高中数学知识集

集合

集合内容是高考中必考的内容，命题以考察概念和运算为主和集合的表示方法，一般

是容易题居多。

常考考点与核心内容

(1)集合的概念与运算：要求掌握集合与集合，集合与元素之间的关系，熟练掌握集合

的交并补的运算，注意图形结合思想的应用，借助维恩图和数轴等工具来解决集合的运算

问题。同时注意集合元素的确定性、互异性、无序性。

(2)以集合为载体融合其他内容考查，尤其是集合与解不等式和方程的综合出题。

(3)借助集合相关概念给出新定义

基础篇

10课标(1)已知集合Z=Hk|W2,xeA}},5={r|Vx<4,xez},则4nB=

A.(0,2)B.[0,2]C.{0,2}D.{0,1,2)

考点：解不等式，集合的基本运算

解析：A={x|-2<x<2},5={x|0<x<16,xez},注意B中的定义域xNO,

.-.^05={0,1,2)

答案：D

10北京1.集合尸={xeZ|0<x<3},A/={re/?|x2<9},则=

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{x|0<x<3}D.{x|0<x<3}

考点：解不等式，集合的基本运算

解析：尸={0,1,2},M=[—3,3],因此PAM={0,1,2}

答案：B

10湖南

1.已知集合河={1,2,3},N={2,3,4},贝M)

A.M=NB.NcMC."PIN={2,3}D.M\JN={1,4}

考点：集合的交集与子集的运算

解析：MCN={l,2,3}n{2,3,4}={2,3}

答案：C

10江西

2.若集合4=卜忖尺},8==7?},则2口8=()

A.{x|-l<x<l}B.{x\x>0}

C.{x|o<x<1}D.0

考点：集合的性质与交集以及绝对值不等式运算.

解析：常见的解法为计算出集合A、B；^={x|-l<x<l},6={4”0}（注意在求

解集合B时，元素为y）解得/n8={x|04xWl}.

答案：C

（1。安徽2）若集合Z+照丹,贝3=

24J

A.（-8,o]u---,+0°

I2J

「万、

c.（―<>o,o]U—,+°0

.2>

考点：解对数函数不等式，集合运算

1/y(五

解析：log,x>—=>0<x<,所以&/=(-8,o]U/-,+°0

答案：A

提高篇

10湖北2.设集合/=4"/+卷=1,,8={（"1=3'},则ZC8的子集的个

数是

A.4B.3C.2D.1

考点：集合的性质与交集以及椭圆与指数函数的图像

解析：集合A是椭圆的点集，集合B是指数曲线的点集合，画出椭圆匕+己=1和指

416

数函数丁=3、图象，可知其有两个不同交点，记为小、4，则ZCB的子集应为0,{4},

{A2},{4,4}共四种，故选A.

答案：A

10四川（16）设S为复数集C的非空子集.若对任意x,yeS,都有x+y,x-y,

xyeS,则称5为封闭集.下列命题：

①集合S=1+同为整数,7•为虚数单位}为封闭集；

②若S为封闭集，则一定有OeS；

③封闭集一定是无限集；

④若S为封闭集，则满足S=的任意集合T也是封闭集.其中真命题是

（写出所有真命题的序号）

考点：复数运算集合的性质

解析：设x=a+=c+di,经过验证可知①正确.

当S为封闭集时，因为x-yes,取X=y,得06S,②正确

对于集合5={0},显然满足素有条件，但S是有限集，③错误

取5={0},7={0,1},满足SqTqC,但由于0—1=—1£7,故7不是封闭集，

④错误或取S=l,7={2},SnT=l，.但l+i=T，故7不是封闭集，④错误

答案：①②

注意：这种题目是集合的新概念，同学们在做这类题目的时候要注意审题，例如这道题

目中，没有要求x不等于y,要讨论这种情况。

10北京20.已知集合S“={x|x=（$广2,…,演）,七e{0,l},i=1,2,22）.对于

A=（al,a2,--,an）,8=（"也,…也）J

定义Z与6的差为：A—B—（k一4|,|。2-4，…，1%—b”|）；

A与B之间的距离为d（48）=-用.

i=l

（I）证明：\/A,B,CGS„,有/一BWS",且d（N—C,8—C）=d（48）；

（II）证明：\/A,B,CeSn,d（A,B）,d（A,C）,d（8,C）三个数中至少有一个是

偶数；

（HD设PqS“，尸中有加（加22）个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为2（P）.

