专题11 弦图模型巩固练习（基础）-（解析版）

弦图模型巩固练习1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b．AB＝c，将Rt△ABC绕点O依次旋转90°、180°和270°，构成的图形如图所示，该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．（1）请你利用这个图形证明勾股定理．（2）请你利用这个图形说明a2+b2≥2ab，并说明等号成立的条件．（3）设a=x，b=y，代入a2+b2≥2根据你得到的结论解决下面的问题：长为x，宽为y的矩形，其周长为16，请问当x，y取何值时，该矩形面积最大？最大面积是多少？【分析】（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．（2）利用非负数的性质证明即可．（3）把a、b的值代入a2+b2≥2ab中，进行计算得到a+b≥2ab．利用该结论求得当x，y取何值时，该矩形面积最大以及其最大面积．【解答】解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为12ab，小正方形面积为：（b﹣a）2∴c2＝4×12ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+即c2＝a2+b2．（2）∵（a﹣b）2≥0，∴a2﹣2ab+b2≥0，∴a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．（3）把a=x，b=y，代入a2+b2≥2ab中得到：a+b≥2依题意得：x+y＝8．则x+y≥2xy，即8≥2xy，∴xy≤16，当且仅当x＝y＝4时取“＝”．∴当x＝y＝4时，该矩形面积最大，最大面积是16．【点评】本题考查了四边形综合题．需要学生掌握勾股定理的证明和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键．2．如图1，在计算阴影部分面积时，我们可以用边长为a的大正方形面积减去边长为b的小正方面积，即：S＝a2﹣b2．我们也可以把图中阴影部分剪下一个小长方形，然后按图2把阴影部分拼接成一个长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形来计算面积，即：S＝（a+b）（a﹣b），因为阴影部分的面积相等，我们可以得到a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），这恰好验证了平方差公式．（1）图3中最大正方形的面积算法也可以验证一个乘法公式，请用含a和b的代数式写出这个公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2或a2+2ab+b2＝（a+b）2．（2）图4是著名的“赵爽弦图”，它是由四个形状大小完全一致的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，我国古代数学家赵爽利用此图验证了直角三角形的斜边c和两直角边a和b之间存在一个固定的等量关系，请你求出关于a、b、c的关系式．【分析】（1）根据图3的各个部分的面积可得完全平方公式；（2）通过图中小正方形面积证明勾股定理．【解答】解：（1）由题意可得：（a+b）2＝a2+2ab+b2或a2+2ab+b2＝（a+b）2．故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2或a2+2ab+b2＝（a+b）2．（2）S大正方形=c2=(b−a)2+4×12ab=b2﹣2ab+【点评】本题考查了因式分解的应用，用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．3．教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c），也可以表示为4×12ab+（a﹣b）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．（2）如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，画在如图4的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；（2）运用勾股定理在Rt△ABD和Rt△ADC中求出AD2，列出方程求解即可；（3）画出边长为a+b和a+2b的矩形即可．【解答】解：（1）梯形ABCD的面积为12也可以表示为12ab+1即a2+b2＝c2；（2）在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝42﹣x2＝16﹣x2；在Rt△ADC中，AD2＝AC2﹣DC2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2；所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，解得x=9（3）如图，由此可得（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．【点评】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，熟练掌握相关定理是解答此题的关键．4．我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会（ICM2002）的会标（图2），其图案正是由“弦图”演变而来．