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文档简介
专题10动点产生的相似三角形问题(中考压轴题常考题)(解析版)题目精选自:2023、2024年上海名校及一二模真题,包含因动点移动产生的相似三角形相关问题12道。一、解答题1.(2023·上海浦东新·校考一模)如图,已知抛物线与轴交于,两点,与轴交于点,是坐标原点,已知点的坐标是,.(1)求该抛物线的函数表达式;(2)点在轴上方的抛物线上,且,求点的坐标;(3)点是轴上一动点,若以、、为顶点的三角形与相似,求出符合条件的点的坐标.【答案】(1)(2)(3)或【分析】(1)根据正切可得点坐标,根据待定系数法求出函数关系式即可;(2)根据正切,可设点P的横坐标为x,则纵坐标为,根据图像上的点满足函数解析式,可得关于x的方程,解方程可得答案;(3)根据两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似,可得关于的方程,解之即可.【详解】(1)解:令,则,∴C点坐标为:,,∵∴∵在负半轴,∴把和代入得:解得:∴抛物线的函数表达式为:(2)∵,∴∵点P在x轴上方设点P的横坐标为x,则纵坐标为,∴,解得:(舍去)或当时,∴点P的坐标为;(3)设点D的坐标为,∵∴∴为的锐角三角形,∴也是锐角三角形,∴,∴∵①当时,,则,∴,即点,②当时,,则,∴,即点,综上所述,或【点睛】本题考查二次函数的综合题,待定系数法求函数解析式,相似三角形的性质,三角函数,根据三角函数转化为线段的比值是解题的关键,注意分类讨论时不要遗漏情况.2.(2023·上海·一模)如图,已知抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,O是坐标原点,已知点B的坐标是,;
(1)求该抛物线的函数表达式;(2)点P在x轴上方的抛物线上,且,求点P的坐标;(3)点D是y轴上一动点,若以D、C、B为顶点的三角形与相似,求出符合条件的点D的坐标.【答案】(1)(2)(3)或【分析】(1)根据正切函数,可得A点坐标,根据待定系数法,可得函数解析式;(2)根据正切函数,可得P点坐标,根据图像上的点满足函数解析式,可得关于x的方程,根据解方程,可得答案;(3)根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似,可得关于y的方程,根据解方程,可得答案.【详解】(1)解:∵抛物线与y轴交于点C,∴点C的坐标为,∴,∵,∴,即点A的坐标为,又∵,∴,解得,∴抛物线的函数表达式是;(2)解:∵,∴,∵点P在x轴上方,设点P的横坐标为x,则点P的纵坐标为,∴,得(舍去)或,当时,∴点P的坐标为;(3)解:如图,
设点D的坐标为,∵,,∴,∴为的锐角三角形,∴也是锐角三角形,∴点D在点C的上方,∴,∴,∵,,,①如果,则,∴,即点,②如果则,∴,即点.综上分析可知:符合条件的点D的坐标为或.【点睛】本题考查了二次函数综合题,利用待定系数求函数解析式;利用正切函数得出P点坐标是解题关键,又利用图像上的点满足函数解析式得出P点坐标;利用两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得出关于y的方程是解题关键,要分类讨论,以防遗漏.3.(2023上·上海普陀·九年级校考期中)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与直线分别交于轴、轴上的两点,抛物线的顶点为点.