证明：d（P）<mn

2（加-1）

考点：结合集合相关概念给出新定义，考查能力

规律方法：这道题目的难点主要出现在读题上，这里简要分析一下.

题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于S“的，其实S“中的元素就是一个〃

维的坐标，其中每个坐标值都是。或者1,也可以这样理解，就是一个〃位数字的数组，每

个数字都只能是0和1,第二个定义叫距离，距离定义在两者之间，如果直观理解就是看两

个数组有多少位不同，因为只有0和1才能产生一个单位的距离，因此这个大题最核心的就

是处理数组上的每一位数，然后将处理的结果综合起来，就能看到整体的性质了.

由于每个坐标值不是0就是1,

,,-0,x=1

我们记x=<

Lx=0

这时，我们发现，若S中元素力和8的第i位数分别是x和1,那么的第"立数

就是X.

并且有，若S中元素/和8的第7•位数分别是工和亍，那么A-B的第i位数就是

k一",一讣

第一问，因为每个数位上都是0或者1,取差的绝对值仍然是0或者1,符合豆的要求.然

后是减去C的数位，不管减去的是0还是1,每一个a和每一个b都是同时减去的，因此不

影响他们原先的差.

这个大题最核心的是处理数组上的每一位数，所以我们研究第，.位数.只要我们得到

|《Y-小-司=%—用就可以得到d（A-C,B-C）=d（A,8）.由于c,仅可能取。或1我

们就可以分类讨论.当c,=0时，结论显然；当弓=1时

M-党一打一c』=,卜时=以一修.就正得了结论.当然，如果同学们发现这样一个规

律，题目会变得简单：对于S中元素A,设它的第i位数是q那么0<q<1从而

第二问，依旧从第i位数下手.题目要证d（48），d（4C），d（8,C）三个数中至少有

一个是偶数，那么我们可以考虑反证法，若d（4,B）,d（A,C）,d（3,C）全是奇数则

d（45）+"（4C）+"（5,C）是奇数.这时,我们就可以研究d（45）+d（4C）+d（8,C）.

对S中元素4B,C,设它们的第i位数分别是q,4,q.则d（48）+d（4C）+d（8,C）

就是所有,一盟+内-司+0-0的和.由于|生一用+4-司+旧一句中q,",q对称,

我们不妨设.那么q,弓,q的取值有四种可能，它们分别取1,1,1或1,1,0或1,0,

0或0,0,0.对这四种情况分别进行讨论，我们发现|《一“+归一q|+®-H不是取0就

是取2,都是偶数.所以d（48）+d（4C）+d（8,C）只能是偶数，从而d（40，d（A,C）,

d（3,C）不可能全是奇数.

当然，也可以这样证：先比较4和8有几个不同（因为距离就是不同的有几个），然后

比较4和C有几个不同，这两者重复的（就是某一位上/和5不同，4和C不同，那么这一

位上8和C就相同）去掉两次（因为在前两次比较中各计算了一次），剩下的就是8和C的

不同数目，很容易得到这样的关系式：h=k+"2i,从而三者不可能同为奇数.

