数学本章测评：第二章圆锥曲线与方程VIP

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精本章检测（时间120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.以=—1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为（)A.=1 B。=1C。=1 D。=1解析：∵双曲线=1的焦点坐标为（0，±4），顶点坐标为(0，±2),∴所求椭圆的顶点坐标为(0，±4），焦点坐标为（0，±2）.∴在椭圆中，a=4，c=2。∴b2=4.∴椭圆的方程为=1.答案：D2。(a＞b＞0)的渐近线（)A.重合B.不重合，但关于x轴对称C.不重合,但关于y轴对称D.不重合,但关于直线y=x对称解析：双曲线=1的渐近线方程为y=±x，双曲线=1的渐近线方程为y=±x。y=x与y=x关于直线y=x对称,y=—x与y=—x关于直线y=x对称.因此，选项D正确.答案：D3。(2005全国高考Ⅱ,文5)抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为(）A.2 B.3 C。4 解析：由x2=4y知其准线方程为y=-1,据抛物线定义,点A与焦点的距离等于A与准线的距离，显然A的纵坐标为4.其距离为5。答案：D4。已知定点A、B，且｜AB｜=4，动点P满足｜PA|-｜PB｜=3，则|PA｜的最小值是（）A. B。 C. D。5解析：由题作出示意图。分析得出P在P′点处｜PA｜最小.∴｜AO｜=2，｜OP′｜=。∴｜PA｜min=2+=。答案:C5。过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1,y1）、B（x2，y2）两点，若x1+x2=4，那么｜AB｜等于(）A。10 B.8 C.6 解析：｜AB｜=x1++x2+=x1+x2+p=4+2=6.答案：C6.设F1和F2是双曲线—y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是（）A。1 B。 C。2 D.解析：由得∴|PF1｜·｜PF2|=2.∴△F1PF2的面积为｜PF1｜·｜PF2｜=1.答案：A7.动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过点（）A。(4，0） B.(2，0)C.(0，2) D。(0,-2）解析:直线x+2=0为抛物线y2=8x的准线，由于动圆恒与直线x+2=0相切，所以圆心到直线的距离等于圆心到所过定点的距离，由抛物线的定义可知，定点为抛物线的焦点（2，0)。答案：B8。(2006安徽高考,5）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆=1的右焦点重合，则p的值为…(）A.-2 B。2 C。-4 解析：椭圆=1的右焦点为(2，0），所以抛物线y2=2px的焦点为（2，0)，则p=4,故选D.答案：D9.过双曲线M：x2—=1的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB｜=|BC｜，则双曲线M的离心率是()A. B。 C. D.解析：据题意如图设lAB：y=x+1,lOC：y=bx,lOB:y=-bx,由得C点纵坐标是,B点纵坐标是。∵｜AB|=｜BC｜,∴∴b=3，∴e=答案：A10.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处.已知灯口的直径为60cm，灯深40A.y2=x B.y2=xC。x2=—y D.x2=-y解析：如果设抛物线的方程为y2=2px(p〉0)，则抛物线过点（40,30），302=2p×40，2p=,所以所求抛物线方程应为y2=x.所给选项中没有y2=x，但方程x2=-y中的“2p"值为452，所以C选项符合题意.答案：C11。已知两点M(—2，0)、N(2,0），点P为坐标平面内的动点,满足||·|｜+·=0,则动点P(x,y)的轨迹方程为()A。y2=8x B。y2=—8xC.y2=4x D.y2=—4x解:依题意可知P（x，y）,则|｜·|｜+·=0+(4，0）·(x—2，y)=0+4(x—2)=0化简整理得，y2=-8x。答案：B12。抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y—8=0的距离的最小值是()A。 B。 C。 D。3解：设（x0，y0）为抛物线y=—x2上任意一点，∴y0=-x,∴d=∴dmm=答案:A二、填空题(本小题共4小题,每小题4分，共16分)13。双曲线的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率为___________。解析：∵双曲线的渐近线方程为y=±x，∴答案：14。抛物线y=x2的焦点坐标是___________。解析：y=x2=4y,p=2,其焦点为（0,1）。答案：（0，1）15.点P（6,1）平分双曲线x2-4y2=1的一条弦，则这条弦所在直线方程是___________。解析：设弦的两端点分别为A(x1,y1）、B(x2,y2），则x21-4y21=1,x22—4y22=1。两式相减得(x1+x2）（x1-x2）-4（y1+y2）（y1—y2)=0。∵AB的中点为P（6，1），∴x1+x2=12，y1+y2=2。∴∴直线AB的方程为y—1=(x-6),即3x—2y-16=0。答案：3x—2y—16=016。