专题10 圆中的最值模型之瓜豆原理（曲线轨迹）（原卷版）

专题10圆中的最值模型之瓜豆原理（曲线轨迹）动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。【模型解读】模型1、运动轨迹为圆弧模型1-1.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。模型1-2.如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。模型1-3.定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中）如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。模型1-4.定边对定角（或直角）模型1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。例1．（2023.江苏九年级期中）如图，中，于点是半径为2的上一动点，连结，若是的中点，连结，则长的最大值为（）A．3 B． C．4 D．例2.（2023·江苏·九年级专题练习）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为．例3．（2022·江苏南通·校考模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将线段DE绕点D顺时针方向旋转90°并缩短到原来的一半，得到线段DF，连结AF，则AF的最小值是．

例4．如图，在矩形纸片ABCD中，，，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将沿EF所在直线翻折，得到，则的长的最小值是A． B．3 C． D．例5．（2023·江苏盐城·九年级统考期中）如图，为的直径，C为上一点，其中，，D为上的动点，连接，取中点M，连接，则线段的最大值为．例5．（2022·河南·二模）如图，正方形中，，，点坐标为，连接，点为边上一个动点，连接，过点作于点，连接，当取最小值时，点的纵坐标为（

）A． B． C． D．例6．（2022秋·江苏盐城·九年级统考阶段练习）如图，四边形中，，，，，平分，边DC、上分别有动点E、F，保持，和相交于点P，则的最小值为．课后专项训练1．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，点是正六边形内一点，，当时，连接，则线段的最小值是（

）

A． B． C．6 D．2．（2023·山东临沂·统考二模）如图，C在以为直径半圆上，，，点D是弧上的一动点，，连接，则的长的最小值是（

）

A． B．1 C． D．3．（2023春·广东·九年级专题练习）如图，正方形中，，点为边上一个动点，连接，点为上一点，且，在上截取点使，交于点，连接，则的最小值为（）A． B． C． D．4．（2022·陕西渭南·三模）如图，在矩形ABCD中，，，点E在BC上，且，点M为矩形内一动点，使得，连接AM，则线段AM的最小值为______．5．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，在中，，，以为边作等腰直角，连，则的最大值是（

）A． B． C． D．6．（2023春·浙江宁波·九年级校考阶段练习）如图，直径，的夹角为，为上的一个动点（不与点，，，重合）．，分别垂直于，，垂足分别为，．若的半径长为，则的长（）A．随点运动而变化，最大值为 B．等于C．随点运动而变化，最小值为 D．随点运动而变化，没有最值7．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，中，，，则边的最大值为（）A． B． C．8 D．8．如图，在中，，，，点在以为直径的半圆上运动，由点运动到点，连接，点是的中点，则点经过的路径长为．9．（2022·江苏扬州·三模）如图，在等边△ABC和等边△CDE中，AB＝6，CD＝4，以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．若将△CDE绕点C旋转一周，则线段AF的最小值是______．10．（2022·广东·九年级专题练习）如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为__________________．11．（2022·广东·二模）如图，在中，AB是的直径，，AD，BC交于点E，点D为的中点，点G为平面内一动点，且，则AG的最小值为__________．12．（2020·四川成都市·中考真题）如图，在矩形中，，，，分别为，边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最大值为_________，线段长度的最小值为_________．13．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，在RtΔABC中，∠ACB=90，AC=6、BC=4，点F为射线CB上一动点，过点C作CM⊥AF于M交AB于E，D是AB的中点，则DM长度的最小值是(

)A． B． C．1 D．-214．（2023·广东深圳·深圳校考模拟预测）如图，在矩形中，，，为边上一动点，为中点，为上一点，，则的最小值为．

15．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，为等腰直角三角形，，，点为所在平面内一点，，以、为边作平行四边形，则的最小值为．

16．（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，点是正方形的内部一个动点（含边界），且，点在上，，则以下结论：①的最小值为；②的最小值为；③；④的最小值为；正确的是．

17．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）【实验操作】已知线段BC＝2，用量角器作，合作学习小组通过操作、观察、讨论后发现：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），小丽同学画出了符合要求的一条圆弧（图1）．(1)请你帮助解决小丽同学提出的问题：①该弧所在圆的半径长为______；②面积的最大值为______；(2)【类比探究】小亮同学所画的角的顶点在图1所示的弓形内部，记为，请你证明；(3)【问题拓展】结合以上探究活动经验，解决新问题：如图2，在平面直角坐标系的第一象限内有一点，过点B作轴，轴，垂足分别为A、C，若点P在线段上滑动（点P可以与点A、B重合），使得的位置有两个，求m的取值范围．18．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单