(1)求抛物线的解析式;(2)连接,求证:;(3)连接交轴于点,点是轴上一动点,若与点组成的三角形相似,求点的坐标.【答案】(1)(2)见解析(3)或【分析】(1)先根据一次函数的解析式求出B和C的坐标,运用待定系数法求出二次函数的解析式;(2)求出顶点D的坐标,然后求出,即可证明结论;(3)求出直线的解析式,然后计算出点的坐标,然后分两种情况:和计算解题.【详解】(1)解:当时,,∴点C的坐标为,令,则,解得,∴点B的坐标为,把,代入得,解得:,∴;(2)解:,∴点D的坐标为,过点D作垂直于点F,连接,则点F的坐标为,∴,,∴,又∵,∴,∴;
(3)设直线的解析式为,代入得:,解得,∴,令,则,∴点E的坐标为,∴,,,,∵,∴当时,,即,解得,∴,∴点P的坐标为,当时,,即,解得,∴,∴点P的坐标为,综上所述,点P的坐标为或.【点睛】本题考查二次函数的图像和解析式,勾股定理,相似三角形的判定和性质,解直角三角形,作辅助线够构造直角三角形是解题的关键.4.(2023·上海徐汇·上海市第四中学校考一模)如图,二次函数的图象交坐标轴于点,,点为轴上一动点.(1)求二次函数的表达式;(2)将线段绕点逆时针旋转得到线段,若恰好在抛物线上,求点的坐标;(3)过点P作轴分别交直线,抛物线于点Q,C,连接.若以点B、Q、C为顶点的三角形与相似,直接写出点P的坐标.【答案】(1)(2)或(3)点P的坐标为或.【分析】(1)将,代入,即可求解.(2)设,过点D作x轴垂线交于点N,可证明,则,将D点代入抛物线解析式得,求得或.(3)分当和时,两种情况讨论,据此求解即可.【详解】(1)解:将,代入,∴,,∴.(2)解:设,如图,过点D作x轴垂线交于点N,∵,∴,,∴,∵,∴,∴,,∴,∴,解得或,∴或.(3)解:∵,∴是直角三角形,且,∵以点B、Q、C为顶点的三角形与相似,∴也是直角三角形,显然,当时,此时,如图,∵抛物线的对称轴为,∴点C的横坐标为1,∴点P的坐标为;当时,此时,如图,设与x轴交于点E,∵,,∴,∵,∴,∴,∴,∴,即,∴,∴,设直线的解析式为,∴,∴,∴直线的解析式为,联立,解得或,∴点C的横坐标为,∴点P的坐标为;综上,点P的坐标为或.【点睛】本题考查了二次函数的综合应用,熟练掌握二次函数图象及性质,待定系数法求二次函数解析式是解题的关键.5.(2023·上海浦东新·统考一模)如图,在中,,,,点D是斜边上的动点,连接,垂直平分交射线于点F,交边于点E.(1)如图,当点D是斜边上的中点时,求的长;(2)连接,如果和相似,求的长;(3)当点F在边的延长线上,且时,求的长.【答案】(1);(2)和相似,的长为或5(3)的长是【分析】(1)连接,,由,,,得,,而D是中点,,知,从而,证明,可得,,解得,,即可得;(2)分两种情况:①当时,设,则,有,解得;②当时,设,则,可得,解得,即可得出答案;(3)连接,过D作于K,由,有,设,则,在中,得,解方程即可得到答案.【详解】(1)解:连接,,如图:∵,,,∴,,∵D是中点,∴,∵是的垂直平分线,∴,∵D是中点,,∴,∴,,∵是的垂直平分线,∴,,∴,,∴,,∵,∴,∴,,∴,,解得,,∴;(2)①当时,如图:设,则,∵,∴,解得,∴;②当时,如图:设,则,∵,∴,解得,∴;综上所述,和相似,的长为或5;(3)连接,过D作于K,如图:∴,∴,∴,即,设,则,∵,,∴,,在中,,∴,解得或(舍去),∴,∴的长是.【点睛】本题考查直角三角形中的相似问题,涉及勾股定理及应用,线段的垂直平分线等知识,解题的关键是掌握相似三角形的判定定理及应用.6.(2022·上海松江·校考三模)如图,抛物线过点B(3,0),C(0,-3),D为抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式以及顶点坐标;(2)连接BC,CD,DB,求的正切值;(3)点关于抛物线对称轴的对称点为点,连接,直线与对称轴交于点,在(2)的条件下,点是抛物线对称轴上的一点,是否存在点使和相似,若存在,求点坐标,若不存在,请说明理由.【答案】(1),D(1,-4)(2)(3)存在,(1,0)或(1,)【分析】(1)将点B、的坐标代入,即可得到抛物线的解析式,然后利用配方法可求得抛物线的顶点坐标;(2)求得BC,CD,DB的长,根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形,,利用锐角三角函数的定义求解即可;(3)根据二次函数的对称性得,可得直线为,则,由(2)可知是直角三角形,,若和相似,可分和两种情况进行分析,借助相似三角形的性质求解即可.