专题07 线段中的动态模型（解析版）

专题07线段中的动态模型线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查样式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。【知识储备】1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。2、线段的动态模型解题步骤：1）设入未知量t表示动点运动的距离；2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段；3）根据题设条件建立方程求解；4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。模型1、线段中点、和差倍分关系中的动态模型例1．（2022·江苏镇江·七年级期末）如图，线段厘米，点D和点C在线段AB上，且，．点P从点A出发以4厘米/秒的速度沿射线AD向点C运动，点P到达点C所在位置后立即按照原路原速返回，到达点D所在位置后停止运动，点Q从点B出发以1厘米/秒的速度沿着射线BC的方向运动，点Q到达点D所在的位置后停止运动．点P和点Q同时出发，点Q运动的时间为t秒．（1）求线段AD的长度；（2）当点C恰好为PQ的中点时，求t的值；（3）当厘米时，求t的值．【答案】（1）；（2）或；（3）、、8，【分析】（1）先求出AC，再求出DC，根据AD=AC-DC即可；（2）表示出CP、CQ的长度，再根据CP=CQ列方程即可，需要注意P到C之前和之后两种情况讨论；（3）表示出BP、BQ的长度，再根据列方程即可，需要注意P到C之前和之后以及P到D之前之后的多种情况讨论；【详解】（1）∵，∴∵∴∴（2）∵点Q从点B出发以1厘米/秒的速度沿着射线BC的方向运动，∴，P到达C之前时∵点C恰好为PQ的中点∴此时P在C左边，Q在C右边，且CP=CQ∴解得P到达C之后时∵点C恰好为PQ的中点∴此时P在C左边，Q在C右边，且CP=CQ∴解得故当点C恰好为PQ的中点时或（3）当P、Q到达C之前时，，∴解得当P到达C之后、Q到达C之前时，，∴解得当P到达D点时此时，，，当P到达D点以后、Q到达D之前，，解得综上当厘米时，、、8，【点睛】此题考查线段和差计算、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解题的关键是弄清点在运动时的出发点、方向、速度以及两个动点的运动属于相遇问题还是追及问题等．例2．（2022·江苏苏州·七年级期末）如图所示．点A，B，C是数轴上的三个点，且A，B两点表示的数互为相反数，，．(1)点A表示的数是______；(2)若点P从点B出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过______秒时，点C恰好是BP的中点；(3)若点Q从点A出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB的中点为M，当时，则点Q运动了多少秒？请说明理由．【答案】(1)-6(2)8(3)秒或秒【分析】（1）根据，且，两点表示的数互为相反数，直接得出即可；（2）设经过秒点是的中点，根据题意列方程求解即可；（3）设点运动了秒时，分情况列方程求解即可．（1）AB=12，且，两点表示的数互为相反数，点表示的数是，故答案为：；（2）AB=12，，，，设经过秒点是的中点，根据题意列方程得，解得，故答案为：8；（3）设点运动了秒时，①当点在点左侧时，即，根据题意列方程得，解得；②当点在点右侧时，即，根据题意列方程得，解得；综上，当运动了秒或秒时．【点睛】本题主要考查一元一次方程的知识，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键．例3.（2023秋·江西吉安·七年级统考期末）如图，的边上有一动点P，从距离O点18cm的点M处出发，沿线段，射线运动，速度为3cm/s：动点Q从点O出发，沿射线运动，速度为2cm/s，点P、Q同时出发，设运动时间是t（s）．

(1)当点P在上运动时，t为何值，能使？(2)若点Q运动到距离O点16cm的点N处停止，在点Q停止运动前，点P能否追上点Q？如果能，求出t的值；如果不能，请说出理由；(3)若P、Q两点不停止运动，当P、Q均在射线上，t为何值时，它们相距1cm．【答案】(1)(2)不能，见解析(3)或【分析】（1）根据题意可得，然后由可得关于t的方程，解方程即得答案；（2）先计算点Q停止运动时用的时间，然后求出点P运动的路程，再比较即得结论；（3）根据题意可得：，由此构建关于t的方程求解即可．【详解】（1）运动时间是t（s）时，，若，则，解得：；（2）点Q停止运动时，用的时间为秒，此时点P运动的路程为，，∴点P不能追上点Q；（3）当P、Q均在射线上，它们相距1cm时，根据题意得：，即，解得：或．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、善于动中取静、得到相关线段关于t的表达式是解题的关键．模型2、线段上动点问题中的存在性（探究性）模型例1．（2023·江苏南通·七年级月考）如图，数轴上点A，C对应的实数分别为和4，线段，，，若线段以3cm/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1cm/秒的速度向左匀速运动．