2024-2025学年湖南省岳阳市岳阳县一中高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省岳阳市岳阳县一中高二（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若全集U={3,4,5,6,7,8}，M={4,5}，N={3,6}，则集合{7,8}等于(

)A.M∪N B.M∩N C.(∁UM)∪(2.已知OA=(1,2,3)，OB=(2,λ,3)，OC=(4,2,k)，若OA⊥平面ABC，则λ+k的值是A.43 B.32 C.743.样本(x1,x2,⋯,xn)的平均数为x−，样本(y1,yA.(0,12) B.{12}

C.(14.已知直线l1：(3+m)x+4y=5−3m与l2：2x+(5+m)y=8，则“l1//l2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知函数f(x)满足f(x)=2x−2,x>02−2−x,x<0，若A.(−1,0)∪(0,1) B.(−1,0)∪(1,+∞)

C.(−∞,−1)∪(1,+∞) D.(−∞,−1)∪(0,1)6.已知点P(1,2).向量m=(−3,1)，过点P作以向量m为方向向量的直线为l，则点A(3,1)到直线lA.3−1 B.1−32 7.已知函数f(x)=|lgx|，若存在0<a<b且f(a)=f(b)，使得m≥a+3b成立，则实数m的取值范围是(

)A.(23,+∞) B.[23,+∞)8.点P为棱长是2的正方体ABCD−A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点M为BA.5π5 B.25π二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知四面体ABCD，下列选项中，能推出AC⊥BD的有(

)A.AB，AC，AD两两垂直

B.AB=AC=AD

C.AB⊥CD，AD⊥BC

D.顶点A到底面△BCD的三条边的距离相等10.已知A(2,2,0)，B(0,2,2)，C(2,0,2)，则以下坐标表示的点在平面ABC内的是(

)A.(2,1,1) B.(43,43,11.下列函数中，满足f(ln(log3A.f(x)=lg(1+4x2+2x)+1 B.12.在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a,a)，P是函数y=1x(x>0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为22，则满足条件的实数A.10 B.−10 C.1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)=4x，则f(−5214.已知a>0，b>0，直线(a−1)x+2y+3=0与直线x+by−1=0垂直，则1a+115.如图，设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC16.已知四面体顶点A(2,3,1)，B(4,1,−2)，C(6,3,7)和D(−5,−4,8)，则从顶点D所引的四面体的高ℎ=______．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)

设全体空间向量组成的集合为V，a=(a1,a2,a3)为V中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”f(x)：f(x)=−x+2(x⋅a)a(x∈V)．

(1)设u=(1,0,0)，v=(0,0,1)18.(本小题12分)

在△ABC中，AC=2，AB=3，A=60°．

(1)求△ABC的外接圆的面积；

(2)在下述条件中任选一个，求AD的长．

①AD是△ABC的角平分线；

②AD是△ABC的中线．19.(本小题12分)

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的方程是|x|a+|y|b=1(a,b>0)．

(1)当a=1，b=2时，求曲线C围成的区域的面积；

(2)若直线l：x+y=1与曲线C交于x轴上方的两点M，N，且OM⊥ON，求点(20.(本小题12分)

已知函数f(x)满足：f(x+2)=2f(x)+a(a∈R)，若f(1)=2，且当x∈(2,4]时，f(x)=2x2−6x+11．

(1)求a的值；

(2)当x∈(0,2]时，求f(x)的解析式；并判断f(x)在(0,4]上的单调性(不需要证明)；

(3)设g(x)=log2(2+43x21.(本小题12分)

如图，已知四棱锥P−ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC//AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB=2．

(1)在线段PD上是否存在一点E，使得CE//平面PAB；

(2)求四棱锥P−ABCD的体积．

参考答案1.D

2.D

3.A

4.C

5.B

6.B

7.C

8.C

9.AC

10.AB

11.ACD

12.AD

13.−2

14.3+215.[416.11

17.解：(1)依题意得：f(u)=−u+2(u⋅a)a=v，

设a=(x,y,z)，

代入运算得：2x2−1=02xy=02xz=1，

解得a=(22,0,22)或a=(−22,0,−22)．

证明：(2)设x=(a,b,c)，y18.解：(1)由余弦定理得cosA=AB2+AC2−BC22AB⋅AC，

即12=9+4−BC22×3×2，

所以BC=7，

设△ABC外接圆半径为R，由正弦定理得，7sin60°=2R，

所以R=213，

所以△ABC外接圆的面积为πR2=7π3．

(2)若选择①，19.解：(1)当a=1，b=2时，曲线C的方程是|x|+|y|2=1，

曲线C围成的区域为菱形，其面积为12×2×4=4；

(2)当x>0，y>0时，有xa+yb=1，

联立直线x+y=1可得M(a−aba−b,ab−ba−b)，

当x<0，y>0时，有x−a+yb=1，

联立直线x+y=1可得N(a−aba+b,b+aba+b)，

由OM⊥ON可得kOMkON=−1，

即有ab−ba−ab⋅b+aba−ab=−1，

化为1a2=1b2−2b+2，20.解：(1)∵f(1)=2，f(x+2)=2f(x)+a(a∈R)，

∴令x=1，f(3)=2f(1)+a=4+a，

∵当x∈(2,4]时，f(x)=2x2−6x+11，

∴f(3)=2×32−6×3+11=11，

∴4+a=11，解得a=7；

(2)设x∈(0,2]，则x+2∈(2,4]，

又当x∈(2,4]时，f(x)=2x2−6x+11，

∴f(x+2)=2(x+2)2−6(x+2)+11=2x2+2x+7，

又f(x+2)=2f(x)+7，

∴当x∈(0,2]时，f(x)=x2+x，

判断：f(x)在(0,4]上为增函数；

(3)由(2)知，f(x)在(0,4]上为增函数，且x∈(2,4]，f(4)=19，f(x)>7，

且当x>4时，设x∈(2n,2n+2](n≥2，n∈Z)，

则[x−(2n−2)]∈(2,4]，f(x)=2f(x−2)+7=22f(x−4)+7×(2+1)=23f(x−6)+7×(22+2+1)=...=2n−1f[x−(2n−2)]+7⋅(2n−2+2n−3+...+2+1)>7⋅2n−1+7⋅(2n−2+2n−3+...+2+1)≥21，又f(1)=2；

函数g(x)=log2(2+43x−1)，由2+43x−1>0⇒x>0，即定义域为(0,+∞)，

且∀x1，x2∈(0,+∞)，x1<21.解：(1)存在，当E为PD中点时，有CE/​/平面PAB.证明如下：

取AP的中点G，连接BG，EG，

由GE/​/AD，BC/​/AD，GE=12AD,BC=12AD，所以GE/​/BC，GE=BC，

所以四边形GBCE为平行四边形，所以GB/​/CE，

又CE⊄平面PAB，GB⊂平面PAB，

所以CE/​/平面PAB；

(2)取AD的中点F，连接BF，

因为AD=2DC，BC/​/AD，所以FD/​/BC，FD=BC，

所以四边形FBCD是平行四边形，

又CD⊥AD，所以四边形FBCD是矩形，

以F为原点，FB,FD，垂直