对钩函数详解性质图像对比并举例说明I10

主要内容：本文通过对比分析，解析函数y=ax+eq\f(b,cx)当a，b，c的系数符号不同时，并举例以四个函数y₁=140x+eq\f(117,157x),y₂=140x-eq\f(117,157x),y₃=-140x+eq\f(117,157x),y4=-140x-eq\f(117,157x),说明系数符号变化与函数性质的关系，简要画出函数在同一个坐标系下的图像。☆.函数的定义域分析根据y₁=140x+eq\f(117,157x),y₂=140x-eq\f(117,157x),y₃=-140x+eq\f(117,157x),y4=-140x-eq\f(117,157x)函数特征，可知均含有分式，故要求分母不为0，所以4个函数的定义域相同，定义域均为：(-∞,0)∪(0,+∞)。☆.函数的单调性分析由于4个函数均是由一个正比例函数和一个反比例函数的和差函数，可以根据两个函数的单调性综合分析和差函数的单调性。1.对于函数y₂=140x-eq\f(117,157x),是由正比例增函数和反比例减函数的差，所以相当于两个增函数的和，故函数y2整体为增函数。2.对于函数y₃=-140x+eq\f(117,157x)，是由正比例减函数和反比例减函数的和，所以相当于两个减函数的和，故函数y3整体为减函数。3.对于函数y₁=140x+eq\f(117,157x)，y4=-140x-eq\f(117,157x)前后两个函数的单调性不一致，不能简单通过上述方法解析，但可以使用导数来分析单调性。☆.导数分析函数的单调性步骤1.函数y₁=140x+eq\f(117,157x),求函数的一阶导数，有：eq\f(dy,dx)=140-eq\f(117,157x²)=eq\f(140*157x²-117,157x²),令eq\f(dy,dx)=0，即：140*157x²-117=0,所以x=±eq\f(3,10990)eq\r(71435)≈±0.07,结合函数的定义域，并根据导数与函数单调性有：(1)当x∈(-∞,-eq\f(3,10990)eq\r(71435))∪(eq\f(3,10990)eq\r(71435)，+∞)时，eq\f(dy,dx)＞0，函数为增函数；(2)当x∈[-eq\f(3,10990)eq\r(71435),0)∪(0,eq\f(3,10990)eq\r(71435)]时，eq\f(dy,dx)＜0，函数为减函数。2.函数y4=-140x-eq\f(117,157x),是y1的相反函数，故单调性与之相反。同理，结合函数的定义域，并根据导数与函数单调性有：(1)当x∈(-∞,-eq\f(3,10990)eq\r(71435))∪(eq\f(3,10990)eq\r(71435)，+∞)时，eq\f(dy,dx)＜0，函数为减函数；(2)当x∈[-eq\f(3,10990)eq\r(71435),0)∪(0,eq\f(3,10990)eq\r(71435)]时，eq\f(dy,dx)＞0，为增函数。☆.函数的凸凹性1.函数y₁=140x+eq\f(117,157x)有：eq\f(dy,dx)=140-eq\f(117,157x²)，则：eq\f(d²y,dx²)=0+eq\f(2*117,157x³)=eq\f(2*117,157x³),可知与x的符号成正向关系，所以：(1)当x∈(-∞,0)时，eq\f(d²y,dx²)＜0，函数为凸函数；(2)当x∈(0,+∞)时，eq\f(d²y,dx²)＞0，函数为凹函数。2.函数y₂=140x-eq\f(117,157x)有：eq\f(dy,dx)=140+eq\f(117,157x²)，则：eq\f(d²y,dx²)=0-eq\f(2*117,157x³)=-eq\f(2*117,157x³)，可知与x的符号有关系且相反，所以：(1)当x∈(-∞,0)时，eq\f(d²y,dx²)＞0，函数为凹函数；(2)当x∈(0,+∞)时，eq\f(d²y,dx²)＜0，函数为凸函数。3.y₃=-140x+eq\f(117,157x)有：eq\f(dy,dx)=-140-eq\f(117,157x²)，则：eq\f(d²y,dx²)=0+eq\f(2*117,157x³)=eq\f(2*117,157x³),可知与x的符号成正向关系，所以：(1)当x∈(-∞,0)时，eq\f(d²y,dx²)＜0，函数为凸函数；(2)当x∈(0,+∞)时，eq\f(d²y,dx²)＞0，函数为凹函数。4.y4=-140x-eq\f(117,157x)有：eq\f(dy,dx)=-140+eq\f(117,157x²)，则：eq\f(d²y,dx²)=0-eq\f(2*117,157x³)=-eq\f(2*117,157x³)，可知与x的符号有关系且相反，所以：(1)当x∈(-∞,0)时，eq\f(d²y,dx²)＞0，函数为凹函数；(2)当x∈(0,+∞)时，eq\f(d²y,dx²)＜0，函数为凸函数。☆.