(1)问运动多少秒时？(2)线段与线段从开始相遇到完全离开共经过多长时间？(3)P是线段上一点，当B点运动到线段上时，是否存在关系式．若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)1秒或2秒；(2)秒；(3)存在，或5．【分析】（1）分点B在点C的左边和点B在点C的右边两种情况讨论；（2）所走路程为这两条线段的和，用路程，速度，时间之间的关系可求解；（3）随着点B的运动，分别讨论当点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重合时的情况．【详解】（1）设运动t秒时为2单位长度，①当点B在点C的左边时，由题意得：，解得：；②当点B在点C的右边时，由题意得：，解得：．综合①②得：当运动1秒或2秒时；（2）∵，点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是4，，而（秒），线段与线段运动秒后相遇，又，（秒），线段与线段从开始相遇到完全离开共经过秒长时间；（3）存在，设运动时间为t秒，①当时，点B和点C重合，，点P在线段AB上，，，当时，，即；此时，②当时，点C在点A和点B之间，，当点P在线段BC上时，，，，，有，故时，，③当时，点A与点C重合，，，，，，有，故，此时，综上，线段PD的长为或5．【点睛】本题以线段和差为题考查了一次方程的应用；读懂题意，分类列方程解决问题是解题的关键．例2．（2022·广东·七年级期中）已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点（不与点A、B重合），点M、N分别在线段BC、AC上，且满足CN＝3AN，CM＝3BM．（1）如图，当点C恰好在线段AB中点，且m＝8时，则MN＝；（2）若点C在点A左侧，同时点M在线段AB上（不与端点重合），请判断CN+2AM﹣2MN的值是否与m有关？并说明理由．（3）若点C是直线AB上一点（不与点A、B重合），同时点M在线段AB上（不与端点重合），求MN长度（用含m的代数式表示）．【解题思路】（1）设AN＝x，BM＝y，则CN＝3x，CM＝3y．由AB＝8列出方程，求得x+y，再进而求得MN；（2）把MN＝AM+AN代入CN+2AM﹣2MN中计算便可知道结果；（3）设AN＝x，BM＝y，则CN＝3x，CM＝3y，①当C点在B点右边时，不符合题意，舍去；②当点C在点A的左边，由AB＝CB﹣CA得出y﹣x=14m，进而得MN＝3（y﹣x）=34m；③当点C在线段（AB上时，由AB＝CB+CA得y+x=14m，进而得MN【解答过程】解：（1）设AN＝x，BM＝y，则CN＝3x，CM＝3y．∵AB＝AN+CN+CM+MB＝m，∴x+3x+3y+y＝m＝8，∴x+y＝2，MN＝NC+CM＝3x+3y＝3（x+y）＝6．（2）CN+2AM﹣2MN的值与m无关．理由如下：如图1，∵CN＝3AN，∴CN+2AM﹣2MN＝3AN+2AM﹣2（AN+AM）＝AN∵AN与m的取值无关，∴CN+2AM﹣2MN的值与m无关；（3）设AN＝x，BM＝y，则CN＝3x，CM＝3y①当C点在B点右边时，∵满足CM＝3BM，M在线段AB上，如图2此时，M不是线段BC上的点，不符合题意，舍去；②当点C在点A的左边，如图3，∵AB＝CB﹣CA＝（CM+MB）﹣（CN+AN）＝m，∴（3y+y）﹣（x+3x）＝m，∴y﹣x=14∴MN＝CM﹣CN＝3y﹣3x＝3（y﹣x）=34③当点C在线段（AB上时，如图4，∵AB＝CB+CA＝（CM+MB）+（CN+AN）＝m，∴（3y+y）+（x+3x）＝m，∴x+y=14∴MN＝CM+CN＝3y+3x＝3（y+x）=34m；∴MN长度为34m．综上，MN模型3、阅读理解型（新定义）模型例1．（2022·江苏淮安·七年级期末）【探索新知】如图1，点在线段上，图中共有3条线段：、和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”.（1）①一条线段的中点这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”）②若线段，是线段的“二倍点”，则（写出所有结果）【深入研究】如图2，若线段，点从点的位置开始，以每秒2的速度向点运动，当点到达点时停止运动，运动的时间为秒.（2）问为何值时，点是线段的“二倍点”；（3）同时点从点的位置开始，以每秒1的速度向点运动，并与点同时停止.请直接写出点是线段的“二倍点”时的值.【答案】（1）①是；②10或或；（2）5或或；（3）8或或【分析】（1）①可直接根据“二倍点”的定义进行判断；②可分为三种情况进行讨论，分别求出BC的长度即可；（2）用含t的代数式分别表示出线段AM、BM、AB，然后根据“二倍点”的意义，分类讨论得结果；（3）用含t的代数式分别表示出线段AN、NM、AM，然后根据“二倍点”的意义，分类讨论．【详解】解：（1）①因为线段的中点把该线段分成相等的两部分，该线段等于2倍的中点一侧的线段长．∴一条线段的中点是这条线段的“二倍点”故答案为：是.