一项的差”“同一个常数

2.等差数列的前〃项和公式有两种表达形式，要根据题目给出的条件判断使用哪一种表达形式。

3.等差数列与函数的关系

(1)通项公式；当公差d#O时，等差数列的通项公式a”=s+(〃-l)d=d〃+m—d是关于〃的一次函数，

且一次项系数为公差乩若公差d>0,则为递增数列，若公差d<0,则为递减数列。

(2)前〃项和公式：当公差dWO时，骸是关于〃的二次函数且常数项为

Oo

\\小二改演练小一幅—匕

一、常规题

1.在等差数列｛。〃｝中，42=2,43=4,则00=o

解析等差数列｛小｝的公差d=〃3-G=4-2=2,所以so=G+8d=2+8X2=18。

答案18

2.已知等差数列｛m｝的前“项和为S”，若由=-5,59=27,则公差d=o

解析由等差数列的前〃项和公式S0=MI+四宗"乩得27=9X(-5)+2笋/,解得d=2。

答案2

3.在等差数列｛〃”｝中，若。3+0|+。5+。6+。7=450,则。2+。8=O

解析由等差数列的性质得。3+。4+45+。6+〃7=5〃5=450,所以45=90,所以。2+。8=〃5=180。

答案180

4.已知等差数列｛m｝的前〃项和为S〃，SG=4,$8=24,则$2=o

解析由等差数列的性质可知S6,S12—S6,$8一$2成等差数列，所以2乂($2-4)=4+24—$2,解得

Si2=12。

答案12

二、易错题

5.（忽视等差数列为0的项）在等差数列｛%｝中,M=M，公差*0,则使数列｛小｝的前〃项和，取得

最大值的正整数〃的值是。

解析由网=|窈|,得⑶+2切=依+84解得0=-54或d=0（舍去），则ai+5d=46=O,又d＜0,所

以的＞0,故使前〃项和S”取得最大值的正整数〃的值是5