高中数学常用公式及结论

1、元素与集合的关

系xej=五e"4,xeCyA=彳2力.00/=工H0

2、集合⑸-…a)的子集个数共有2，个;真子集有2"-1个;

非空子集有个；非空的真子集有2~2个.

3、二次函数的解析式的三种形式：

(1)一般式：/W=ax2+Z>x+c(a^0)；

(2)顶点式：/㈤”(。犷+上("0);(当已知抛物线的顶点

坐标也切时，设为此式)

⑶零点式：；/。)”(彳砧。-砧("0)；(当已知抛物线与轴的交

点坐标为15，°)，(%°》时，设为此式)

(4)切线式：〃x)“(LXo)2+&+d),(aH0)%(当已知抛物线与

直线y=kx+d相切且切点的横坐标为与时，

设为此式)

4、真值表：同真且真，同假或假

5、常见结论的否定形式;

原结论反设词原结论反设词

是不是至少有Tf也没有

都是不都是至多有T至少有两个

不大于至少有〃个至多有(«-1)个

ZZZZZZZZZZZZZZZZ不，J吁至多有犯个至少有(«+1)个

zzzzzzd吁

对所有X，成立存在某X,p或qF2且「q

对任何X，不成立存在某X,成立p且q

6、四种命题的相互关系(下图)：(原命题与逆否命题同真同假;

逆命题与否命题同真同假.)

充要条件：(1)。=4则P是q的充分条件.反之.q是P的必要

条件；

(2)且q¥>p,则P是q的充分不必要条件；

(3)p>p,且q-P,则P是q的必要不充分条件;

(4)p#>p,且9亚则P是q的既不充分又不必要条件。

7、国数单调性:

增函数：(1)文字描述是：y随x的增大而增大。

(2)数学符号表述是：设f(x)在X€D上有定义，

若对任意的和”2且演<码，都有［小)”⑹成立，

则就叫了⑺在上是增函数。D则就是f(x)的递增区间。

减函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而减小。

(2)、数学符号表述是：设f(X)在XD上有定义，

若对任意的再用且再，都有/(Z1)>/(%2)

成立，则就叫f(x)在上是减函数。D则就是f(x)

的递减区间。

单调性性质：(1)、增函数+增函数=增国数；(2)、减函数+减

齿数二减函数；

(3)、增函数-减函数=噌函数；(4)、减函数-增函

数二减函数；

注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左

边两个函数定义域的交集。

复合函数的单调性：

单调性

内层函数Jtt!

外层函数Jt1t

复合函数tt1I

等价关系：

⑴设再用斗耳计孙,那么

（为一々）"（&）-/（勺）］>o="再）二”砌>oo/（X）在［4同

再一X2上

是增函数;

*1-5）［/（々）-/（々）］<。Q<0o/（X）在［见4

xi~x2上7E/或凶

数.

⑵设函数在某个区间内可导，如果/⑶则/⑺为

增函数；如果广⑶<°'，则为减函数.

8、国数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必

须关于原点对称）

奇函数定义：在前提条件下，若有/0=-/（加次-彳）+a）=0,

则f（X）就是奇函数。

性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称;

（2）、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间;

（3）、定义在R上的奇函数，有f（0）=0.

偶函数定义:在前提条件下,若有f(―x)=f(x),则f(X)就是

偶函数。

性质：(1)、偶函数的图象关于y轴对称；

(2)、偶函数在x>0和xvO上具有相反的单调区间；

奇偶网数间的关系：

(1)、奇国数•偶函数二奇函数；(2)、奇/数•奇函数二偶函

数；

(3)、偶奇函数•偶函数=偶函数；(4)、奇函数土奇函数二奇函

数(也有例外得偶函数的)

(5)、偶函数土偶函数二偶函数；(6)、奇函数土偶函数二非奇

非偶函数

奇网数的图象关于原点对称，偶函I数的图象关于y轴对称;反过

来，如果一个函数的图象关于原点对称，

那么这个函数是奇函数；如果一个国数的图象关于y轴对称，那

么这个函数是偶函数.

9、函数的周期性：定义：对函数f(x),若存在:T*O,，使得f

(x+T)=f(x),则就叫f(x)是周期函数,

其中，T是f(x)的一个周期。

周期函数几种常见的表述形式：

⑴、f(x+T)=-f(x),此时周期为2T;

(2)、f(x+m)=f(x+n),此时周期为'“一"；

/(x+w)、=——1,

⑶、/⑶此时期为2mo

10、常见函数的图像:

11、对于/数=/㈤(]w氏)，1+。)=及-尚恒成立，则函数的对

a+b

x=--

称轴是2；

b-a

x=--

两个函数£=(x+a)与y=(b-x)的图象关于直线2对称.