②∵，是线段的“二倍点”，当时，；当时，；当时，；故答案为：10或或；（2）当AM=2BM时，20-2t=2×2t，解得：t=；当AB=2AM时，20=2×（20-2t），解得：t=5；当BM=2AM时，2t=2×（20-2t），解得：t=；答：t为或5或时，点M是线段AB的“二倍点”；（3）当AN=2MN时，t=2[t-（20-2t）]，解得：t=8；当AM=2NM时，20-2t=2[t-（20-2t）]，解得：t=；当MN=2AM时，t-（20-2t）=2（20-2t），解得：t=；答：t为或8或时，点M是线段AN的“二倍点”．【点睛】本题考查了一元一次方程的解法、线段的和差等知识点，题目需根据“二倍点”的定义分类讨论，理解“二倍点”是解决本题的关键．例2．（2022秋·江苏扬州·七年级校考阶段练习）【概念与发现】当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作．例如，点C是AB的中点时，即，则；反之，当时，则有．因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义．【理解与应用】(1)如图，点C在线段AB上．若，，则________；若，则________AB．【拓展与延伸】(2)已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，则m的值等于________；②t为何值时，．【答案】(1)，(2)①3；②2或6【分析】（1）根据“点值”的定义即可得出答案；（2）①设运动时间为t，再根据的值是个定值即可得出m的值；②分点Q从点B向点A方向运动时和点Q从点A向点B方向运动时两种情况加以分析即可【详解】（1）解：∵，，∴∴，∵，∴（2）解：①设运动时间为t，则AP=t，AQ=10-3t，则，∵的值是个定值，∴的值是个定值，∴m=3②当点Q从点B向点A方向运动时，∵∴∴t=2当点Q从点A向点B方向运动时，∵∴∴t=6∴t的值为2或6【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解新定义，并能运用是本题的关键．课后专项训练1．（2023秋·江苏·七年级专题练习）如图，在数轴上，O是原点，点A表示的数是4，线段（点B在点C的左侧）在直线上运动，且．下列说法正确的是（）甲：当点B与点O重合时，；乙：当点C与点A重合时，若P是线段延长线上的点，则；丙：在线段运动过程中，若M，N为线段的中点，则线段的长度不变A．甲、乙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙、丙【答案】D【分析】甲：画出图形，利用线段的和差可判断甲的说法；乙：画出图形，设点P表示的数为x，则，可判断乙的说法；丙：设点B表示的数是m，则点C表示的数是，利用中点公式表示出M、N表示的数即可求解．【详解】甲：如图1，当点B与点O重合时，，故甲的说法错误；乙：如图2，当点C与点A重合时，设点P表示的数为x，则，∴，故乙的说法正确；丙：点B表示的数是m，则点C表示的数是，∵O是原点，点A表示的数是4，M，N为线段的中点，∴点M表示的数是，点N表示的数是，∴，故丙的说法正确．故选D．【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，线段中点的计算，整式的加减等知识，数形结合是解答本题的关键．2．（2022·江苏·无锡市七年级期中）如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为_______．【答案】1或【分析】设点A在数轴上表示的数为a，点B在数轴上表示的数为b，设运动的时间为t秒，由OD=4AC得a与b的关系，再根据点M在直线AB的不同的位置分4种情况进行解答，①若点M在点B的右侧时，②若点M在线段BO上时，③若点M在线段OA上时，④若点M在点A的左侧时，分别表示出AM、BM、OM，由AM-BM=OM得到t、a、b之间的关系，再计算的值即可．【详解】设运动的时间为t秒，点M表示的数为m则OC=t，BD=4t，即点C在数轴上表示的数为-t，点D在数轴上表示的数为b-4t，∴AC=-t-a，OD=b-4t，由OD=4AC得，b-4t=4（-t-a），即：b=-4a，①若点M在点B的右侧时，如图1所示：由AM-BM=OM得，m-a-（m-b）=m，即：m=b-a；∴②若点M在线段BO上时，如图2所示：由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=m，即：m=a+b；∴③若点M在线段OA上时，如图3所示：由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=-m，即：∵此时m＜0，a＜0，∴此种情况不符合题意舍去；④若点M在点A的左侧时，如图4所示：由AM-BM=OM得，a-m-（b-m）=-m，即：m=b-a=-5a；而m＜0，b-a＞0，因此，不符合题意舍去，综上所述，的值为1或．【点睛】考查数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间距离的计算方法是正确解答的关键，分类讨论和整体代入在解题中起到至关重要的作用．3．（2022·江苏宿迁·七年级期末）如图，C为线段AB上一点，，AC比BC的多5，P，Q两点分别从A，B两点同时出发，分别以3个单位/秒和1.5个单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①；②；③当时，．其中正确的结论是________．