第三问，首先理解P中会出现个距离，所以平均距离就是距离总和再除以而

距离的总和仍然可以分解到每个数位上，第一位一共产生了多少个不同，第二位一共产生了

多少个不同，如此下去，直到第〃位.然后思考，第一位一共机个数，只有0和1会产生

一个单位距离，因此由机个第一位数产生的距离数就是这m个数中0的个数乘以1的个数

（PS：要产生一个单位距离，必须找到一个第一位是。的，在找到一个第一位是1的.这样

的找法一共有”这m个第一位数中0的个数乘以1的个数”这么多种，从而m个数组第一

位数产生的距离就是”这m个第一位数中0的个数乘以1的个数”）其它位与此类似.那么

我们设这m个数组中第i位一共有％个1,那么就有（m-/,）个0.因此在这个位置上所产生的

距离总和为“机一，）

这时我们再回到题目要证的不等式.要证2（P）<,

2\m-1）

只需证

d总（P）<

♦一2（掰-i）

即

%（p）<丝

试加-1）-2（加-1）

2

化简得

"总（尸）

对第i位来说，总距离为4（加-/,）,这里，，，为定值，

利用二次函数性质，我们知道

/>,m2

这样，一切就水到渠成了.

此外，这个问题需要注意一下数学语言的书写规范.

解析：⑴设4=（%,出,…%），8=（优也，…"），C=（cl,c2,---c„）eS„

因q,bte{0,1},故旧-也归{0,1},（/=1,2,•••,«）

即4一8=（何一仇|他一切,…Sn

又q,4,c,e（0,l）,

当q.=0时，有||q-q||=-可；

当q=i时,有M-令-qH。一勾）一（i一，1=\a1~bA

故d（3—C,8—C）=f|q—ft,|=d（A,B）

i=i

（2）法一：对S中元素4B,C,设它们的第i位数分别是q,4，c,.€{0,1}

|%-可+性-c/+|a,.—cj中，a”b”G对称，我们不妨设q2a2q.那么勾，bj,

G的取值有四种可能，它们分别取1,1,1或1,1,0或1,0,0或0,0,0.这时，

\at-d）.|+|d,.-c,.|+\at-c（.|的值分别为0或2或2或0.所以-bj+%-cJ+a-q|必是

偶数.

从而

d（46）+[（4c）+d（B,c）=£旧一&I+£|q-q|+£\at-qI

/=]i=li=l

=£初一同+l《—c,|+%—c/

i=l

所以d（48）+d（4C）+d（8,C）是偶数.

若4（48），d（A,C）,d（B,C）,都是奇数，则d（48）+d（4C）+d（8,C）也是奇数,

由上面结论，d（48）+d（4C）+d（8,C）是偶数推出矛盾，故d（48）+d（4C）+d（8,C）

至少有一个是偶数.

法二：设一=（%,生,…%），3=（可也,…々）,C=（c,,c2,•••£„）€Sn

记d（48）=%，d（A,C）=l,d（B©=h

记。=（0,0,…0）eS“，由第一问可知：

d（A,B）=d（A-A,B_A）=d（0,B_A）=k

d（4c）=d（z-ac-z）=4（o,c-/）=/

d（B,C）=d（B-4c-力=h

即.一⑷中1的个数为h忖一⑷中1的个数为斐（i=l,2,…,〃）

设r是使=归-q|=1成立的i的个数,则有h=k+l-2i,

由此可知,k,I,〃不可能全为奇数，即d(46)，d(4C),d(8,c)三个数中至少

有一个是偶数.

(3)显然P中会产生4个距离，也就是说2(p)=—］£d(A,B),其中表

CnA,BePA,BeP

示P中每两个元素距离的总和.

分别考察第i个分量，不妨设P中第/个分量一共出现了4个1,那么自然有个0,

因此在这个分量上所产生的距离总和为以机-4)Wg,(i=1,2,­••,»),

那么n个分量的总和1>(48)=£>(加F)W〃•1="己

A,BeP/=144

即Z（P）=（Zd（48）《空mn

JA,BeP&J2（/w-1）

09北京20.已知数集2=｛%,°2,…,<%<…<°"，〃？2)具有性质P；对

任意的i,j(l<z<j<n),q%与也两数中至少有一个属于/.

