第五讲 二次函数压轴题型（专项练习）（原卷版）

2023年中考数学典型例题系列之函数篇第五讲二次函数压轴题型（原卷版）【考点一】二次函数与线段最值问题。【方法点拨】一、平面内任意两点距离公式。若则或二、平面直角坐标系中构造相似。借助平面直角坐标系的直角特点，作平行线或垂线，构造出“A”“X”型相似或“一线三垂直”型相似以及“反A”和蝶形相似，利用相似比转化，列出数量关系求解。三、铅垂线法求最值。1.图形示例：图1图2CD为△ABC的铅垂高，BG为△ABC的水平宽2.铅垂线最值一般解法为：一设（设出P点坐标并表示出D点）；二列（表示出PD长度）；三配（把PD的长度看做关于点P横坐标的二次函数，配方求最值）。【典型例题】（2022·四川德阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，连接．(1)求抛物线的解析式及点的坐标；(2)如图，点为线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长度的最大值．【对应练习1】如图，抛物线y＝x2+5x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接AC，点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为多少？【对应练习2】如图，直线y=−34x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=−38x2+34x+3经过B，C两点，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，过点E作y【对应练习3】对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝x2+bx+c，与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）。（1）求点B的坐标。（2）点C是抛物线与y轴的交点，点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值。【考点二】二次函数与将军饮马模型（线段周长问题）。【方法点拨】将军饮马模型1.【两定一动模型】如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小。作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB当A/、P、B三点共线的时候，PA/+PB=A/B，此时为最小值（两点之间线段最短）2.【一定两动之点点模型】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小。此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P/M+MN+NP//，当P/、M、N、P//共线时，△PMN周长最小。3.【两定两动之点点模型】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P/M+MN+NQ/，当P/、M、N、Q/共线时，四边形PMNQ的周长最小。4.【一定两动之点线】在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P/，将折线段PM+MN转化为P/M+MN，即过点P/作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）。5.模型拓展：【将军过桥模型】已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可，问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A/位置。问题化为求A/N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置。【典型例题1】（2021·四川眉山·统考三模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点（0，3）．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是x轴下方的抛物线上的一个动点，过点P的直线y＝x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，当PE+EF有最大值时，求P点的坐标；【典型例题2】（2022·四川广元·统考中考真题）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．(1)求a，b满足的关系式及c的值；(2)当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△PAB周长的最小值；(3)当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．【对应练习1】（2022·四川遂宁·九年级专题练习）如图，已知点，点，点，直线l为，且直线直线AC，垂足为点D，抛物线为经过点A、B、D三点．(1)求a、b、c的值．(2)点E在抛物线上，过点E作轴，交直线AC于点F，若点E由点A运动到点D的过程中，求线段EF的最大值．【对应练习2】（2022·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标；【对应练习3】如图，抛物线y=53x2−203x+5与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C，在其对称轴上有一动点M，连接MA、MC、AC，则当△MAC的周长最小时，点【考点三】二次函数与三角形面积最值问题。【方法点拨】三角形面积的常见求法。一、公式法。二、割补法。三、铅锤法：“铅垂高、水平宽”。1.图形示例：歪三角形（没有边与对称轴平行）图1图2S△ABC=S△ACD+S△BCDS△ABC=S△ACD－S△BCD=CD·AE+CD·BF=CD·AE－CD·BF=CD（AE+BF）=CD·BG=CD·BGCD为△ABC的铅垂高，BG为△ABC的水平宽，S△ABC=ah2.解题步骤：（1）求A、B两点水平距离，即水平宽；（2）过点C作x轴垂线与AB交于点D，可得点D横坐标同点C；（3）求直线AB解析式并代入点D横坐标，得点D纵坐标；（4）根据C、D坐标求得铅垂高；（5）利用公式求得三角形面积．【典型例题】（2022·四川广安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．(1)求此抛物线的函数解析式．(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【对应练习1】（2022春·四川泸州·九年级专题练习）如图：已知关于x的二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．(1)求二次函数的解析式；(2)有一个点M在线段CB上运动，作MN⊥x轴交抛物线于点N，问当M、N点位于何处时，△BCN的面积最大，求最大面积.【对应练习2】（2022·四川遂宁·九年级专题练习）如图直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，过A，B两点的抛物线与x轴交于点C，且(1)求抛物线和直线的解析式；(2)若点P是抛物线上A，B两点之间的一个动点（不与A，B重合），则是否存在一点P，使的面积最大？若存在求出的最大面积；若不存在，试说明理由．【对应练习3】（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线．(1)求抛物线的解析式；(2)点D是第三象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值．【考点四】二次函数与直角三角形存在问题。【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，，对称轴为，点D为此抛物线的顶点。（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点P，使以点B、C、P为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出点P的坐标。【对应练习1】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，点P为第二象限抛物线上的动点．（1）求a、b、c的值；（2）连接PA、PC、AC，求△PAC面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△QAC为直角三角形，若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【对应练习2】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0）．C（0，3），点M是抛物线的顶点．点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，若OD＝m．（1）求二次函数解析式；（2）设△PCD的面积为S，试判断S有最大值或最小值？若有，求出其最值，若没有，请说明理由；（3）在MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【对应练习3】（2022·四川遂宁·九年级专题练习）如图，已知点，点，点，直线l为，且直线直线AC，垂足为点D，抛物线为经过点A、B、D三点．(1)求a、b、c的值．(2)点P、Q分别在线段AB、AD上，连接PQ、BQ，若点P由点A运动到点B的过程中，是否存在和中一个是等腰三角形另一个是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点五】二次函数与等腰三角形存在问题。【典型例题】如图，直线y=−12x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点（1）求B，C两点的坐标．（2）求该二次函数的解析式。（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。【对应练习1】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线与抛物线交于两点，与轴交于点，且点为；(1)求抛物线及直线的函数关系式；(2)点为抛物线顶点，在抛物线的对称轴上是否存点，使为等腰三角形，若存在，求出点的坐标；(3)若点是轴上一点，且，请直接写出点的坐标．【对应练习2】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2，），顶点坐标为N（﹣1，），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．