【答案】①②##②①【分析】根据AC比BC的多5，可得，从而得到，进而得到AC=15，可得到BC=2AC，故①正确；根据题意得：AP=3t，BQ=1.5t，可得BP=45-3t，再由M为BP的中点，可得到，进而得到，再由N为QM的中点，可得到AB=4NQ，故②正确；然后分两种情况：当点P没有到达点B之前，当点P没有到达点B之前，可得当时，或20，故③错误，即可求解．【详解】解：∵AC比BC的多5，∴，∵，∴，解得：，∴AC=15，∴BC=2AC，故①正确；根据题意得：AP=3t，BQ=1.5t，∴BP=45-3t，∵M为BP的中点，∴，∴，∵N为QM的中点，∴，∴AB=4NQ，故②正确；当时，当点P在线段AB上，∵，∴，解得：；当时，点P在点B右侧，位于点Q左侧，，∵，∴，解得：；当时，点P位于点Q右侧，不成立，综上所述，当时，或20，故③错误，∴正确的结论是①②．故答案为：①②【点睛】本题主要考查了两点间的距离，线段间的数量关系，动点问题，利用数形结合思想和分类讨论讨论思想解答是解题的关键．4．（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）已知长方形中，，，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度运动；同时，点也从点出发以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒．

（1）当点到达终点时，点在边；（2）当点在边上运动时，用表示的式子为；（3）点、相遇时，秒．【答案】7.2【分析】（1）由题意知，点从，运动时间为秒，点从，运动时间为秒，由，可知当点到达终点时，点运动路程为，由，可判断点的位置；（2）由题意知，；（3）由题意知，，计算求解即可．【详解】（1）解：由题意知，点从，运动时间为秒，点从，运动时间为秒，∵，∴当点到达终点时，点运动路程为，∵，∴点在边上，故答案为：；（2）解：由题意知，，故答案为：；（3）解：由题意知，，解得，，故答案为：7.2．【点睛】本题考查动点，列代数式，一元一次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．5．（2022·江苏·江阴市七年级阶段练习）直线l上的三个点A、B、C，若满足BC＝AB，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1，BC＝AB，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．若M、N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN＝6cm．(1)(2)若点G也是直线m上一点，且点G是线段MP的中点，求线段GN的长度．【答案】(1)3或9(2)或【分析】（1）根据点P是点M关于点N的“半距点”，可得，分两种情况画图求解（2）根据点G是线段MP的中点，结合（1）分两种情况即可求得线段GN的长度（1）如图所示：第一种情况：∵点P是点M关于点N的“半距点”，∴，∵，∴第二种情况：∵，∴综上：MP的长度为3cm或9cm（2）如图所示：第一种情况：点是线段的中点，∴∴第二种情况：点是线段的中点，∴∴综上：线段GN的长度为或．【点睛】本题考查了两点间的距离，准确理解概念并作出图形是解题关键．6．（2022秋·江苏镇江·七年级统考期末）如图，数轴上点A对应数a，点B对应数b，点C对应数16，且满足．(1)_______，_______，_______；(2)点P为位于线段上的一点，且满足，请求出点P在数轴上所表示的数；(3)当甲以4单位长度/分的度从A出发，向右运动，乙同时从点C出发，以6单位长度/分的速度向左运动，当甲到A、B、C的距离之和为40个单位长度时，假如甲立即掉头沿数轴向左运动，请问甲、乙还能碰面吗？若能，求出碰面的地点在数轴上对应的数；若不能，请说明理由．【答案】(1)，，(2)或2(3)甲和乙能碰面，碰面的地点在数轴上对应的数为，理由见解析【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据数轴上两点距离公式求出的长即可；（2）根据题意可得，，即可求出，再分点P在点B左侧和右侧，两种情况利用数轴上两点距离公式讨论求解即可；（3）根据（2）所求得到甲掉头时运动到或2处，求出此时的运动时间，再列出方程求出掉头后乙追上甲的时间即可得到答案．【详解】（1）解：∵，，∴，∴，∴，∴点A和点B对应的数为，，∵点C对应数16，∴，故答案为：，，；（2）解：∵，，∴，当点P在线段上时，∵，∴，∴点P在数轴上所表示的数为；当点P在点B的右侧时，，∴点P在数轴上所表示的数为2．综上所述，点P所对应的数是或2．（3）由（2）知，当甲到A、B、C的距离之和为40个单位长度，甲运动到数轴上的或2处．当甲运动到处时，运动的时间为秒，此时乙运动到数轴上处，设甲掉头后t秒后乙追上甲，则，解得，∴相遇点在数轴上的位置为，∴甲和乙能碰面，碰面的地点在数轴上对应的数为．当甲运动到2处时，运动的时间为秒，此时乙运动到数轴上处，乙在甲的左边，乙快，甲慢，不可能再相遇．综上所述，甲和乙能碰面，碰面的地点在数轴上对应的数为．【点睛】本题主要考查了非负数的性质，数轴上的动点问题，一元一次方程的实际应用，正确理解题意利用分类讨论的思想求解是解题的关键．7．