专题04 平行线中的拐点模型之羊角模型（解析版）

专题04平行线中的拐点模型之羊角模型平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（羊角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。模型1：羊角模型图1图2如图1，已知：AB∥DE，结论：.如图2，已知：AB∥DE，结论：.【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB图1图2∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠.在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°.例1．（2023·湖北·八年级校考期末）如图，，，则为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角形的外角的性质可得，再根据可得，从而解决问题．【详解】

∵，∴．∵，∴．故选：C【点睛】本题考查三角形外角的性质，平行线的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．例2．（2023下·广西玉林·七年级统考期中）补全下列证明过程：已知：如图，求证：．证明：如图，作射线，使，

（_______________）又（________________）（_________________）即∴（_________________）又（__________________）【答案】见解析【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．【详解】证明：如图，作射线，使，

（两直线平行内错角相等），又（已知），（等量代换），即，∴（内错角相等，两直线平行），又，（平行于同一直线的两直线平行）．【点睛】本题考查了平行直线的性质与判定，平行线公里推论的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质．例3．（2023上·广东韶关·八年级统考期中）如图，如果，求的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查三角形外角的性质，平行线的性质．根据可得，又根据三角形外角的性质得到，从而．【详解】∵，∴，∵，，∴．故选：B例4．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，，平分，，已知，则度．【答案】115【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，．如图所示，连接，过点C作，先根据角平分线的定义和平行线的性质证明，再由平行线的性质证明，同理可得，，由此推出，再由，推出，根据，推出，再由，推出，即．【详解】解：如图所示，连接，过点C作，∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，同理可得，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，故答案为：．例5．（2023上·福建三明·八年级统考阶段练习）如图，请通过度量、观察、分析等手段，猜测图1、图2、图3中之间的大小关系，用等式表示出来，再对图3中的结论加以证明．

【答案】图1：；图2：；图3：；见解析．【分析】利用平行线的性质，以及三角形的外角性质进行分析即可．【详解】解：通过度量可知：图1：；图2：；图3：．证明：延长，交于点F，如图所示，

∵，∴，∵是的一个外角，∴，∴．【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．例6．（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，，点E，F分别为直线上的一点．

(1)如图1，点G在直线之间，且．直接写出和之间的数量关系（用等式表示）；(2)如图2，点G在同旁．直接写出之间的数量关系（用等式表示）；(3)如图3，点G在同旁，的平分线与的平分线交于点H．用等式表示与之间的数量关系，并证明．【答案】(1)(2)(3)，证明见解析【分析】（1）如图所示，过点G作，则，由平行线的性质可得，再由垂直的定义得到，由此即可得到结论；（2）如图所示，过点G作，则，由平行线的性质可得，再由角度之间的关系即可得到；（3）同理可得，由角平分线的定义推出，由此即可得到．【详解】（1）解：如图所示，过点G作，∵，∴，∴，∴，∵，即，∴，∴，∴；

（2）解：如图所示，过点G作，∵，∴，∴，∵，∴（3）解：，证明如下：同理可得，∵的平分线与的平分线交于点H，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义等等，正确作出辅助线是解题的关键．课后专项训练1．（2023下·陕西西安·七年级校考期末）如图，点B在的边的延长线上，，若，，则的度数为（

）

A．15° B．20° C．30° D．50°【答案】C【分析】根据平行线的性质得到，再利用三角形的外角进行求解即可．【详解】解：∵，，∴，∴；故选C【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的外角．解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．2．（2023下·云南昆明·七年级校考阶段练习）如图，，，则（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角形外角的性质，求出的度数，根据，即可求出的度数．【详解】解：，，在中，，，，故选A．【点睛】本题考查的是三角形外角性质以及平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．在解答时，要结合图形，正确运用平行线的性质．3．（2023上·河南周口·八年级校联考阶段练习）如图直线，，，则（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角形的外角的性质得出，进而根据平行线的性质，即可求解．【详解】解：如图所示，

∵，，∴，∵，∴，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，平行线的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．【点睛】此题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．4．（2023上·云南昭通·八年级校考阶段练习）如图，已知，，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角形外角的定义及性质可得，再由平行线的性质可得．【详解】解：，，，，，故选：A．【点睛】本题考查三角形外角的定义及性质、平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解此题的关键．5．（2023下·江苏南京·七年级统考期中）如图，，，则与一定满足的关系是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据平行线的性质可得，再根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而利用等量代换即可解答．【详解】解：如图：