%

(I)分别判断数集｛1,3,4｝与｛1,2,3,6｝是否具有性质P,并说明理由；

(II)证明：q=1,且-*%：~+%.、=a；

a；'+a-'+---+a；'

(III)证明：当〃=5时，ax,a2,a4,牝成等比数列.

考点：集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方

法.本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.

解析：(I)由于3x4与二均不属于数集｛1,3,4｝,.♦.该数集不具有性质P.

由于1x2,1x3,1x6,2x3,|,；,|,［都属于数集｛1,2,3,6｝,

...该数集具有性质P.

PS：3不是4的因子，而1,2,3,6都是6的因子.从而我们可以猜想(证明也是很容

易的)对于正整数〃，由〃的所有正因子组成的正整数的集合具有性质P且这个集合是有限

集.对于有限集我们常常先讨论它的最大元与最小元，因为它们往往具有很好的性质.由正

整数〃的所有因子组成的正整数的集合是一个很好的例子，这些集合具有(ID(III)问中的性

质，并且我们很容易将这些证明推广到一般情形.

(II)4=｛。］,%4-。"｝具有性质产，.•.凡”"与冬■中至少有一个属于/,

由于1Wq<的<.••<4“，anan>an,故。“。”任人.

从而l="e〃，a,=1

%

1=a,<a2<­••<an,akan>an,故处a〃任/(左=2,3,…

由“具有性质P可知&G4(%=1,2,3,•••,«).

ak

•q+的+…/—〃

•,_]_]_]-a”•

Q]+。2+••,+〃〃

(HI)由(II)知，当〃=5时，有&=&，—=ci3fBPa5=a2a4=aj,

%的

・「1=%<&<…<%，***>。2〃4=a5，a3a4任力，

由/具有性质产可知幺£4.

由知知二。；，得&=且1＜色=。2，—=ci2t

。2。3。2。3a2

...生=4_=&.=&.=%,即q,a2,a3,a4,%是首项为匕公比为的成等比

a4a3a2a{

数列.

注意：解决这类题目时，读懂新概念，从第一问开始，通常第一问比较简单，同时为后

面儿问提供方法和结论。

函数

核心问题与考试热点：

①函数的对应法则、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和函数的图象.

②基本初等函数

③函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念

④运用函数的思想来观察，分析和解决问题，数形结合和分类讨论的基本数学思想.

高考命题以基本概念为考察对象，题型中选择题和填空题和大题都可能出现.

函数三要素

二、函数的性质

复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的

定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的

最值及应用问题的过程中得以深化.具体要求是：1.正确理解函数单调性和奇偶性的定义,

能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调

性和奇偶性.2.从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征

的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法.3.培养学生用运动变化的观

点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力.

［点评］在处理函数单调性的证明时;可以充分利用基本函数的性质直接处理，但学习了

导数后，函数的单调性就经常与函数的导数联系在一起，利用导数的性质来处理函数的单调

进性，显得更加简单、方便.

三、函数的图象

图象变换：

①y=f(x)「轴对称>y=/(-X)

②y=f(x)一轴对称〉v=-f(x)

@y=fM原点对称〉y=x)

④y=f(x)fy=/(|x|),把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称

⑤y=/(x)-y=〃x)I把y轴右边的图象保留，然后将y轴右边部分关于y轴对称.(注

意：它是一个偶函数)

⑥伸缩变换：y=/(x)-y=/(3x),y=/(x)-y=A/(3x+@)具体参照三角函数的图象变

换.

注：一个重要结论：若"a—x)=/(a+x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称；

函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来.

因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是“数形结合思想”的体现.复

习函数图像要注意以下方面.1.掌握描绘函数图象的两种基本方法一一描点法和图象变换

法.2.会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题.3.用数形

结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题.4.掌握知识之间的联

系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力.