有一系列中心在原点,以坐标轴为对称轴的椭圆,它们的离心率en=（）n（n∈N）,且都以x=1为准线，则所有椭圆的长轴之和为___________.解析：因故所有椭圆的长轴之和为答案：2三、解答题(本大题共6小题,满分74分)17。（12分)已知直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于点A、B，求证:OA⊥OB.证法一:将y=x—2代入y2=2x中，得（x-2）2=2x，化简得x2-6x+4=0,∴x=3±.∴x=3+时,y=1+5,x=3-时,y=1-.∴kOA·kOB==-1。∴OA⊥OB.证法二：同证法一得方程x2-6x+4=0.∴x1+x2=6,x1·x2=4。∴y1·y2=（x1-2)（x2-2)=x1·x2—2(x1+x2）+4=—4.∴kOA·kOB==—1.∴OA⊥OB.18.(12分)A、B为椭圆x2+y2=a2（a＞0)上的两点，F2为右焦点，若｜AF2｜+｜BF2｜=a,且AB的中点P的横坐标为，求该椭圆的方程。解析：设A、B、P三点到椭圆右准线的距离分别为d1、d2、d,则由椭圆的第二定义及几何性质得|AF2｜=ed1=d1，｜BF2｜=d2,d=又2d=d1+d2，a—3=2d,a=|AF2｜+｜BF2｜=（d1+d2），∴d1+d2=2a，∴a—3=2a∴a=6,∴该椭圆的方程为x2+y2=36.19.(12分)已知双曲线x2-=1与点P（1，2），过P点作直线l与双曲线交于A、B两点,若P为AB的中点。(1)求直线AB的方程；（2）若Q(1，1)，证明不存在以Q为中点的弦.(1）解：设过点P（1，2）的直线AB的方程为y-2=k（x—1），代入双曲线方程并整理得（2-k2)x2+(2k2—4k）x—（k2-4k+6）=0.设A(x1，y1),B(x2，y2）,则有x1+x2=—.由已知=1,∴=2,解得k=1.又k=1时，Δ=(2k2-4k)2+4(2-k2）（k2-4k+6）=16〉0，从而直线AB的方程为x-y+1=0。（2）证明：设过Q（1，1）点的直线方程为y-1=k(x-1),代入双曲线方程并整理,得（2—k2）x2—2k(1-k)x—(k2—2k+3)=0.由题知=2，解得k=2。而当k=2时,Δ=［—2k(1—k)］2+4（2-k2)（k2-2k+3）=—8〈0.∴这样的直线不存在.20。（12分)（2006江苏扬州中学模拟，23)已知倾斜角为45°的直线l过点A（1,—2)和点B，其中B在第一象限，且|AB|=3。（1)求点B的坐标；(2）若直线l与双曲线C：-y2—1（a＞0）相交于不同的两点E、F，且线段EF的中点坐标为（4，1），求实数a的值。解：(1）直线AB方程为y=x-3，设点B（x,y），由及x〉0，y>0,得x=4，y=1,∴点B的坐标为(4，1).（2）由得（—1）x2+6x-10=0。设E（x1，y1）,F（x2，y2)，则x1+x2==8，得a=2,此时,Δ〉0，∴a=2.21。(12分)(2006上海高考,20)过抛物线y2=4x的准线与对称轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的倾斜角多大时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点?解：抛物线y2=4x的准线与对称轴的交点为（-1,0）。设直线MN的方程为y=k（x+1)。由得k2x2+2(k2-2）x+k2=0.∵直线与抛物线交于M、N两点,∴Δ=4(k2—2)2—4k4〉0，即k2〈|k2-2|,k2<1，—1〈k〈1.设M（x1,y1),N（x2,y2),抛物线焦点为F(1，0)。∵以线段MN为直径的圆经过抛物线焦点,∴MF⊥NF。∴，即y1y2+x1x2—(x1+x2）+1=0.∴k=±,即直线的倾斜角为arctan或π-arctan时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点。22.（14分)已知两定点F1（-，0)、F2（，0），满足条件｜|—|｜=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx—1与曲线E交于A、B两点。（1)求k的取值范围；(2)如果｜AB｜=6，且曲线E上存在点C，使+=m,求m的值和△ABC的面积S.解：（1）由双曲线的定义可知,曲线E是以F1（-，0）、F2（，0）为焦点的双曲线的左支，且c=2,a=1，易知b=1.故曲线E的方程为x2-y2=1(x〈0）。设A(x1，y1)，B(x2,y2）,由题意建立方程组消去y，得（1-k2）x2+2kx—2=0.又已知直线与双曲线左支交于A、B两点，有解得-<k<-1。（2)因为｜AB|=｜x1-x2｜2依题意得=63。整理后得28k4—55k2+25=0。∴k2=或k2=。但-〈k<-1,∴k=—。故直线AB的方程为x+y+1=0.设C（xc,yc），由已知+=m，得(x1,y1）+(x2,y2)=(mxC，myC），∴（xC，yC）=(m≠0).又x1+x2==-4，y1+y2=k(x1+x2）—2=-2==8，∴点C(）.将点C的坐标代入曲线E的方程，得=1。得m=±4.但当m=—4时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意.∴m=4，C点坐标为（-，2）.C到AB的距离为∴△ABC的面积S=导学乐园曲突徒薪有位客人到某人家里做客,看见主人家的灶上烟囱是直的，旁边又有很多木材。客人告诉主人说，烟囱要改曲，木材须移去，否则将来可能会有火灾，主人听了没有作任何表示.不久主人家里果然失火,四周的邻居赶紧跑来救火，最后火被扑灭了，于是主人烹羊宰牛，宴请四邻,以酬谢他们救火的功劳，但并没有请当初建议他将