“弦图”是由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1解答下列问题：（1）叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）；（2）证明勾股定理；（3）若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a+b）2的值．【分析】（1）用文字及符号语言叙述勾股定理即可；（2）如图1，根据四个全等的直角三角形的面积+小正方形的面积＝大正方形的面积，代入数值，即可证明；（3）利用（2）的结论进行解答．【解答】解：（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．在直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，a2+b2＝c2．（2）∵S大正方形＝c2，S小正方形＝（b﹣a）2，4SRt△＝4×12ab＝2∴c2＝2ab+（b﹣a）2＝2ab+b2﹣2ab+a2＝a2+b2，即a2+b2＝c2．（3）∵4SRt△＝S大正方形﹣S小正方形＝13﹣1＝12，∴2ab＝12．∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab＝13+12＝25．【点评】本题考查了勾股定理的证明．求面积时，利用了“分割法”．5．公元3世纪初，我国数学家赵爽证明勾股定理的图形称为“弦图”．1876年美国总统Garfeild用图1（点C、点B、点C′三点共线）进行了勾股定理的证明．△ACB与△BC′B′是一样的直角三角板，两直角边长为a，b，斜边是c．请用此图证明勾股定理．拓展应用l：如图2，以△ABC的边AB和边AC为边长分别向外做正方形ABFH和正方形ACED，过点F、E分别作BC的垂线段FM、EN，则FM、EN、BC的数量关系是怎样？直接写出结论FM+EN＝BC．拓展应用2：如图3，在两平行线m、n之间有一正方形ABCD，已知点A和点C分别在直线m、n上，过点D作直线l∥n∥m，已知l、n之间距离为1，l、m之间距离为2．则正方形的面积是5．【分析】用a、b、c表示三角形与梯形的面积，再根据梯形的面积等于三个直角三角形的面积和便可得结论；拓展1．过点A作AP⊥BC于点P，再证明三角形全等便可得结论；拓展2．过点D作PQ⊥m，分别交m于点P，交n于点Q，然后证明三角形全等，转化线段，再用勾股定理解答【解答】解：∵点C、点B、点B′三点共线，∠C＝∠C′＝90°∴四边形ACC′B′是直角梯形，∵△ACB与△BC′B′是一样的直角三角板，∴Rt△ACB≌Rt△BC′B′，∴∠CAB＝∠C′BB′，AB＝BB′，∴∠CBA+∠C′BB’＝90°∴△ABB′是等腰直角三角形，所以S梯形ACC′B′＝（AC+B′C′）•CC′÷2=(a+bS△ACB=12AC⋅BC=12ab，S△BC′B′=12所以(a+b)a2+2ab+b2＝ab+ab+c2，∴a2+b2＝c2；拓展1．过A作AP⊥BC于点P，则∠BMF＝∠APB＝90°，∵∠ABF＝90°，∴∠BFM+∠MBF＝∠MBF+∠ABP，∴∠BFM＝∠ABP，在△BMF和△ABP中，∠BFM=∠ABP∠BMF=∠APB=90°∴△BMF≌△ABP（AAS），∴FM＝BP，同理，EN＝CP，∴FM+EN＝BP+CP，即FM+EN＝BC，故答案为：FM+EN＝BC；拓展2．过点D作PQ⊥m，分别交m于点P，交n于点Q，如图3，则∠APD＝∠ADC＝∠CQD＝90°，∴∠ADP+∠DAP＝∠ADP+∠CDQ＝90°，∴∠DAP＝∠CDQ，在△APD和△DQC中，∠DAP=∠CDQ∠APD=∠DQC∴△APD≌△DQC（AAS），∴AP＝DQ＝2，∵PD＝1，∴AD2＝22+12＝5，∴正方形的面积为5，故答案为：5．【点评】本题是勾股定理的探究与应用，主要考查了勾股定理的性质及应用，正方形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，关键是构造全等三角形和直角三角形．6．通过整式乘法的学习，我们进一步了解了利用图形面积来说明法则、公式等的正确性的方法，例如利用图甲可以对平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2给予解释．图乙中的△ABC是一个直角三角形，∠C＝90°，人们很早就发现直角三角形的三边a，b，c满足a2+b2＝c2的关系．图丙是2002年国际数学家大会的会徽，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，求出（a+b）2的值．【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）2＝a2+2ab+b2即可求解．【解答】解：根据勾股定理可得a2+b2＝13，四个直角三角形的面积是：12ab×4＝13﹣1＝12，即2ab则（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+12＝25．故（a+b）2的值为25．【点评】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得a2+b2和ab的值是关键．7．下图是“弦图”，请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中设计另两个不同的图案．画图要求：（1）每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形不重叠；（2）所设计的图案（不含方格纸）必须是中心对称图形或轴对称图形．【分析】依据题目所给的条件，可以利用图形的旋转4次，得出图形即可，也可以利用轴对称作出图象即可．【解答】解：如图所示：答案不唯一．【点评】本题考查了利用旋转或者轴对称设计方案，关键是理解旋转和轴对称的概念，按照要求作图．8．图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC