数学版章末测试：第三章数系的扩充与复数的引入B

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第三章测评B（高考体验卷)（时间:90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．(2014天津高考）i是虚数单位，复数eq\f(7＋i,3＋4i)＝(）A．1－iB．－1＋IC.eq\f（17，25）＋eq\f（31，25)iD．－eq\f(17，7）＋eq\f(25，7)i2．(2014课标全国Ⅰ高考）设z＝eq\f（1，1＋i)＋i，则｜z｜＝（)A.eq\f(1,2）B。eq\f（\r（2)，2)C.eq\f(\r(3),2）D．23．(2014陕西高考)已知复数z＝2－i，则z·eq\x\to（z)的值为（)A．5B.eq\r(5)C．3D.eq\r（3）4．(2014安徽高考）设i是虚数单位，复数i3＋eq\f（2i,1＋i)＝(）A．－iB．iC．－1D．15．（2014广东高考）已知复数z满足(3＋4i）z＝25,则z＝()A．－3＋4iB．－3－4iC．3＋4iD．3－4i6．(2014江西高考）若复数z满足z（1＋i)＝2i（i为虚数单位),则|z｜＝()A．1B．2C。eq\r（2)D。eq\r（3)7．(2014北京大兴期末）已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1对应的向量表示正确的是（)8．（2014湖北稳派信息六)复数z满足z（1＋i2013)＝i2014（i是虚数单位），则复数z在复平面内位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限9．（2014“皖西七校”联合考试）复数z＝eq\f(\r（2）i2014,1－\r（2）i)（i是虚数单位）在复平面内的对应点位于（)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．(2014广东高考）对任意复数ω1，ω2,定义ω1ω2＝ω1eq\x\to(ω）2,其中eq\x\to(ω)2是ω2的共轭复数．对任意复数z1,z2,z3，有如下四个命题：①(z1＋z2)z3＝(z1z3）＋（z2z3)；②z1(z2＋z3）＝（z1z2)＋（z1z3);③（z1z2)z3＝z1（z2z3）；④z1z2＝z2z1.则真命题的个数是（)A．1B．2C．3D．4二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上)11．(2014湖南高考）复数eq\f（3＋i,i2)（i为虚数单位）的实部等于__________．12．（2014北京高考）若（x＋i)i＝－1＋2i(x∈R），则x＝__________。13．(2014吉林长春四调）如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则｜z1＋z2|＝________。14．（2013安徽马鞍山5月)已知i为虚数单位，z1＝a＋i，z2＝2－i，且｜z1|＝｜z2|，则实数a的值为__________．15．(2013安徽联盟一模)已知i是虚数单位，若z1＝a＋eq\f(\r(3)，2）i，z2＝a－eq\f（\r（3)，2）i，若eq\f(z1，z2)为纯虚数,则实数a＝__________。三、解答题(本大题共4小题,共40分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（8分）(2014皖北协作区联考）已知集合A＝{1，2z2,zi},B＝｛2,4},i为虚数单位，若A∩B＝{2｝,求纯虚数z的值．17．（10分)（2014河北唐山期中)已知z＝（sinθ－1)＋i(sinθ－cosθ）（θ∈R）．试求当z为纯虚数时对应θ的值．18．(10分)（2014上海闵行二模）复数z＝a＋bi（a，b∈R,且b≠0），若z2－4bz是实数,试探索有序实数对(a,b）需满足什么关系．19．(12分)(2014湖北黄冈高二段考）已知复数z1＝m＋(4－m2)i（m∈R)和z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(λ∈R），若z1＝z2，求证：－eq\f（9,16）≤λ≤7。参考答案1.解析:eq\f(7＋i,3＋4i）＝eq\f(（7＋i）（3－4i）,(3＋4i）(3－4i））＝eq\f（25－25i,25)＝1－i，故选A。答案:A2.解析：因为z＝eq\f（1,1＋i)＋i＝eq\f(1－i，(1＋i）（1－i)）＋i＝eq\f（1－i,2)＋i＝eq\f（1,2)＋eq\f(1,2)i，所以|z｜＝eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1(\f（1,2）＋\f（1，2）i））＝eq\r（\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,2)））2＋\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，2）)）2）＝eq\f(\r(2)，2),故选B。