∵，∴，∵，∴，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，垂线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．6．（2023下·四川泸州·七年级校考期末）如图，在线段的延长线上，，，，连交于，的余角比大，为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据平行线的判定定理可判断①；由平行线的性质得到，等量代换得到，可判断②；根据的余角比大，又，由此列方程得到，可判断③；设，，得到，根据角平分线的定义即可得到结论，可判断④．【详解】解：∵，，∴，∴，故①正确；∴，∵，∴，∴平分，故②正确；∵的余角比大，∴，∵，∴，∴，故③错误；设，，∴，∵平分，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴，故④错误，∴正确结论的个数有2个．故选：B．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，余角的定义，正确识别图形是解题的关键．7．（2023下·山东威海·七年级统考期末）如图，已知，，，则°．【答案】20【分析】运用平行线的性质，三角形外角定理求解．【详解】解：∵，∴∴∵∴故答案为：20．【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角定理，观察图形，理解角之间的位置关系是解题的关键．8．（2023下·辽宁丹东·七年级统考期中）如图，若，，则．

【答案】/50度【分析】设与交于点，利用三角形外角的性质以及平行线的性质，求解即可．【详解】解：设与交于点，如下图：

利用三角形外角的性质可得∵∴∴故答案为：【点睛】此题考查了三角形外角的性质以及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．9．（2023上·黑龙江大庆·七年级校考开学考试）如图，，，，则．

【答案】/16度【分析】由平行线的性质可求得，结合三角形的外角的性质可求得．【详解】解：∵，，∴，∵，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等及三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．10．（2023上·河南周口·八年级校考阶段练习）如图，，若，，则的度数为．

【答案】/39度【分析】根据：两直线平行，同位角相等，可得的度数，再根据三角形外角的性质即可求得答案．【详解】解：∵，，∴，又∵，∴．故答案为：．【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．理解和掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键．11．（2023下·辽宁本溪·七年级统考期中）①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，，则．以上结论正确的是．

【答案】②③④【分析】①过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论;②过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论;③过点E作直线，由平行线的性质可得出;④先根据三角形外角的性质得出，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断.【详解】解：①过点E作直线，∵，∴，∴，∴，故本小题错误；②过点E作直线，∵，∴，∴，∴，即，故本小题正确；③过点E作直线，∵，∴，∴，∴，即，故本小题正确；④∵是的外角，∴，∵，∴，即，故本小题正确，

故答案为：②③④．【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键.12．（2023上·广东·八年级专题练习）如图，，平分，平分交的延长线于点E，若，则的度数为．

【答案】/68度【分析】如图，延长交于M．由题意设，．构建方程组证明即可解决问题．【详解】解：如图，延长交于M．由题意设，．

则有，得：，∵，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形外角性质等知识，解题的关键是熟悉基本图形，学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程组解决问题．13．（2023下·浙江杭州·七年级校考期中）如图，已知，点为上一点，，平分，（1）若，，则；（2）与之间满足的数量关系是．

【答案】【分析】（1）延长，交与点H，令和相交于点I，根据三角形的外角定理得出，易得，根据平行线的性质得出，，求出，进而求出，最后根据三角形的外角定理得出，即可求解；（2）设，则，根据角平分线的定义的得出，则，进而得出，根据平行线的性质得出，进而得出，最后根据三角形的内角和定理得出，列出等式，即可得出结论．【详解】解：（1）延长，交与点H，令和相交于点I，∵，，∴，∵，，∴，∵，

∴，，∵平分，∴，∴，∴，故答案为：20°；

（2）设，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，，∴，

∵，∴，∵，，，∴，即，整理得：．故答案为：【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和，三角形的外角定理，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；三角形的内角和为；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．14．（2023下·山东淄博·七年级统考期中）如图，，．若，试求的度数．

【答案】

【分析】根据平行线的性质得到，再利用三角形的外角性质可以得到解题即可；【详解】解：（1）∵，，∴，又∵，，∴；【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质．15．（2023下·上海·七年级校考期中）如图，，，，求的度数．【答案】【分析】根据平行线的判定及性质，三角形的外角定理即可得出结果．【详解】解：，，，，，．【点睛】本题考查平行线的判定及性质，三角形的外角定理，熟练运用平行线的判定及性质是本题的关键．16．（2023下·河南周口·七年级校联考阶段练习）（1）已知：如图1，，求证：；（2）已知：如图2，，试探求、与之间的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析．【分析】（1）根据平行线性质得出，，即可得出答案；（2）根据平行线性质求出，，即可得出答案．【详解】（1）证明：过点作，如图1所示：，