12、分数指数常与根式的性质:

(l)a5*=y/a^(a>0,m,neAT,且〃>1).

_»11

(2)ax=——=(a>0,w,«e2\7*»且%>1).

(3)(&)』.

a,a>0

(4)当月为奇数时，=当力为偶数时，^=\a\=<

-ata<0

13、指数式与对数式的互化

式.log@M=8=/=N3>O,0H1,N>0).

指数性质：

（1）1、；（2）、（?=1（］。=0）；⑶、d

(4)、a'(以>0,厂,sw。)?(5)、an=^/a^

指数函数：

⑴、、=第3>1）在定义域内是单调递增函数；

（2）、在定义域内是单调递减函数。注：指

数函数图象都恒过点（0,1）

对数性质:

⑴、logM+logN=Xog^MN)；⑵、logikf-log2^=log—；

aaaflaN

(3)^logZ>*=wlogZ>；⑷、log=-log2>；⑸、loga1=0

flama

(6)、logaa=\;(7)、。蛇"二6

对数国数:

⑴、、=1。心武"1)在定义域内是单调递增函数；

(2)、卜二1叫忒。<。<1)在定义域内是单调递减函数；注:

对数函数图象都恒过点(1,0)

410g”=蔺(。>0,且。工1,浦>0)

logax>0<=>a,xe(0,1)或a,xe(1,-K»)

zjxlog^x<0=aw(0,1)则xw(l,4oo)或aW(1,~KO)则xeQ,l)

口八

14、对数的换底公

\ogaN=\咨史(«>0,且白=1,加>0,且N>0)

式：1。&-a

对数恒等式

推论logb=—logb(a>°，且axLN〉0).

15、对数的四则运算法则:若a>0,arl,M>0,N>0,贝U

M

⑴log(MT)=logM+log^;(2)log—=logM-1og/

aaaflNfl

,<

(3)logaM=n\og&M(neR)；(4)loga=—logaN(n,weR)

16、平均增长率的问题（负增长时）：如果原来产值的基础数

为N,平均增长率为p,则对于时间的总产值,

有y=N(l+p>.

17、等差数列：通项公式：⑴/=%+("l)d,其中“为

首项，d为公差，n为项数，4为末项。

(2)推广:

(3)%=$「<《")(注：该公式对任意数

列都适用)

(1)6/(%+%)

前n项和：(1)“一2；其中为首项，n为项数，为

末项。

0=/+至1

⑵2

(3)仆"%3(注：该公式对任意数

列都适用)

(4)#12(注：该公式对任意数

列都适用)

常用性质：(1)、若m+n=p+q,则有豆十%"J%；

注：若%是/知的等差中项,

则

有2%=%+。,0口、m、p成等差。

(2)、若⑷、闻:、为等差数列，则&±幻为

等差数列。

(3)、；“』为等差数列，为其前n项和，

则孔，』一又国也成等差数列。

(4)、%=见%=，，则。…二°

1+2+3+…+.=-(■+D

(5)2

等比数列：

通项公式：(1)°=空“=3°8€"),其中为首项，n为

项数，q为公比。

n-k

a„=a-a

⑵推广t：

(3)%=S「S&心2)(注：该公式对任意数

列都适用)

前n项和：⑴心2)(注：该公式对任意数列都

适用)

Z=/+劭+…+4

(2)(注：该公式对任意数列

都适用)

9=1）

S*='。1（1一，）

.1-0（"D

（3）

常用性质：（1）、若m+n=p+q,则有4%％；

注：若：，是，阳的等比中项,则

m、M成等比。

（2）、若、⑷、间为等比数列，则值也｝为

等比数列。

_abO+bY

18、分期付款（按揭贷款）：每次还款。+4-1元（贷款元，次还

清，每期利率为）.

19、二角不等式:

X€（0,-）一一

2则sinx<x<tan^

（1）若

⑵若女（°亏）贝/<sinx+cosx<V2.

（3）|sinx|+|cosx|>l

22sin0

20、同角三角函数的基本关系式：sin'+c°s偌1'蓊'

21、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）

22、和角与差角公式

sin(a±肉=sinacos产±cosasin产;cos(a±肉=cosacos/干sinasin§;

/6tana±tan。

tan(a±jS)=-----------.

1千tanatanJ3

asin。+3cos。=Ja'+2>2sin(a+(p)

_b_

(辅助角。所在象限由点(a,b)的象限决定二",).

