2024-2025学年湖南省长沙市岳麓实验中学高三（上）入学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省长沙市岳麓实验中学高三（上）入学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=2i−1−ii+1，则|z|=(

)A.5 B.2 C.3 D.2.计算(lg2)2+lg20×lg5的结果是A.1 B.2 C.lg2 D.lg53.已知集合S={x∈R||x+1|≥2}，T={−2,−1,0,1,2}，则S∩T的子集的个数(

)A.2 B.4 C.5 D.74.若函数f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1)A.4 B.2 C.22 5.李明开发的小程序经过t天后，用户人数A(t)=500ekt，其中k为常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为(    )(取A.31 B.32 C.33 D.346.椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆C于AA.57 B.22 C.7.已知函数f(x)=x2+4a,x>01+loga|x−1|,x≤0在R上单调递增，且关于x的方程A.[14,34]∪{1316}8.定义：设二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的附近有定义，当y固定在y0而x在x0处有改变量Δx时，相应的二元函数z=f(x,y)有改变量Δz=f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)，如果Δx→0limΔzΔx存在，那么称此极限为二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，记作A.(−∞,2] B.[−2,2] C.(0,2] D.[2,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=−1+ii，则下列选项正确的是(

)A.z的虚部为1B.|z|=2C.z2为纯虚数D.z10.设A，B为两个互斥的事件，且P(A)>0，P(B)>0，则下列各式正确的是(

)A.P(AB)=0B.P(AB)=P(A)P(B)C.P(A−∪B)=P(11.已知函数f(x)=x2−sinx在x=xA.x0<12 B.x0>三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.从原点向圆x2+y13.已知函数f(x)=(12)x(x≥4)14.在平面直角坐标系xOy中，对于点A(a,b)，若函数y=f(x)满足：∀x∈[a−1,a+1]，都有y∈[b−1,b+1]，则称这个函数是点A的“界函数”.已知点B(m,n)在函数y=−12x2的图象上，若函数y=−12x四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

计算：

(1)1−312−12+16.(本小题15分)

如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ADC=60°，将面DAC沿AC折叠成二面角P−AC−B，其二面角的平面角大小为θ∈(0,π)．

(1)求证：PB⊥AC；

(2)若θ=90°，且PM=2MB，求直线AM与平面17.(本小题15分)

石墨烯有超级好的保温功能，从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有A材料、B材料可供选择，研究人员对附着在A材料、B材料上的石墨各做了5次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图．A材料B材料合计实验成功实验失败合计单位：次

(1)由等高堆积条形图提供的信息，填写2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为试验的结果与材料有关；

(2)以实验结果成功的频率为概率，用A材料制作保温产品2件，仅从石墨烯结晶成功与否的角度考虑，求产品制作成功件数的分布列与期望．

附：χ2=n(ad−bc)α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82818.(本小题15分)

已知函数f(x)=ex+aex+1+b是定义在R上的奇函数．

(1)求a，b的值；

(2)对任意的t∈R，都有19.(本小题17分)

已知圆C：x2+y2−6x−8y−5t=0，直线l：x+3y+15=0．

(1)若直线l被圆C截得的弦长为210，求实数t的值；

(2)当t=1时，由直线l上的动点P引圆C的两条切线，若切点分别为A，参考答案1.C

2.A

3.B

4.A

5.D

6.A

7.A

8.B

9.AC

10.ACD

11.ABC

12.π313.11614.[−115.解：(1)1−312−12+3−(338)1316.(1)证明：取AC中点O，连接PO，BO，

由已知有

AC⊥PO，AC⊥BC，又BO∩PO=O

所以

AC⊥面POB，又PB⊂面POB，

又所以AC⊥PB，

(2)解：由题意，O为原点，OA，OB，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则P(0,0,3)，B(0,3,0)，A(1,0,0)，C(−1,0,0)，

则PB=(0,3,−3)，CB=(1,3,0)

设平面PBC的法向量为m=(x,y,z)，

则3y−3z=0x+3y=0，令x=17.解：(1)由题意可得如下表格：A材料B材料合计实验成功437实验失败123合计5510提出假设H0：实验的结果与材料无关，

χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=10×(4×2−3×1)25×5×7×3=1021≈0.476<2.706，

所以没有90%的把握认为，试验的结果与材料有关；

(2)设产品制作成功件数为X，由题意可知X服从二项分布，

成功的概率为45，即X∼B(2,45)，

则XX012P1816∴E(X)=0×12518.解：(1)由题意知：f(x)是定义在R上的奇函数，

∴f(0)=1+ae+b=0，∴a=−1，

即f(−x)=e−x−1e−x+1+b=1−exexe+bexex=1−exe+bex=−ex−1ex+1+b，

∴b=e，

∴a=−1，b=e；

(2)由(1)知f(x)=ex−1ex+1+e=19.解：(1)圆C的方程可化为(x−3)2+(y−4)2=25+5t，

故圆心为C(3,4)，半径r=25+5t，

则圆心C到直线l的距离为d=|3+12+15|12+32=310，

又弦长为210，则r=(310)2+(10)2=10，即25+5t=10，解得t=15．

(2)当t=1时，圆C的方