四、二次函数

五、指数函数与对数函数

六、函数的零点

函数零点的概念：对于函数y=fM,我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=/(x)的零

点方程/(x)=0有实数根=函数y=/(x)的图象与x轴有交点=函数y=/(x)有零点

连续函数在某个区间上存在零点的判别方法：如果函数y=/(x)在区间［a,b］上的图象

是连续不断一条曲线，并且有/(a)•/(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.

即存在cd(a,b),使得/(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.

［点评］:如果函数“X)在区间［a,b］上连续，且〃aA/(b)<0,则函数/(x)在区间(a,

b)上有零点，函数的零点，二分法，函数的应用都是函数的重点内容.

基础篇

1

(10安徽2)若集合力=(xlog]xN—,,则6?/»=

22

(、乃)、

(-°0,o]U—,+°0--,+oo

A.B.I2

、2J7

V2]-V2、

C.(-8,0]U彳，+8

-2--+8D.

J7

考点：集合运算、对数函数和不等式的运算

规律方法：利用函数性质

解析：对于函数，首先考虑定义域，则x>0；该题目中的对数函数为递减，所以XW也，

2

最后篇4=(-8,o］U—本题注重基础，而且综合众多考点，是一道好题，具有代

I2人

表性。

答案：A

(10广东9)函数，f(x)=lg(x—1)的定义域是(1,+8).

考点：函数定义域和集合运算

解析：xT>0,所以x>l

答案：{x\x>1}

2A+l,x<l

(10陕西5)已知函数/(x)={若/(/(O))=4a,则实数。等于

x'+ax,x>1

14

A.一B.一C.2D.9

25

考点：分段函数

规律方法：果断直接代入

解析：直接代入，/(0)=2,/(/(0))=/(2)=4+2a=4a,所以a=2

答案：C

(10课标5)已知命题

Pi：函数y=2'-2r在R为增函数,

p2：函数y=2'+27在R为减函数，

则在命题名：Pip2,%：P|A772，%：（「P1）VP2和%:P|人（力2）中，真命

题是

A.<7,，%B.q2,%C.q],q4D.%，/

考点：初等函数的单调性、简易逻辑的基础知识

规律方法：初等函数的单调性的变化，真值表的使用

解析：2、是单调增函数，2一、为减函数，一2r为增函数，增函数和仍为增函数，所以

了=2、一二在R上是增函数，所以印真命题，「四假命题；

2

由于夕=2'+二？2,当且仅当x=0时函数有最小值，在R既不是增函

22

数也不是减函数，所以P2假命题，「小真命题，所以P|VP2为真命题，P1人P2为假命题,

（」Pl）vp2为假命题，PlV（—P2）为真命题

答案：C

（10广东3）若函数/（X）=3、+3r与g（x）=3’-37的定义域均为R,则

A.“X）与g（x）均为偶函数B.7（x）为奇函数，g（x）为偶函数

C./（x）与g（x）均为奇函数D./（x）为偶函数.g（x）为奇函数

考点：指数函数，函数奇偶性

解析:/（7）=3-，+3'=/由，g（_x）=3r-3'=-g（x）

答案：D

注意：判断函数奇偶性，首先检查函数定义域是否关于原点对称，若不对称则非奇非偶;

若对称，才将-X代入判断。

（10安徽4）若/（X）是R上周期为5的奇函数，且满足/（1）=1,/（2）=2,则

A.-1B.1C.-2D.2

考点：函数周期性、奇函数的性质

解析：/（3）-/（4）=/（-2）-/（-1）=-/（2）+/（1）=-2+1=-1

答案：A

注意：周期函数也是高考热点，通常题目中是抽象函数，利用函数的周期性，在选择和

填空题中可以引入具体函数作为辅助工具来用。

5.（2009北京文理）为了得到函数y=lgf的图像，只需把函数歹=lgx的图像上

所有的点()