23、二倍角公式及降鬲公式

.c2tana

sin2a=sinacosa=-----x-

l+tana

c22c2112l—tan'a

cos2a=cosa-sina=2cosa-l=I-2sina=-----=-

l+tana

c2tanasin2aI-cos2a

tan2a=-------tanex=--------=--------

I-tan5aI+cos2。sin2a

.2I-cos2al+cos2a

sina---------,cosa=

24、三角/数的周期公式

函数，=sin(0'+*)，x£R及函数y=cos(0'+0),xGRU,O,(p)

丁二竺、

x£R(A,(o,为常数，目A，0)的周期一1。「；

，=1独(。工+同，工工函+工,依20,3，次函数，(A,3,为常数，且A#0)

T=—.

的周期网.

三角函数的图

像:

y=cosx甘

二…7

02n

===2R

25、正弦定理：sin/sin5sinC(R为外接圆的半

径).

=。=2RsinXi,=2RsinB,c=ZRsinC<=>a::c=sin:sin5:sinC

26、余弦定

理.a1=b2+c2-2bccosj；b1=c1-2cacosB；c2=a2+b2-2abcosC

27、面积定理:

⑴物只此必砺如分别表示a、b、C边

上的高）.

(2)S=—a^sinC=—Sesinj=—easin8.|

222

(3)应皿=J^(\OA\\OB\)2-(OAOB)2.

2sA_a+b-、g

’3切因=a+g+c，%*3切因=2

28、三角形内角和定理：

在^ABC中，

有/+B+C=?roC=7r-G4+B）o£=?_^^=2C=2"-2（6+5）

29、实数与向量的积的运算律:设乂N为实数，那么：

（1）鳄律:A（H5）=（An）3；

（2涕一（A+H）（J=A5+iia；

（3庠二分配律：A（a^b）=A（J+Ab.

■—一

30、与的数量积（或内积）：小汨对所cosd・.

31、平面向量的坐标运算：

⑴设方=（再，乃），方=（々，丁2），则/•二（/+勺，％+）2）・

——

⑵设好（再,乃）":（々,乃），则I-合二（再-叼，乃一必）•

（3）设A（X],冗，BG2J2），则3=OB-OA=（Xj-再，乃一必）•

⑷设]=（xj）,Ne*,则♦■=（4x，4x）.

⑸设於（公,为，1=（孙乃），则2・1=（再勺+、必），

32、两向量的夹角公

一

八ab玉为+外必、丁,、、

cos0=十=/，-背==（。=（再,必），3二（孙乃））•

式：1。1•闻J/+义我+府

33、平面两点间的距离公

d二二|五5|二，5N篇二-公尸+（%-必）2Q（X"1），B（G，乃））•

式:

34、向量的平行与垂直：设二尸，,=（孙为，芳=每,乃），且"°,

则：

占|花0小43OX仍一与必=0.（交叉相乘差为零）

了_L»（"6）=&・*=0=勺五2+乃乃=。，（对应相乘和为

零）

35、线段的定比分公式：设々⑸%，舄每必），尸（”），是线

段耳印的分点，是勺实数，

且至='两，则

工_再+饱,,

1+4./=。4+热舄

_\+私1+41

=OP=t0&+(1—£)0马(2=

.1+NT+I36、

0

三角形的重心坐标公式:△加三个顶点的坐标分别

为lA（X1,y1）、B（x2,y2）%C（xSJy3）

.（%+々+.力+乃+乃）

则的重心的坐标是4'2

37、三角形五“心”向量形式的充要条件：设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则

（1）。为2L48C的外心=5'=无2=5?1

（2）。为ARBC的重心QO5+砺

（3）。为△ABC的垂心=05方=历-5?=6t

（4）。为A/48c的内心＜=＞。况+6加

（5）。为A4BC的/幺的旁心=。刀=8砺

38、常用不等式：

（1）。力e&=/+/之2ab（当且仅当a=b时取«=»号）.

（2）以力之&当且仅当a=b时取"=”号）.

（3）a3+Z>3+c3>3abc（a>0,2>>0,c>0）.

⑷同-/工卜+占|工上|十忸.

（5）且二疝£/士史亘（当且仅当a=b时取"=”号）。

a+b2V2

39、极值定理:已知都是正数，则有

（1）若xy积是定值P,则当x=y时和有最小值2而;

-S2

4

（2）若x+y和是定值S,则当x=y时积有xy最大值

⑶已知“，瓦冗ytK,若°x+如=1则有

♦♦♦V-

-+—=（ax4-21y）（—+—）=a+b+—+—>a+b+2y/ab=（而+柩尸

xyxyxy

la,友冗S-4--=1!