（2022·广西七年级期中）已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为－3，0，1，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．(1)如果点P到点M，点N的距离相等，那么x的值是______；(2)数轴上是否存在点P，使点P到点M，点N的距离之和是5？若存在，请直接写出x的值；若不存在，请说明理由．(3)如果点P以每分钟3个单位长度的速度从点O向左运动时，点M和点N分别以每分钟1个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么几分钟时点P到点M，点N的距离相等.（直接写出答案）【答案】（1）；（2）x=或；（3）分钟或t=2分钟时点P到点M，点N的距离相等．【分析】（1）根据三点M，O，N对应的数，得出NM的中点为：x=（-3+1）÷2进而求出即可；（2）根据P点在N点右侧或在M点左侧分别求出即可；（3）分别根据①当点M和点N在点P同侧时，②当点M和点N在点P两侧时求出即可．【解析】解：（1）∵M，O，N对应的数分别为-3，0，1，点P到点M，点N的距离相等，∴x的值是．故答案为：；（2）存在符合题意的点P；∵点M为-3，点N为1，则点P分为两种情况，①点P在N点右侧，则，解得：；②点P在M点左侧，则，解得：；∴.（3）设运动t分钟时，点P对应的数是-3t，点M对应的数是-3-t，点N对应的数是1-4t．①当点M和点N在点P同侧时，因为PM=PN，所以点M和点N重合，所以：-3-t=1-4t，解得t＝，符合题意．

②当点M和点N在点P两侧时，有两种情况．情况1：如果点M在点N左侧，PM=-3t-（-3-t）=3-2t．PN=（1-4t）-（-3t）=1-t．因为PM=PN，所以3-2t=1-t，解得t=2．此时点M对应的数是-5，点N对应的数是-7，点M在点N右侧，不符合题意，舍去．情况2：如果点M在点N右侧，PM=3t-t-3=2t-3．PN=-3t-（1-4t）=t-1．因为PM=PN，所以2t-3=t-1，解得t=2．此时点M对应的数是-5，点N对应的数是-7，点M在点N右侧，符合题意．综上所述，三点同时出发，分钟或2分钟时点P到点M，点N的距离相等．【点睛】此题主要考查了数轴的应用以及一元一次方程的应用，根据M，N位置的不同进行分类讨论得出是解题关键．8．（2022·江苏·七年级统考期末）已知与为同类项，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b．(1)______，______，线段______；(2)若数轴上有一点C，使得，点M为的中点，求的长______；(3)有一动点G从点A出发，以3个单位每秒的速度向右方向运动，同时动点H从点B出发，以1个单位每秒的速度在数轴上作同方向运动，设运动时间为t秒（），点D为线段的中点，点F为线段的中点，点E在线段上且，在G，H的运动过程中，求的值______（用含t的代数式表示）【答案】(1)，20，30(2)3或75(3)【分析】（1）根据同类项的定义求出a，b值，从而算出线段的长；（2）注意分情况讨论，①当点在之间时，如图1，②当点在右侧时，如图2，分别计算和的长，相减可得结论；（3）本题有两个动点和，根据速度和时间可得点表示的数为：，点表示的数为：，根据中点的定义得点和点表示的数，由得的长和点表示的数，根据数轴上两点的距离可得和的长，相加可得最后的值．【详解】（1）解：∵与为同类项，∴，，∴，∴；（2）分两种情况：①当点在之间时，如图1，，，，点为的中点，，；②当点在右侧时，如图2，，，，，综上，的长是3或75．故答案为：3或75；（3）由题意得，点表示得数为：，点表示的数为：，，，点在线段之间，为中点，点表示的数为：，是中点，点表示的数为：，，，，点表示的数为：，，的值为．故答案为：．【点睛】本题考查同类项，数轴，根据点的运动特点，分情况列出合适的代数式进行求解是解题关键．9．（2022·江苏·七年级专题练习）已知线段，点在线段上，且．(1)求线段，的长；(2)点是线段上的动点且不与点，，重合，线段的中点为，设①请用含有的代数式表示线段，的长；②若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称，，三点为“共谐点”，请直接写出使得，，三点为“共谐点”的的值．【答案】(1)AC=9cm，CB=6cm(2)①或，；②6或12【分析】（1）由可得，，从而可求得AC、CB的长；（2）①分点P在线段AC上和点P在线段CB上两种情况分别计算即可；②分点P在线段AC上和点P在线段CB上两种情况列方程，可求得m的值．（1）∵，点在线段上，且∴，（2）∵M为线段的中点∴①当点P在线段AC上时，当点P在线段CB上时，②当点P在线段AC上时，则MP=PC∴解得：m=6当点P在线段CB上时，则MC=PC∴解得：m=12综上所述，m=6或12【点睛】本题考查了求线段长度，线段中点的意义及线段的和差，掌握线段中点的意义、线段的和差是解题的关键．注意（2）小题要分类讨论．10．（2022·江苏·七年级专题练习）【新知理解】如图①，点C在线段AB上，若BC=πAC，则称点C是线段的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段．