A.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

B.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

C.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

D.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

考点：函数图像的平移变换。

规律方法：左加右减，上加下减

解析：y=lg-^=lg(x+3)-lgl0=lg(x+3)-l,根据图像变换规律左加右减，上

加下减确定答案。

答案：c

(10安徽6)设abc>0,二次函数/(x)=ax2+bx+c的图象可能是

考点：二次函数图像

规律方法：排除法

解析：当。<0时，b、c异号，(A)中c<0,故b>0,--2<0,故不符；(B)中，c>0,

2a

故b<0,---->0故不符;当a>0时.，b、c同号，(C)(D)两图中c<0,故6<0,----->0,

2a2a

选项(D)符合

答案：D

(10四川4)函数f(x)=x2+mx+l的图像关于直线x=l对称的充要条件是

A.m——2B.m—2C.m=~\D.m—\

考点：二次函数

My

解析：函数=x2+mx+l的对称轴为x=-...,于是----=lnm=-2

22

答案：A

(10四川3)2logs10+logs0.25=()

A.0B.1C.2D.4

考点：对数运算

解析：2log510+log50.25

=log5100+log50.25

=logs25

=2

答案：C

（10全国I8）设a=logs2,b=ln2,c=52,贝！］

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

考点：对数的运算和性质，不等式的判断

规律方法：换底公式、不等式中的倒数法则.

解析：不同底的对数比较大小，先将题目化成同底进行比较，如果不能化成同底，则

适当放缩进行比较。a=log32=---,b=ln2=---，而log23>log,e>1,所以a

log23log,e

<b,c=53=卡,而石>2=log24>log23,所以c<a,综上c<a<b.

答案：C

（10全国II2）函数丁=上当二D（X>1）的反函数是

A.^=e2x+1-l（x>0）B.y=e2x+'+l（x>0）

C.y=e2x+'-l（xeR）D.y=e2x+l+l（xeR）

考点：本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化.

解析：由原函数解得X=e21+1,即/T（x）=e2，T+l,又X>1,1>0;

/.ln（x-l）eA,-.y&R,原函数的值域是反函数的定义域.•.在反函数中xe火.

答案:D

（10上海8）对任意不等于1的正数a,函数f（x）=log“（x+3）的反函数的图像都经过点

P,则点P的坐标是（0,—2）

考点：函数图像和反函数的特点

规律方法：指数函数丫=优必过（0,1）,其反函数对数函数歹=log“x必过（1,0）

解析：/（x）=log〃a+3）的图像必过定点（一2,0）,所以其反函数的图像过定点（0,-

2）

答案：（0,-2）

（10福建4）函数/（x）=1,+2x—3,“'°的零点个数为（）

-2+lnx,x>0

A.0B.1C.2D.3

考点：分段函数零点的求法

规律方法：分类讨论

解析：当xWO时，令了2+2%-3=0解得x=-3；

当x>0时，令-2+lnx=0解得x=e2,所以已知函数有两个零点，选C.

答案：C

注意：分类讨论时要注意分类讨论的取值范围，例如在求解x?+2x-3=0时,

x=—3或者x=l,注意到x〈0,所以舍去x=l.

（10天津2）函数/（x）=2*+3x的零点所在的一个区间是

A.（-2,-1）B.（-1,0）C.（0,1）D.（1,2）

考点：函数根的存在性定理

解析：因为/（—1）=2一|一3<0,/（0）=2。-0=1>0,所以根在（-1,0）区间内；

另外函数f（x）是单调增函数，所以有且只有一个根。

答案：B

提高篇

（09山东）定义在R上的函数f（x）满足/（X）可二X）则“2009）的值为

f（x-1）-f（x-2）

（）

A.-1B.0C.1D.2

考点：函数的周期性和对数的运算

规律方法：归纳推理

解析：由已知得/（-l）=10g22=l,/（0）=0,/⑴=/（0）—=

/（2）=/（1）-/（0）=-1,/（3）=/⑵-/⑴=-1-㈠）=0,

/（4）=/（3）-/（2）=0-（-1）=1,/⑸=/（4）一/（3）=1,/（6）=/（5）-/（4）=0,

所以函数/（x）的值以6为周期重复性出现.，所以/（2009）=/（5）=L

答案：C.