答案:B3.解析：z·eq\x\to（z)＝(2－i）·(2＋i)＝22－i2＝4－(－1)＝5,故选A.答案：A4.解析：原式＝－i＋eq\f(2i（1－i)，2）＝1。答案:D5.解析:由已知得z＝eq\f(25，3＋4i)＝eq\f(25（3－4i），（3＋4i)（3－4i)）＝eq\f(25（3－4i),25）＝3－4i，故选D。答案：D6。解析：∵z(1＋i)＝2i，∴|z|·|1＋i｜＝|2i|.∴|z|·eq\r（2)＝2。∴|z|＝eq\r(2).答案:C7。解析:由题图可知z＝－2＋i,所以z＋1＝－1＋i，则复数z＋1对应的向量的坐标为(－1，1）．故A正确．答案：A8。解析：∵i2013＝i4×503＋1＝i，i2014＝i2＝－1,∴z＝eq\f(－1,1＋i）＝eq\f(－1×（1－i),（1＋i）（1－i)）＝－eq\f（1,2)＋eq\f（1,2）i，则它在复平面内对应的点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（1,2),\f（1，2）))，位于第二象限．答案：B9.解析：∵i2014＝(i2)1007＝(－1）1007＝－1，∴z＝eq\f(\r(2)i2014，1－\r（2）i)＝－eq\f（\r(2），1－\r(2)i)＝－eq\f(\r（2)（1＋\r（2)i），(1－\r（2)i）(1＋\r（2)i））＝－eq\f(\r（2）＋2i，3)，∴z在复平面内的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（\r(2)，3)，－\f(2，3))),故选C。答案：C10。解析：由定义知（z1＋z2）z3＝（z1＋z2）·eq\x\to（z)3＝z1eq\x\to(z3)＋z2eq\x\to（z）3＝（z1z3）＋(z2z3）,故①正确；对于②，z1（z2＋z3）＝z1·eq\x\to（z2＋z3）＝z1(eq\x\to（z）2＋eq\x\to（z）3）＝z1eq\x\to(z）2＋z1eq\x\to（z）3＝z1z2＋z1z3，故②正确；对于③，左边＝(z1·eq\x\to(z)2）z3＝z1eq\x\to（z）2eq\x\to(z)3，右边＝z1(z2eq\x\to（z)3）＝z1z2eq\x\to(z)3＝z1eq\x\to(z)2z3,左边≠右边，故③错误；对于④,取z1＝1＋i，z2＝2＋i，左边＝z1eq\x\to(z)2＝（1＋i)(2－i)＝3＋i；右边＝z2eq\x\to(z）1＝（2＋i）（1－i)＝3－i，左边≠右边，故④错误，故选B。答案:B11.解析:由题意可得eq\f(3＋i，i2)＝eq\f（3＋i，－1）＝－3－i，故复数的实部为－3.答案：－312。解析：由已知得xi＋i2＝－1＋2i,即xi＝2i,解得x＝2.答案：213。解析：由题图可知,z1＝－2－i，z2＝i,则z1＋z2＝－2，∴｜z1＋z2|＝2.答案：214。解析:∵a为实数，∴|z1｜＝eq\r（a2＋1),｜z2｜＝eq\r（4＋1）＝eq\r（5），∵｜z1｜＝｜z2|，∴eq\r(a2＋1)＝eq\r(5)。∴a2＝4。∴a＝±2。答案：±215。解析：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋\f（\r（3）,2）i，a－\f(\r(3）,2）i)＝eq\f（a2－\f（3,4)＋\r（3)ai，a2＋\f(3,4)）＝eq\f（a2－\f（3，4），a2＋\f（3,4）)＋eq\f（\r(3)a,a2＋\f(3，4））i为纯虚数，则eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a2－\f(3,4)＝0，，a≠0，))∴a＝±eq\f(\r(3),2)。答案：±eq\f（\r（3),2）16.解:∵z为纯虚数,∴2z2为负实数．∵A∩B＝{2}，∴zi＝2，∴z＝－2i。17。解：由z为纯虚数可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（sinθ－cosθ≠0，，sinθ－1＝0，））即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(sinθ≠cosθ，,sinθ＝1，))解得θ＝2kπ＋eq\f（π，2)，k∈Z。18。解：z2－4bz＝(a＋bi)2－4b(a＋bi）＝a2－b2－4ab＋(2ab－4b2)i是实数,则2ab－4b2＝0，由于b≠0，故a＝2b。19.证明：由复数z1＝z2，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\