【详解】(1)解:将点B、的坐标代入抛物线表达式,可得,解得,故抛物线的解析式为;∵,∴;(2)解:如下图,连接BC,CD,DB,∵,∴,,,,,,∴,∴是直角三角形,,∴;(3)解:∵点关于抛物线对称轴的对称点为点,的对称轴为,∴,又∵,可设直线BE的解析式为,将点B、E的坐标代入,得,解得,∴直线为,当时,,∴,由(2)知是直角三角形,,若和相似,可分两种情况进行解析:①时,点在轴上,∵,∴,∴,∴,∵,∴和,∴;②时,∵,∴,∵和,∴,∴,解得,∴点的纵坐标为,∴.综上所述,存在,点的坐标为或.【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、勾股定理及逆定理的应用、求正切值、相似三角形的性质等知识,熟练掌握相关性质,用分类讨论和数形结合的思想分析问题是解题关键.7.(2022上·上海青浦·九年级校考期中)如图,对称轴为直线的抛物线经过点和.(1)求抛物线解析式及顶点坐标;(2)点在第四象限抛物线的图像上,当平行四边形的面积为24时,求点的坐标;(3)在直线是否存在一点,使得与相似,如存在求出点坐标,如果不存在请说明理由.【答案】(1)抛物线解析式为,顶点坐标为(2)或(3)在直线存在一点,【分析】(1)可设抛物线解析式为,将A、B两点的坐标代入求出a,k的值即可,进而可写出顶点坐标;(2)可设E点的坐标为,由的面积为24,可知的面积为12,列方程求出m即可得E点坐标;(3)由于是直角三角形,要使与相似,则也为直角三角形,因此直线与直线垂直,可先求出直线的解析式,再写出直线的解析式,然后联立两条直线的解析式求出交点坐标即为P点的坐标.【详解】(1)解:设抛物线解析式,把和代入,得,解得,∴抛物线解析式为,即,顶点坐标为;(2)解:设E点的坐标为,∵,∴,即,,∵点在第四象限,∴得,化简得,解得,∴E点的坐标为或;(3)解:在直线存在一点,理由如下:∵与相似,且是直角三角形,∴也是直角三角形,∴,设直线的解析式为,则,解得,∴直线的解析式为,∴直线的解析式为,联立,解得,∴点的坐标为.【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合运用,题目综合性较强有一定难度,熟练掌握求二次函数的解析式以及平行四边形的性质,相似三角的性质是解答此题的关键.8.(2023上·上海静安·九年级上海市市北初级中学校考期中)在矩形中,,,点是线段上的一动点(不与点、重合),过点作,交射线于点,连接.(1)如图1,当点与点重合时,求的长;(2)当直线与直线交于点时,设,;如图2,点在线段的延长线上,求关于的函数关系式,并写出定义域;如果与相似,求的长.【答案】(1);(2);的值为或.【分析】()证明,利用相似三角形的性质求解;()证明,可得,推出,由,推出,由此构建关系式,可得结论;分两种情形:当点在线段的延长线上;当点在线段的延长线上,分别求解即可.【详解】(1)∵四边形是矩形,,,∴,,,,,∴,∵,∴,∴,∴,即,∴;(2)∵,∴,∵,∴,∴,∵,,,,∴,解得:,∵,∴,∴,∴,∴;∵,且点不可能在线段上,∴与相似有两种可能:当点在线段的延长线上(如图中)∵,∴∵,∴,∴,∴,∴,∴当点在线段的延长线上(如图中),∵,∴,∵,∴,∴,∵,∴,综上所述,的值为或.【点睛】此题考查了矩形的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题.9.(2023·上海长宁·统考一模)已知抛物线与轴交于点和,与轴交于点,为坐标原点,且.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,点是线段上的一个动点(不与点、重合),过点作轴的垂线交抛物线于点,连接.当四边形恰好是平行四边形时,求点的坐标;(3)如图2,在(2)的条件下,是的中点,过点的直线与抛物线交于点,且,在直线上是否存在点,使得与相似?若存在,求点的坐标:若不存在,请说明理由.【答案】(1)抛物线的解析式为;(2)(3)存在,,【分析】(1)设抛物线的解析式为,利用待定系数法即可求解;(2)先求得直线的解析式,利用,得出方程,解方程即可求解;(3)证明,分两种情况讨论,当时,当时,利用相似三角形的性质列式计算,即可求解.