数学本讲测评：第二讲直线与圆的位置关系2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精本讲知识结构本讲测试1如图2—1，AB是⊙O的直径，C为半圆上一点,CD⊥AB于D，若BC=3，AC=4,则AD∶CD∶BD等于（)图2-1A.4∶6∶3B。6∶4∶3C.4∶4∶3D。16∶12∶9思路解析:由AB是⊙O的直径，可得△ABC是直角三角形，由勾股定理知AB=5，又CD⊥AB，根据射影定理就有AC2=AD·AB，于是AD=。同理，BD=，CD=，据此即得三条线段的比值。答案:D2如图2-2,在半圆O中，AB为直径,CD⊥AB，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，则图中相似三角形一共有()图2-2A.3对B。4对C.5对D。6对思路解析:由题设，△ABC是直角三角形,CD⊥AB，可知△ACD∽△ABC∽△CBD，这就是3对。又AF平分∠CAB，所以有△CAF∽△DAE，△CAE∽△BAF，这样一共有5对三角形相似。答案:C3如图2—3，在⊙O中,AB为直径,AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于C，且AD=DC,则sin∠ACO等于（）A.B。C。D。图2-3思路解析：连结BD、DO,过O作OE⊥AC于E,由AB为直径,有BD⊥AC,由△ABC是直角三角形，AD=CD,得△ABC是等腰直角三角形，然后设AE=x,用x表示出CE，进一步表示出OC,利用三角函数定义即可得到所求的值.答案:A4如图2—4是赛跑跑道的一部分，它由两条直道和中间半圆形弯道组成，若内外两条跑道的终点在同一直线上，则外跑道的起点必须前移才能使两跑道有相同的长度。如果跑道每道宽为1.22米，则外跑道的起点应前移___________米（π取3.14,结果精确到0。01米）。图2-4思路解析:计算出内外跑道的长度差即可.答案：3.835如图2-5，已知△ABC中，∠ABC的平分线交AC于F，交△ABC的外接圆于E,ED切圆于E，交BC的延长线于D。求证：AE2=AF·DE。思路分析:题目中的四条线段不能组成两个相似的三角形，所以利用平行将AE换成EC,根据△AFE∽△ECD，得到比例式，再换回线段即可.证明：连结EC.∵四边形ABCE内接于⊙O,∴∠7=∠3＋∠5。又∵∠5=∠2，∠2=∠1，∴∠7=∠3＋∠1。∵∠4=∠3＋∠1，∴∠7=∠4。∵DE切⊙O于E，EC为弦，∴∠6=∠5.∴△AFE∽△ECD。∴,即AE·EC=DE·AF。∵∠1=∠2,∴=。∴AE=EC。∴AE2=DE·AF。6如图2-6所示，已知AB为⊙O的直径，C、D是直径AB同侧圆周上两点，且=,过D作DE⊥AC于点E，求证：DE是⊙O的切线.图2-6思路分析：要证DE是⊙O的切线，根据切线的判定定理，连结OD，只需证明OD⊥DE即可,即“作半径,证垂直”,这是证明圆的切线的另一方法。证明：连结OD、AD.∵=,∴∠1=∠2.∵OA=OD，∴∠2=∠3.∴∠1=∠3。∴AE∥OD.∵AE⊥DE，∴OD⊥DE。∴DE是⊙O的切线.7如图2-7，已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D点作⊙O的切线交AC于E。图2—7求证：（1)DE⊥AC；（2）BD2=CE·CA.思路分析：本例是考查切线的性质与直径所对的圆周角是直角的综合题，掌握常见的辅助线作法是解题关键,即连结圆心和切点的半径,根据切线的性质，则有半径垂直于这条切线.证明:(1)连结OD、AD.∵DE是⊙O的切线，D为切点,∴OD⊥DE。∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.∴AB=AC，BD=DC.∴OD∥AC，DE⊥AC.（2)∵AD⊥BC,DE⊥AC,∴△CDE∽△CAD.∴。∴CD2=CE·CA。∴BD=DC。∴BD2=CE·CA.8如图2—8，已知⊙O和⊙O′都经过A、B两点,AC是⊙O′的切线，交⊙O于点C，AD是⊙O的切线，交⊙O′于点D。求证：AB2=BC·BD。图2-8思路分析：欲证AB2=BC·BD，即要证,于是只要证△ABD∽△ABC即可，而题目中分别给出两圆切线，可产生弦切角定理，从而命题得证。证明:∵AC是⊙O′的切线,轻轻告诉你AD是⊙O的切线，∴∠BAD=∠C，∠BAC=∠D。∴△ABD∽△CBA.∴，即AB2=BC·BD.9如图2-9,某条河上有一座圆弧形拱桥ACB,桥下水面宽度AB为7.2米,桥的最高点处点C高出水面2.4米。现有一艘宽3米,船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问这艘货船能否顺利通过这座拱桥？请说明理由。图2-