注意：在出现f（2009）、f（2010）等时，一般有规律性、周期性，通过归纳猜想可以确

定下来，同学们可以多尝试计算一下，绝对不要轻易放弃。

（10安徽9）动点/（X/）在圆/+/=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12

秒旋转一周.已知时间/=0时，点/的坐标是（，,且

122J，则当0W/W12时，动点〃的纵

坐标N关于f（单位：秒）的函数的单调递增区间是

A.[0,1]B.[1,7]C.[7,12]D.[0,1]和[7,12]

考点：函数单调性和解析几何

规律方法：数图结合

解析：画出图形，设动点A与x轴正方向夹角为a,则

，=0时&=色，每秒钟旋转乙，在［0,1］上ae,在

3632_

［7,12］与号,动点〃的纵坐标y关于，都是单

调递增的.其实作为一个选择题，我们画出图形发现，函数是一个先增后减再增的趋势，所

以是两个区间，只有D符合。

答案：D

(10全国I10)已知函数F(x)=|lgx1,若OVaVb,且f(a)=/(b),则a+2b的取值范

围是

A.(2^2,4-00)B.上亚,+00)C.(3,+8)D.［3,+8)

考点：对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域

规律方法：均值不等式的使用何时取等号，通过函数的单调性来确定函数值域

解析：因为/(a)=/(b),所以|lgo|=Igbl,所以。=b(舍去)，或6=’,所以o+2b

a

22

=〃+—,又OVaVb,所以0<a<lVb,令/(〃)=〃+—,由“对勾”函数的性质知函数

aa

2

/(a)在(0,1)上为减函数，所以/(a)>/(1)=1+1=3,即a+2b的取值范围是(3,+

答案：D

注意：考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得。+

2b=。+2>2血，从而错选A,这也是命题者的用苦良心之处.

a

|lgx|,0<x<10

(10课标11)已知函数/(x)=11若a”,c互不相等，且/(。)=/⑹

—x+6,x>10

I2

=/(c),则abc的取值范围是

A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)

考点：对数函数的图形和性质，方程问题

规律方法：数形结合，利用图像处理函数与方程问题

-Igx0<x<l

解析：/(x)=<Igx1<x<10,b,c互不相等，不妨设a<b<c

1，

——x+6

I2

由/1)=/(/)),得-lga=lgb,即必=1,根据图形可得0<f(b)=f(c)<l,

/.abc=c,显然10<c<12

答案：C

(10陕西10)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人

数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之

间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为

x"|「x+3[「x+4]「x+5

A.v=—B.v=----C.v=----D.v=----

考点：通过函数考查学生分析解决问题的能力

规律方法：特殊值发

解析：特殊取值法，依照题意,我们假设一种特殊情况(这种情况很极端但相对好算)，

若这个班只有6个人,则根据“各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表”这一条件,

这时，班中应该没有代表入选.不过当这个班有7个人时，班中就会出现一个代表.这一结论

说明x=6时y=0,x=7时y=l排除A,C,D,所以选B.

答案：B

注意：高考中遇到函数题，会有很多是考能力，同学们要镇定，采用特殊值法往往能受

到奇效

log,x,x>0

(10天津8)若函数f(x)=«与'，若f(a)>/(一加，则实数。的取值范围是

log,(-l),A-<0

A.(-1,0)U(0,1)B.(-oo,-1)U(1,+oo)

C.(—1,0)U(1,+<x>)D.(—8,—1)U(0,1)