（4）已知Ky,若则有

x+y=(x+j/)(—+—)=a+b+—+—>a-}-b+2y/ab=(&+扬)’

xyxy

40、一元二次不等式#+桁+。>。（或<0）（"0,A=庐-4ac>0）,如果

ax2+Bx+c以/+8x+c

与同号，则其解隽在两根之外；如果a与异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之

再<X<々=（工一五）（五~x2）<°（无1<々）;

外.异号两根之间.即：工<%,或工>为=。一玉）。一%）>0（而<出）・

41、含有绝对值的不等式：当a>0时，有

|x|<a<=>x2<a2<=>-a<x<a,

同>«=”>。2。\>。或彳<-a.

k—~~~（耳（内Ji）、鸟（勺，乃））

42、斜率公式：r.—r

43、直线的五种方程：

⑴点斜式：^-必=双彳一再）值线/过点耳（"1%且斜率为勺.

（2）斜截式：了=收+"（b为直或在y轴上的截距）.

''=工_^_（必=乃）（4（和九、门每，必）（公。租力。乃））

⑶两点式：乃一必电一再

两点式的推广：（'2一々）8一珀一仇一必）（彳一再）=°（无任何限制条件！）

-+T=14,0、g0

（4）截距式：a£>（分别为巨然的横、纵鼓距，）

⑸一般式：4+纱+C=°俱中人、B不同时为0）.

直线的a+W+C=°法向量：户=（AB）,方向向量『=（瓦一回：

44、夹角公式:

Jr-卜

(1)tanor=|-I.(/1:y=左4+4,L:y=kx+bykk*-1)

i+L122l2

(2)tana=\"e-44卜(《：生+坳+q=0.引型+如+G=。.44+用为工。)•

44+8岛

直线时，直线△与人的夹角是

45、到的角公式:

Jr—Jr

(1)tana=―—―@:y=Qx+4，I1：y=Qx+S2焦内h-1

1+—

(2)tana=~".(乙:A^x4-4-Cx=0.Z2:义彳+^^+弓=0.4义+用刍h0).

+B]B°

直线时，直线A至1/2的角是?.

46、点到直线的距

d1多+为匕G点尸(aJo)加/=Ax+fy+C=0).

离（点,直线：）.

47、圆的四种方程:

⑴国的标准方程：（x-af+e-b）?=’.

（2）圆的-般方程：/+/+》+助+尸=0（1）2+/一4尸＞0）,（＞0）

x=a+rcos&

⑶国的参数方程：1、=6十八地］

（4）国的直径式方程：*_百）（'_毛）+8_乃）6/一必）=0（圆的直径的靖克是42万）、取,乃））,

48、点与圆的位置关系：点尸与圆5-4+（丁-炉=臼的位

置关系有三种：

若d=%），+3-先）?,则d＞尸=点尸在圆外；

若d=「。点产在圆上；d＜r=点尸在圆内.

49、直线与圆的位置关系：亘线&+纱+C=°与&-4+（k犷=凸圆

_\Aa+Bb+C\

(d=——7—）：

的位置关系有三种V?Ts

d>r=相离oA<0；d=r=相切OA=0；d<rO相交<=>A>0

50、两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为01,02,半径分别为rial℃|="则:

d>0+厂2=外离=4条公切线；

d=广1+々=外切=3条公切线；

\rx-r2\<d<rx+r2=>相交=2条公切线;

d=h-引=内切=1条公切线；

0<d<k-々|=内含Q无公切线.

幡单相交绊相离

9-----•-----•------

0-d—>叫—d->的2—d-*d

用+<=1(4>8>0)x=acos8

的参数方程是：'\y=bsin&.

51、椭圆々b圈心

a2b2

P=一

准线到中心的距霭为c.焦点到对应准线的距离（焦准距）匕

2幺

过焦点且垂直于长轴的弦叫通经.其长度为a：.

玛+4=1(«>3>0),

52、椭圆ab焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面枳：

/『2Z_FPZF

|咫|=e(xd--)=a+ex，|%|=c(--x)=a-^x；SkFfF=c\yp[=btan—-

cc2

53、椭圆的的内外部：

/v2x22

（1）点?（顺,乃）在椭圆3+彳=1（4>8>0）的内部=乌+v与<1・

（2）点?（为,%）在桶园4+4=13>8>0）的外部=苗+军>1.

54、椭圆的切线方程:

（1）桶圆，+号=1（。>8>0）上一点尸（飞,九）处的切线方程是子+等=1.

（2）过椭圆444=矽卜一点?（七，4）所引两条切线的切点弦方程是警+岑=1.

abab

22

（3）椭圆F+A=1（。>0）与直线力c+g+C=0相切的条件是工%2+s为2=

ab

/y£c/J?