（1）若AC=2，求AB的长；（2）在（1）的条件下，若点D也是图①中线段AB的圆周率点（不同于点C），试求出线段BD的长，并判断AC与BD的数量关系；【解决问题】（3）如图②，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动性的滚动1周，该点到达C的位置，求点C所表示的数；若点M、N是线段OC的圆周率点，求MN的长；（4）图②中，若点D在射线OC上，且线段CD与O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请直接写出点D所表示的数（答案保留π）．【答案】（1）AB的长为（）；（2）BD长为2，；（3）C表示的数为（），的长为（）；（4）点D表示的数是1或或或．【分析】（1）利用BC=πAC求出BC的长度，进而求出AB的长．（2）设AC的长为x，BD的长为y，利用圆周率点的定义，得到关于x与y的关系式，进而得到x=y，故此时有．（3）利用旋转一周即为圆的周长，得到C点表示的数，假设M点离O点最近，设，利用圆周率点及题（2）的结论，求出，最后求出MN的长度即可．.（4）设点D表示的数为m，根据条件分四类情况：，，，，进行分类讨论，设出对应的方程进行求解m的值．【详解】（1）,，，．（2）点D、C都是线段AB的圆周率点且不重合，，．设，，则有，，，，，．（3）由题意可知：C点表示的数是均为线段OC的圆周率点，不妨设M点里O点近，且，，，解得，，，，由（2）可知：．（4）解：设点D表示的数为m，根据题意可知，共分为四种情况．①若，则有，解得．②若，则有，解得．③若，则有，解得．④若，则有，解得．综上所述，点D表示的数是1或或或．【点睛】本题是新定义题型，主要考察了列方程和分类讨论的思想，读懂题目中的新定义，并且正确找到分类讨论的所有情况，是解决本题的关键．11．（2023·新疆·七年级期末）如图，已知数轴上点A表示的数为a，B表示的数为b，且a、b满足．动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）写出数轴上点A表示的数是____________，点B表示的数是______，点P表示的数是____________（用含t的式子表示）；（2）当点P在点B的左侧运动时，M、N分别是PA、PB的中点，求PM－PN的值（3）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，点P运动多少秒时P、Q两点相距4个单位长度？【答案】（1）10，-6，10-8t；（2）8；（3）t=3或5【分析】（1）根据非负数的和等于0，则=0，=0，进而即可求解；（2）分别用含t的代数式表示PM=4t，PN=4t-8，进而即可求解；（3）分别表示出P、Q所在点表示的数，再列出方程，即可求解．【详解】解：（1）∵，≥0，≥0，∴=0，=0，即：a=10，b=-6，∴A表示的数是10，点B表示的数是-6，∵动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴点P表示的数是：10-8t，故答案是：10，-6，10-8t；（2）当点P在点B的左侧运动时，PA=8t，PB=8t-16，∵M、N分别是PA、PB的中点，∴PM=PA=4t，PN=PB=4t-8，∴PM－PN=4t-（4t-8）=8；（3）设运动t秒，P所在点表示的数为：10-8t，Q所在点表示的数为：-6-4t，∴（10-8t）-（-6-4t）=±4，解得：t=3或5．【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，用代数式表示出两点间的距离公式，是解题的关键．12．（2023秋·福建福州·七年级统考期末）如图，在数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，且，(1)填空：，；(2)在线段上有一点C，满足，求点C表示的数；(3)动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动；动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动，设运动时间为t秒，当时，的值是否发生变化？若不变求出其值；若变化，写出范围．【答案】(1)8，(2)(3)的值不会发生变化，详见解析【分析】（1）根据非负数的性质，可得，即可求解；（2）先求出，可得，即可求解；（3）根据题意可得依题意得：，从而得到，，即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，解得：；故答案为：8，（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴点C表示的数为；（3）解：的值不会发生变化，依题意得：，∴，，∴，∴的值不会发生变化．【点睛】本题考查非负数的性质，线段的和与差，数轴上的动点问题，利用数形结合思想解答是解题关键．13．（2023秋·云南临沧·七年级统考期末）如图，C是线段上一点，，，点P从A出发，以的速度沿向右运动，终点为B；点Q同时从点B出发，以的速度沿向左运动，终点为A，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为s