【考点六】二次函数与等腰直角三角形存在问题。【典型例题】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线顶点为点D．(1)求B，C，D三点坐标；(2)如图1，抛物线上有E，F两点，且EF//x轴，当△DEF是等腰直角三角形时，求线段EF的长度；(3)如图2，连接BC，在直线BC上方的抛物线上有一动点P，当△PBC面积最大时，点P坐标．【对应练习1】将抛物线C：y＝（x﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，再将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2(1)直接写出抛物线C1，C2的解析式；(2)如图（1），点A在抛物线C1（对称轴l右侧）上，点B在对称轴l上，△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标；(3)如图（2），直线y＝kx（k≠0，k为常数）与抛物线C2交于E，F两点，M为线段EF的中点；直线yx与抛物线C2交于G，H两点，N为线段GH的中点．求证：直线MN经过一个定点．【对应练习2】已知：如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与坐标轴分别交于点A（0，6），C（﹣2，0），tan∠ABO＝1，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？(3)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【对应练习3】二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A(﹣1，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．(1)求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；(2)连接BD，当t时，求△DNB的面积；(3)在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；(4)当t时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．【考点七】二次函数与平行四边形存在问题。【典型例题】（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，y轴上一点．(1)求二次函数的表达式；(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结，，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；(3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．【对应练习2】（2022•垦利区二模）已知抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，AB＝4，设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AE、CE，当△ACE的面积最大时，点D的坐标是（−32，3（3）当m＝﹣2时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【对应练习3】（2022·四川资阳·中考真题）已知二次函数图象的顶点坐标为，且与x轴交于点．(1)求二次函数的表达式；(2)如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点旋转，此时点A、B的对应点分别为点C、D．①连结，当四边形为矩形时，求m的值；②在①的条件下，若点M是直线上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点八】二次函数与菱形存在问题。【典型例题】（2022·四川广元·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，其中，是OA的中点．(1)求该二次函数的解析式．(2)如图1，若E为该抛物线在第一象限内的一动点，点F在该抛物线的对称轴上，求使得的面积取最大值时点E的坐标，并求出此时的最小值．(3)如图2，将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线，M为抛物线上一动点，N为平面内一动点，是否存在这样的点M，N使得四边形DMCN为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【对应练习1】（2023秋·浙江温州·九年级期末）如图，拋物线交轴于点，交轴于点、C两点，点为线段上的一个动点（不与重合)，过点作轴，交于点，交抛物线于点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接和，当的面积最大时，求出点的坐标及的最大面积；(3)在平面内是否存在一点，使得以点A，M，N，P为顶点，以为边的四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【对应练习2】（2022春·江苏·九年级专题练习）已知抛物线与ｘ轴交于A（－2，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，）．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上一个点，点Q是平面内一点，当以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为边的菱形时，求点P的坐标．【对应练习3】（2023秋·浙江温州·九年级期末）如图，拋物线交轴于点，交轴于点、C两点，点为线段上的一个动点（不与重合)，过点作轴，交于点，交抛物线于点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接和，当的面积最大时，求出点的坐标及的最大面积；(3)在平面内是否存在一点，使得以点A，M，N，P为顶点，以为边的四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点九】二次函数与矩形存在问题。【典型例题】（2022·四川泸州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点，直线与轴交于点．(1)求，的值；(2)经过点的直线分别与线段，直线交于点，，且与的面积相等，求直线的解析式；(3)是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段和直线上是否分别存在点，，使，，，为顶点的四边形是以为一边的矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【对应练习】（2022·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A和C（1，0），交y轴于点B（0，3），抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F．(1)求抛物线的解析式；(2)将线段OE绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接，求的最小值；(3)M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．【对应练习2】（2022·贵州黔西·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线AB与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．(1)求抛物线的表达式；(2)M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标；(3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【对应练习3】（2022春·全国·九年级专题练习）如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．(1)求抛物线的解析式和对称轴．(2)若R为抛物线上一点，满足，求R的坐标．(3)若点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点P

使得A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【考点十】二次函数与正方形存在问题。【典型例题】（2022·四川成都·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C．(1)b＝______，c＝______；(2)若点D为第四象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，求出DE+FG的最大值及此时点D的坐标；(3)若点P是该抛物线对称轴上的一点，点Q为坐标平面内一点，那么在抛物线上且位于x轴上方是否存在点M，使四边形OMPQ为正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【对应练习】（2022春·江苏·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点，且与y轴交于点C，点B是该抛物线的顶点．(1)求抛物线的表达式；(2)将平移后得到抛物线，点D，E在上（点D在点E的上方），若以点A，C，D，E为顶点的四边形是正方形，求抛物线的解析式．【考点十一】二次函数与定点定值问题。【典型例题】（2022·四川巴中·统考中考真题）如图1，抛物线，交轴于A、B两点，交轴于点，为抛物线顶点，直线垂直于轴于点，当时，．(1)求抛物线的表达式；(2)点是线段上的动点（除、外），过点作轴的垂线交抛物线于点．①当点的横坐标为2时，求四边形的面积；②如图2，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【对应练习】（2022·四川达州·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．(1)求该二次函数的表达式；(2)如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线，分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【考点十二】二次函数与相似三角形存在问题。【典型例题】（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为1．(1)求抛物线的解析式；(2)在y轴的负半轴上是否存在点P使∠AP