55、双曲线的尸离心率"厂d"/，准线到中

心的距离为了，焦点到对应准线的距离（焦准距）6=1。过焦

点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：.

焦半径公式幽川*+“月0+"卜幽|=|2（十-月|=|«-"卜

_2N用产F

两焦半径与焦距构成三角形的面积COt-T-

56、双曲线的方程与渐近线方程的关系:

_y_1，

(1)若双曲线方程为7一后二“渐近线方

0=y=±3・

程：…。

2m=0=

⑵若渐近线方程为0°小双曲线可设

22

为/

工―-

(3)若双曲线//与有公共渐近线，可设

22

为下一声一九

(卜>°,焦点在X轴上，入<0，，焦点在y轴上).

(4)焦点到渐近线的距离总是bo

57、双曲线的切线方程:

(1)双曲线=>o,z?>o)_t一点尸(勺,%)处的切线方程是=1«

⑵过双曲线^-4=1外一点尸("0)所引两条切线的切点弦方程是警-岑=1.

abab

(3)双曲线=1与直线4+劭+C=0相切的条件是/a2-8纷=1・

ab

58、抛物线/=2次的焦半径公式:

抛物线丁=2P>。)：焦半径M=ZO+2-

过焦点弦长画会"-

„a,,bqAac-b1/八、

_+6x+c=a(xH--)H-------QHO)▲IH—QR3

59、—次函数,2?4a的图象是抛物

线：

/bAac-b1.

(1)顶点坐标为2/牝；(2)焦点的坐标

bAac-b2+1

(一丁，----------)

为2a4a；

4ac-b2-1

y=--------------

(3)准线方程是牝

60、直线与圆锥曲线相交的弦长公

式.|阳=+81一乃6

或

222

\AB\=^(1+Ar)[(x24-XJ)-4X2XJ=|再一X?|Vl+tana=|必一%|Jl+da

y=kx4-b

(弦端点A(占M，%2M,由方程[F(x,y)=o消去y得

到a/+占x+c=0A>0,a

为直线的倾斜角，上为直线的斜率5-讣府福.

61、证明直线与平面的平行的思考途径:

（1）转化为直线与平面无公关点；

（2）转化为线线平行；

（3）转化为面面平行.

62、证明直线与平面垂直的思考途径:

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；

（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；

（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；

（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。

63、证明平面与平面的垂直的思考途径:

（1）转化为判断二面角是直二面角；

（2）转化为线面垂直；

（3）转化为两平面的法向量平行。

64、向量的直角坐标运算：

设方=（%%㈤,b=（4也也）则:

（1）（?+B=3]+瓦+62，%+用）;

（2）万一3=（«]—4，«2一“2,以3一4）；

⑶入万=（初,4%,招）（XGR）；

（4）a・b=。向+%%+0r赳；

65、夹角公式:

Icos<arb*岫+*+*

设彳1=（瓦也A）贝°也;+£+4，始+环+或

66、异面直线间的距离：网

nMJ。

（是两异面直线，其公垂向量为"，CD是12上任一点.d为'”间的距离）.

J呵.

67、点到平面加的距离：网（"‘为平面的法丽,，'6"是的一条斜线

段）.

68、球的半径是R,则其体积’1I””,其表面积-4疝

69、球的组合体:

（1）球与长方体的组合体：长方体的外接球的直廷是长方体的体对角践长.

（2）球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，

正万体的外接球的直径是正方体的体对角线长.

°回

（3）球与正四面体的组合体：校长为"的正四面体的内切球的半径为12

旦的1）国内理《的力

（正四面体高34.外接球的半径为4（正四面体芭34

70、分类计数原理（加法原理）：…+―.

分步计数原理（乘法原理）：拉=也义

71、排列数公

父二力（力-1）一（力一/+1）=————.（«,wGN,B_tn<n）.规定0!=1

式：（力一㈤！

72组合数公

C；=£=处上0二竺辿:一理——(«GN,也wM且冽4m.

式.4lx2x--xwm\'(«-w)!

组合数的两个性质：⑴；⑵c；+c：%c*.规定a=1.

73、二项式定

理.3+6)*=c}a+c%f+…+c：bb，+••+，；/；

二项展开式的通项公式：芯N=C：/牙(r=。1,2…，力)

/W==/+守+。/、…+。四的展开式的系数关系：

以o+以1+%+~+4=/(1)；a0-+a24---4-=/(-I)Ja。=/(0)-

74、互斥事件A,B分别发生的概率的和:P(A+B)=P(A)+P(B).

个互斥事件分别发生的概率的和：PCA1+A2+...+

An)=P