(1)当P、Q两点重合时，求t的值；(2)是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰好是另外两点所连线段的中点?若存在，求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)满足条件的值为4或7或【分析】（1）根据相遇时间=路程和速度和，列出方程计算即可求解；（2）根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案；【详解】（1）由题意可得：，，∴当P、Q重合时，，解得：；（2）由题意可得：，∴①当点C是线段的中点时，，解得：；②当点P是线段的中点时，，解得：③当点Q是线段的中点时，，解得：；综上所述，满足条件的值为4或7或．【点睛】本题考查两点间的距离，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论以防遗漏14．（2023·全国·七年级专题练习）如图，直线上有，，，四个点，，，．

(1)线段______；(2)动点，分别从A点，点同时出发，点沿线段以3/秒的速度，向右运动，到达点后立即按原速向A点返回；点沿线段以1/秒的速度，向左运动；点再次到达A点时，两点同时停止运动．设运动时间为（单位：秒）①求，两点第一次相遇时，运动时间的值；②求，两点第二次相遇时，与点A的距离．【答案】(1)(2)5、20【分析】（1）根据，，算出，再根据即可解答；（2）①根据，两点第一次相遇时，，两点所走的路程之和是的长列方程即可求解；②根据，两点第二次相遇时，点所走的路程与的差和所走的路程与的差相等列方程即可求解；【详解】（1）故线段的长为．（2）①，两点第一次相遇时根据题意可得：解得：秒故，两点第一次相遇时，运动时间的值是5秒；②由（1）得当，两点第二次相遇时：解得：秒故，两点第二次相遇时，与点A的距离是20【点睛】本题考查了两点之间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解答该题的关键．15．（2023春·吉林长春·七年级吉林大学附属中学校考期中）如图，点为数轴原点，点表示的数为，点是的中点，点是的中点，以为边，在数轴上方作正方形．点从点出发，向右运动，速度为每秒个单位长度，到达点后点停止运动．设运动时间为秒．

(1)正方形的边长是_______．(2)当点运动秒时，则点表示的数为________(用含的式子表示)．(3)当时求的值．(4)当点出发时，点同时从点出发，速度为每秒个单位长度，向左运动到点处立即按原速返回到点停止运动，为何值时，．直接写出答案答：的值是______．【答案】(1)3(2)或(3)或(4)或或【分析】（1）根据题意可得，由线段中点的定义可得，，以此即可解答；（2）根据题意可得根据点表示的数即可得出点表示的数；（3）利用数轴上两点间的距离公式求解即可；（4）根据可得，再分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时．分别得出不同情况点、表示的数，再利用数轴上两间的距离公式表示出，求解即可．【详解】（1）解：点表示的数为，点为数轴原点，，点是的中点，，点是的中点，，正方形的边长是；故答案为：；（2）点从点出发，向右运动，速度为每秒个单位长度，运动时间为秒，，，点到达点后停止运动，点表示的数为，当时，点表示的数为，当时，点表示的数为，故答案为：或；（3），点表示的数为，，解得：或，（4），即，①当时，点表示的数为，点表示的数为，，解得：或②当时，点表示的数为，点表示的数为，舍去；③当时，点表示的数为，点表示的数为，，，解得：；综上所述，或或故答案为：或或．【点睛】本题主要考查数轴与动点的结合问题、线段中点的定义、数轴上两点间的距离公式、一元一次方程的应用，正确表示出点和点运动后所表示的数是解题关键．16．（2023秋·广东珠海·七年级统考期末）在一条水平直线上，自左向右依次有四个点A，B，C，D，，线段以每秒的速度水平向右运动，当点A到达点D时，线段停止运动，设运动时间为t秒．(1)当秒时，___________，=___________；(2)当线段与线段重叠部分为时，求t的值；(3)当秒时，线段上是否存在点P，使得？若存在，求出此时的长，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)t的值为秒或7秒(3)不存在，见解析【分析】（1）根据题中条件，可得，进而可求得答案；（2）设运动后的点A为点，分点在点C的左侧和右侧两种情况进行讨论，分别列方程即可求解；（3）当秒时，可判断此时的线段在C、D两点之间，假设存在符合条件的点P，则有，求出的长度，与点P在上不符，即可判断．【详解】（1）解：∵，故答案为：3，6；（2）解：①当时，如图则解得②当时，解得答：t的值为4.5秒或7秒．（3）解：当秒时，所以，此时线段位于C，D两点之间，若存在点P，使又因为，点P不在线段AB上，所以，当秒时，线段上不存在点P，使得．【点睛】本题考查线段的和差倍分关系，准确画出图形，数形结合是解题的关键．17．（2022秋·吉林长春·七年级校考期末）如图，数轴上点、表示的数分别为和3，点为原点．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点运动，在点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，到达点后立即以每秒3个单位的速度沿数轴向终点运动．设点运动时间为秒．