考点：分段函数求值、不等式求解、对数函数的单调性等基础知识

规律方法：分类讨论

解析：当Q>0时，由/(a)>/(一。)得：log?Q>log】a,即log?a>log2—,即Q>',

2aa

解得a>l；当〃<0时，由/(a)>/(一a)得:log)(-a)>log2(-a)log2(-d),即

2

log2|^--j>log2(-tz)

即—>ci9解得—l<a<0,故选C.

a

答案：C

(10江西9).给出下列三个命题：

①函数y='ln^~竺二与y=Intan'是同一函数；

21+cosx2

②若函数y=/(x)与y=g(x)的图像关于直线y=x对称，则函数歹=/(2x)与

y=；g(x)的图像也关于直线夕=x对称；

③若奇函数/(x)对定义域内任意x都有/(x)=/(2—x),则/(x)为周期函数.

其中真命题是

A.①②B.①③C.②③D.②

考点：函数相同的判断、函数周期性的判断

规律方法：需要三要素都相同函数才相同，有两个不同对称的函数必然是周期函数

解析：①中两个函数的定义域不同，故错误；排除A、B,验证③，

/(7)=范-(-x)]=/(2+x),又通过奇函数得/(—x)=—/(x),

/(x)=-/(2+X)=-(-/(2+2+x))=/(4+X),所以/(X)是周期为4的周期函数，所以③

对。

答案:C

10江西15.直线y=l与曲线一忖+a有四个交点，则a的取值范围是.

考点：函数的图像与性质、不等式的解法

规律方法：数形结合

解析：本题的关键是将图形画出来，如图，在同一直角坐标系内画出直线丁=1与曲线

a>1

y=/-国+。过(0,a),且其最小值为"二L观图可知，。的取值必须满足＜

4a-1

14-----<1

4

解得l<a<*.

4

答案:

(10北京14)如图放置的边长为1的正方形P48C沿X轴滚动，设顶点尸(xj)的轨迹

方程是y=/(x),则函数/(x)的最小正周期为；y=/(x)在其两个相邻零点间的图

象与x轴所围区域的面积为

说明：“正方形PZ8C沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动.沿x轴正

方向滚动指的是先以顶点/为中心顺时针旋转，当顶点3落在x轴上时，再以顶点8为中

心顺时针旋转，如此继续.类似地，正方形P46C沿x轴负方向滚动.

考点：函数周期性与面积计算

规律方法：从题目中提炼出来具体函数，并通过函数来进行计算。

解析：不难想象，从某一个顶点(比如4)落在x轴上的时候开始计算，到下一次A点落

在x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1,

因此该函数的周期为4.下面考察P点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，P点从x轴

1

上开始运动的时候，首先是围绕A点运动々个圆，该圆半径为1,然后以B点为中心，滚动

到C点落地，其间是以8P为半径，旋转90°,然后以C为圆心，再旋转90°,这时候以

答案：4,兀+1

(09四川)己知函数/(X)是定义在实数集火上的不恒为零的偶函数，且对任意实数X

、

都有V(X+1)=(1+x)/(x),则/的值是

7

考点：抽象函数的函数值，函数的奇偶性

规律方法：赋值法，代入具体值去求解抽象函数。

解析：令》=一，则一一/-=-/一一=-/-=>,/-=0；令x=0,则

22

/(0)=0

由必(》+1)=(1+》)/(》)得/(x+l)=­/(X),所以

53

0n//・小。)=。,

答案：A.

(10福建10)对于具有相同定义域。的函数/(X)和g(x),若存在函数h(x)=kx+b(k,

b为常数)，对任给的正数m,存在相应的x°GD,使得当xGD且x>x0时，总有

0<f(x)—h(x)<m

\J；?则称直线/：y=kx+b为曲线y=/(x)与y=g(x)的“分渐近线”.给

出定义域均为。={x|x>l}的四组函数如下:

@f(x)—x2,g(x)=4；②f(x)=10"+2,g(x)=&―-；

〜，、x2+1,、xInx+1忘”、2x2..,

③/(x)=-----,g(x)=------