又，，，即；（2）解：，理由如下：过点作，如图2所示：，

又，，，又，．【点睛】本题考查了平行线性质的应用，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．17．（2023下·河南漯河·七年级统考期中）探究题：

(1)如图，若，则，你能说明理由吗？(2)若将点移至图的位置，此时、、之间有什么关系？直接写出结论．(3)若将点移至图的位置，此时、、之间有什么关系？直接写出结论．(4)在图中，，与之间有何关系？直接写出结论．【答案】(1)见解析(2)(3)(4)【分析】（1）过点作，由平行线的性质可知，，再由角之间的关系即可得出结论；（2）过点作，由平行线的性质可知，，再由角之间的关系即可得出结论；（3）过点作，由平行线的性质可知，，再由角之间的关系即可得出结论；（4）过点作，用（1）的结论可知，，再由角之间的关系即可得出结论．【详解】（1）解：相等，过点作，如图1所示．，，，，．

（2）过点作，如图2所示．，，，，，，．（3）过点作，如图3所示．，，，，．（4）过点作，如图4所示．，结合（1）结论，，，结合（1）结论，，又，．【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，根据平行线的性质得出相等或互补的量是解题的关键．18．（2023下·浙江宁波·七年级统考期末）已知直线，和，分别交于，点，点，分别在线，上，且位于的左侧，点在直线上，且不和点，重合．(1)如图1，点P在线段上，，，求的度数．(2)如图2，当点P在直线上运动时，试判断，，的数量关系，直接写出结果，不需要说明理由．【答案】(1)65°(2)当在的上方时，∠2＝∠1+∠APB，当在线段上时，；当在的下方时，【分析】（1）过点作，根据可知，故可得出，再由即可得出结论；（2）分三种情况讨论：当在的上方时，当在线段上时，由（1）可得：；当在的下方时，过作，依据，可得，再利用平行线的性质可得结论．【详解】（1）证明：如图，过点作，∵，∴，，．又，∵，，∴；（2）解：．理由如下：当在的上方时，如图，过作，∵，∴，，，，．当在线段上时，由（1）可得：；当在的下方时，如图，过作，∵，∴，，，，．【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．19．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级校考期末）已知直线，直线交于点M，交于点N，平分交于点H，．（本题不允许直接使用三角形内角和定理）

(1)如图1，求的度数；(2)如图2，若平分，交于点G，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，点P在上，平分，延长线交于点Q，连接，若，求的度数．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）根据平行线的性质得到，再根据角平分线的性质求出的度数；（2）作，根据（1）所求，可求得，再根据平分，，证明；（3）作，得出，，根据已知条件求得，根据平分和，根据已知角度求出，再作，根据以上证明方式求出的度数．【详解】（1）解：∵，且∴，∵平分∴；∴；（2）证明：作，如下图所示，

∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴∥，∴，∴，∴；（3）解：作，如下图所示，∴，，

∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，作，如上图所示，同理可证．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的性质，根据已知条件，利用平行线的性质和角平分线的性质是解题的关键．20．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线，，然后在平行线间画了一点E，连接，后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②，③，④等图形，这时他突然一想，，与之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系．(1)请直接写出图①到图④各图中的，与之间的关系吗？(2)请从图③④中，选一个说明它成立的理由．【答案】(1)图①：；图②：；图③：；图④：(2)以图③为例说明理由见解析【分析】（1）分别过E作，根据两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补解答；（2）选择③，过点E作，根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据整理即可得证．【详解】（1）图①：；如图，过点E作，∵，∴，∴，，∴，∴图②：；如图，过点E作，∵，∴，∴，，∴，∴；图③：；证明见小问2详解；图④：；如图，过点E作，∵，∴，∴，，∴，∴（2）以图③为例：如图，过点E作，∵，∴，∴，．∵，∴．【点睛】本题考查了平行线的性质，此类题目解题关键在于过拐点作平行线，然后借助平行线的性质进行证明．21．（2023下·山东济宁·七年级统考期中）【问题原型】如图①，，点M在直线AB、CD之间，请说明，【问题迁移】如图②，，点M与直线CD分别在AB的两侧，请写出、、之间有怎样的数量关系，不需要证明．

【推广应用】（1）如图③，，点M在直线AB、CD之间，的平分线与的平分线交于点N，