(1)当时，点表示的数为_________；当点与点重合时，的值为_________；(2)①在点由点向点运动的过程中，点表示数为_________（用含的代数式表示）；②当_________时，、第一次相遇；(3)点从点返回后，当时，求点运动的时间的值；(4)若在点运动的同时，点从点以每秒1个单位长度的速度向终点运动，当时，直接写出的值．【答案】(1)；(2)①；②；(3)当时，或．(4)当时，的值为或或．【分析】（1）由用右边移动用加法列式计算可得：当时，点表示的数，再当点与点重合时，可得方程，再解方程即可；（2）①利用向左移动用减法，向右移动用加法，再列式计算即可；②再利用速度乘以时间等于路程列方程即可；（3）点从点返回后，Q对应的数为，而对应的数为，可得，利用，建立方程求解即可；当时，，重合，停止运动，此时，从而可得答案；（4）当点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动时，此时Q对应的数为，而对应的数为，对应的数为，再利用两点间距离公式建立方程，当点从点返回后，Q对应的数为，而对应的数为，对应的数为，再利用两点间距离公式建立方程，当时，，重合，停止运动，可得，从而可得答案．【详解】（1）解：当时，点表示的数为，当点与点重合时，则，解得：．故答案为：，12；（2）①当点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动时，此时Q对应的数为：，②当、第一次相遇时，∴，解得：，故答案为：，4；（3）当Q，A重合时，，解得：，当Q到达点后立即以每秒3个单位的速度沿数轴向终点运动，此时Q对应的数为：，而对应的数为，∴，当时，∴，∴或，解得：或，当时，解得，∴不符合题意，舍去，当时，，重合，停止运动，此时，∴，解得：，综上：当时，或．（4）当点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动时，此时Q对应的数为，而对应的数为，对应的数为，∴，，∴，∴，即，当时，∴，解得：，当时，∴，解得：，当点从点返回后，Q对应的数为，而对应的数为，对应的数为，∴，，∴，∴，即，当时，∴，解得：，当时，，重合，停止运动，∴，，∴，∴，∴，解得：，不符合题意舍去；综上：当时，的值为或或．【点睛】本题考查的是数轴上动点问题，两点之间的距离，线段的含义，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．18．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）在数轴上有、两点，它们对应的数分别是和，线段在数轴上运动（点在点的左边），且，点为的中点．(1)如图1，当线段运动到线段之间（点、点两点均在、两点之间时），．①直接写出_______________；②求点对应的数及线段的长；(2)如图2，当线段运动到点在点、点两点之间时，画出草图，并求出与的数量关系．【答案】(1)①；②2，2；(2)【分析】（1）①由数轴上两点间的距离可解；②根据，，求，，点为的中点,求出，进行线段的加减计算和求得结果；（2）由，求出，由中点性质，解得，，最后利用整体思想解题即可．【详解】（1）解：①因为、两点，它们对应的数分别是和,，故答案为：16；②如图1：，,点为的中点,;所以点对应的数为：；（2）如图2，，,点为的中点,即【点睛】本题考查数轴、两点间的距离、与线段有关的动点问题等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．19.（2022·山东·七年级期末）如图1，将一段长为60cm绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．（1）若将绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A'、B'处．①如图2，若A'、B'恰好重合于点O处，MN＝cm；②如图3，若点A'落在点B'的左侧，且A'B'＝20cm，求MN的长度；③若A'B'＝ncm，求MN的长度．（用含n的代数式表示）（2）如图4，若将绳子AB沿N点折叠后，点B落在B'处，在重合部分B'N上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为3：4：5，直接写出AN所有可能的长度．【解题思路】（1）①由题意可得：AM＝MO=12AO，ON＝BN=②先结合图形可求得AA′+BB′＝40cm，再根据中点性质和线段和差关系计算即可；③分两种情况分别计算即可：当点A′落在点B′的左侧时，当点A′落在点B′的右侧时；（2）根据三段的长度由短到长的比为3：4：5，分别按以下几种情况进行计算：①当B′D：CD：AC＝3：4：5时，②当B′D：AC：CD＝3：4：5时，③当CD：B′D：AC＝3：4：5时，④当CD：AC：B′D＝3：4：5时，⑤当AC：B′D：CD＝3：4：5时，⑥当AC：CD：B′D＝3：4：5时．【解答过程】（1）①∵绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A'、B'处，A'、B'恰好重合于点O处，∴AM＝MO=12AO，ON＝BN=12OB，∴MN＝MO+ON=12（AO②∵AB＝60cm，A′B′＝20cm，∴AA′+BB′＝AB﹣