【详解】(1)解:设抛物线的解析式为,∵,,∴代入,得,解得,∴抛物线的解析式为;(2)解:设直线的解析式为,代入得,∴,∴直线的解析式为,设,,则,则,∵是平行四边形,∴,即,∴,∴;(3)解:由题意得,,,∴点D、A、Q在同直线上,设,,∴,,作轴,故轴,则,∴,∵,∴,可知,∴,同理可得直线的解析式为,解方程,得或,∴,连接,作轴,可知:,∴,∵,∴,即,故在的左侧,此时:,设,∵,,,,I.当时,,∴,,∴,II.当时,,∴,,∴.【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、平行四边形的判定和相似三角形的性质等.解题的关键是会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用点的坐标的意义表示线段的长度,从而求出线段之间的关系.10.(2023·上海徐汇·统考一模)如图,已知在中,,,点D为边上一动点(与点B、C不重合),点E为上一点,,过点E作,垂足为点G,交射线于点F.(1)如果点D为边的中点,求的正切值;(2)当点F在边上时,设,,求y关于x的函数解析式及x的取值范围;(3)连接,如果与相似,求线段的长.【答案】(1)(2)(3)或或【分析】(1)过点D作于H,解直角三角形求出,即可解决问题.(2)如图2中,过点A作,延长交于T,直线交于K,交的延长线于R.想办法证明,再证明,可得,推出,可得结论.(3)利用与相似,可得或,由此构建方程求出,当点F在下方时,同法可求.【详解】(1)解:如图1中,过点D作于H,,,,,,,,,.(2)解:如图2中,过点A作,延长交于T,直线交于K,交的延长线于R.,,,,,,,,,,,,,,,,,在和中,,在和中,,,,,,,,,.(3)解:如图3中,连接,作于H.,,,与相似,与相似,或,或,整理得:或,解得:,或,或,当点F在下方时,同理可求,,综上所述,满足条件的的值为或或.【点睛】本题属于相似形综合题,考查了相似三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形或相似三角形解决问题,学会利用参数构建方程解决问题.11.(2023上·上海闵行·九年级统考期中)在平面直角坐标系中(如图),已知直线l:交x轴于点A,交y轴于点B,点C在x轴正半轴上,且.点D在线段上,且,过点C作的垂线,交的延长线于点E,连接.
(1)求点D的坐标;(2)求证:;(3)如果点P是直线上的动点,连接,当与相似时,求点P坐标.【答案】(1)(2)见解析(3)点P坐标是或【分析】(1)根据直线解析式即可求出,,从而得出,,进而可求出.证,即得出,代入数据可求出,进而可求出,即得出点D的坐标;(2)由相似三角形的性质可得出,从而可得出,.作EH⊥AC于点H,证,即得出,,即,分别求出,,,结合勾股定理逆定理即可求解;(3)由,可确定点P只能在射线EC上.又可求出,,.分类讨论①当时,即,代入数据可求出,.过点作轴于点F.利用待定系数法可求出直线的解析式为.设,则,,再利用勾股定理即可求出此时;②当时,同理求解即可.【详解】(1)解:对于,令,则,令,则,∴,,∴,.∵,∴,.∵,,∴,∴.又∵在中,由勾股定理得,∴,∴,∴,∴点D坐标是;(2)证明:∵,,∴.∵,∴,.作EH⊥AC于点H,如图,
∵,,∴.又∵,∴,∴,,∴,∴,.∵,∴,∴,即;(3)解:∵,,∴点P只能在射线上.∵,,,,,∴,,.①当时,即,∴,解得:,∴.过点作轴于点F.
设直线的解析式为,则,解得:,∴直线的解析式为.设,则,,在中,,∴,解得:,(舍),,∴此时;②当时,即,∴,解得:,∴.同理可求出.综上可知:点P坐标是或.【点睛】本题是一次函数综合题,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用一次函数的性质、三角形的相似、两点之间的距离公式和分类讨论的方法解答.12.(2022下·上海虹口·九年级校考期中)如图,在平面直角坐标系中,直线分别交轴、轴于、两点,抛物线经过点和点,且其顶点为,点为抛物线与轴的另一个交点(1)求抛物线的表达式;(2)求的正切值;(3)点在抛物线上,若,求点的坐标.(4)连接,延长交轴于点,
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