函数的极限eq\s(lim,x→-∞)140x+eq\f(117,157x)=-∞，eq\s(lim,x→0-)140x+eq\f(117,157x)=-∞,eq\s(lim,x→0+)140x+eq\f(117,157x)=+∞,eq\s(lim,x→+∞)140x+eq\f(117,157x)=+∞。eq\s(lim,x→-∞)140x-eq\f(117,157x)=-∞，eq\s(lim,x→0-)140x-eq\f(117,157x)=+∞，eq\s(lim,x→0+)140x-eq\f(117,157x)=-∞，eq\s(lim,x→+∞)140x-eq\f(117,157x)=+∞，eq\s(lim,x→-∞)-140x+eq\f(117,157x)=+∞,eq\s(lim,x→0-)-140x+eq\f(117,157x)=-∞，eq\s(lim,x→0+)-140x+eq\f(117,157x)=+∞,eq\s(lim,x→+∞)-140x+eq\f(117,157x)=-∞。eq\s(lim,x→-∞)-140x-eq\f(117,157x)=+∞,eq\s(lim,x→0-)-140x-eq\f(117,157x)=-∞eq\s(lim,x→0+)-140x-eq\f(117,157x)=-∞,eq\s(lim,x→+∞)-140x-eq\f(117,157x)=+∞☆.函数的奇偶性按照奇偶性判断方法，可知四个函数y₁=140x+eq\f(117,157x),y₂=140x-eq\f(117,157x),y₃=-140x+eq\f(117,157x),y4=-140x-eq\f(117,157x),均为奇函数。所以，图像关于原点对称,本处以y₃介绍奇偶性判断步骤。∵f(x)=-140x+eq\f(117,157x)∴f(-x)=-140*(-x)+eq\f(117,157*(-x))=140x-eq\f(117,157x)=-[-140x+eq\f(117,157x)]=-f(x).即：f(-x)=-f(x)，所以函数为奇函数，关于原点对称。☆.函数的五点图x(＜0)-0.11-0.09-0.07-0.05-0.03140x+eq\f(117,157x)-22.17-20.88-20.45-21.90-29.04140x-eq\f(117,157x)-8.63-4.320.857.9020.64-140x+eq\f(117,157x)8.634.32-0.85-7.90-20.64-140x-eq\f(117,157x)22.1720.8820.4521.9029.04x(＞0)0.030.050.070.090.11140x+eq\f(117,157x)29.0421.9020.4520.8822.17140x-eq\f(117,157x)-20.64-7.90-0.854.328.63-140x+eq\f(117,157x)20.647.900.85-4.32-8.63-140x-eq\f(117,157x)-29.04-21.90-20.45-20.88-22.17☆.函数的图像示意图四个函数y₁=140x+eq\f(117,157x),y₂=140x-eq\f(117,157x),y₃=-140x+eq\f(117,157x),y4=-140x-eq\f(117,157x)在同一个坐标系下示意图如下所示。其中：红色曲线表示y₁=140x+eq\f(117,157x)图像；绿色曲线表示y₂=140x-eq\f(117,157x)图像；紫色曲线表示y₃=-140x+eq\f(117,157x)图像；黑色曲线表示y4=-140x-eq\f(117,157x)图像。yy4=-140x-eq\f(117,157x)y₁=140x+eq\f(117,157x)xy₃=-140x+eq\f(117,157x)y₂=140x-eq\f(117,157x)y₃=-140x+eq\f(117,157x) y₁=140x+eq\f(117,157x)y4=-140x-eq\f(117,157x)☆.主要特性归纳1.函数相反性：函数y₁=140x+eq\f(117,157x)和函数y4=-140x-eq\f(117,157x)在同一个x处的y值互为相反数；函数y₂=140x-eq\f(117,157x)和函数y₃=-140x+eq\f(117,157x)也在同一个x处的y值互为相反数。2.经过的象限：函数y₁=140x+eq\f(117,157x)经过第一和第三象限，函数y4=-140x-eq\f(117,157x)则经过第二、第三象限；函数y₂=140x-eq\f(117,157x)和函数y₃=-140x+eq\f(117,157x)四个象限均经过。3.曲线的交点：函数y₁=140x+eq\f(117,157x)和函数y4=-140x-eq\f(117,157x)分别同另外3条曲线均没有交点;曲线方程y₂=140x-eq\f(117,157x)和函数y₃=-140x+eq\f(117,157x)有公共交点，且有两个交点，交点在x轴上，并互为相反数。4.坐标轴交点：函数y₁=140x+eq\f(117,1