专题09 相似模型巩固练习（提优）-（解析版）

相似模型巩固练习1． 新型冠状病毒感染引发“疫情就是命令，现场就是战场”．家住武汉火神山医院旁的小华，目睹这与时间赛跑的建设场面，在家里的小华从离窗台A水平距离2m的M点望去，通过窗台A处刚好俯瞰到远处医院箱式板房顶部远端E点，小华又向窗户方向前进0.8m到Q点，恰好通过窗台A处看到板房顶部近处D点，已知AB、CD、EF、MN都垂直于地面BC，N、F在直线BC上，MQ、DE都平行于地面BC，BC长300m，请你帮助小华计算DE的长度．【解答】200m．【解析】延长ED交AB于H，延长MQ交BA的延长线于T．由题意MT＝2m，MQ＝0.8m，∴QT＝MT﹣MQ＝2﹣0.8＝1.2（m），∵四边形BCDH是矩形，∴DH＝BC＝300（m），∵QT∥DH，∴TAAH∵MT∥DE，∴MTEH∴2EH∴EH＝500（m），∴DE＝500﹣300＝200（m）2． 如图，小亮、小明利用家门口路灯的灯光来测量该路灯的高度，小明在A处时，小亮测得小明的影长AM为2米，小明向前走2米到B处时，小亮测得小明的影长BM'为1米．已知小明的身高AA'（BB'）为1.72米，求灯高CD的长．【解答】5.16米【解析】由题意知AA′∥CD，则△MAA′∽△MCD．所以AA'CD=AMMC同理，△M′BB′∽△M′CD，所以BB'CD=M'BM'C联立①②并解得：BC＝2，CD＝5.16．答：灯高CD的长是5.16米．3． 如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝5m，求围墙AB的高度．【解答】4m【解析】延长OD，∵DO⊥BF，∴∠DOE＝90°，∵OD＝1m，OE＝1m，∴∠DEB＝45°，∵AB⊥BF，∴∠BAE＝45°，∴AB＝BE，设AB＝EB＝xm，∵AB⊥BF，CO⊥BF，∴AB∥CO，∴△ABF∽△COF，∴ABBF∴xx+(5−1)解得：x＝4．经检验：x＝4是原方程的解．答：围墙AB的高度是4m．4． 如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小明在点D处，自己的影长DF＝3m，沿BD方向到达点F处再测自己的影长FG＝4m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度．【解答】6.4m【解析】∵CD∥EF∥AB，∴可以得到△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，∴CDAB=DF又∵CD＝EF，∴DFBF∵DF＝3，FG＝4，BF＝BD+DF＝BD+3，BG＝BD+DF+FG＝BD+7，∴3DB+3∴BD＝9，BF＝9+3＝12，∴1.6AB解得，AB＝6.4m．答：路灯杆AB的高度为6.4m．5． 如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯C下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m．小明在路灯BC下的影子顶部恰好位于路灯DA的正下方，小亮在路灯AD下的影子顶部恰好位于路灯BC的正下方．①计算小亮在路灯D下的影长；②计算建筑物AD的高．【解答】①1.5；②12【解析】①∵EP⊥AB，CB⊥AB，∴∠EPA＝∠CBA＝90°∵∠EAP＝∠CAB，∴△EAP∽△CAB∴EP∴1.8∴AB＝10BQ＝10﹣2﹣6.5＝1.5；②∵FQ⊥AB，DA⊥AB，∴∠FQB＝∠DAB＝90°∵∠FBQ＝∠DBA，∴△BFQ∽△BDA∴HP∴1.8∴DA＝12．6． 如图，平台AB上有一棵直立的大树CD，平台的边缘B处有一棵直立的小树BE，平台边缘B外有一个向下的斜坡BG．小明想利用数学课上学习的知识测量大树CD的高度．一天，他发现大树的影子一部分落在平台CB上，一部分落在斜坡上，而且大树的顶端D与小树顶端E的影子恰好重合，且都落在斜坡上的F处，经测量，CB长53米，BF长2米，小树BE高1.8米，斜坡BG与平台AB所成的∠ABG＝150°．请你帮小明求出大树CD的高度（结果保留一位小数）．【解答】15.8米【解析】延长CB交EF于点H，过点F作FM⊥EB的延长线于点M∵∠ABG＝150°，BE⊥CB∴∠MBF＝150°﹣90°＝60°∴∠MFB＝30°∵BF的长为2米，∴BM＝1米，MF=3∵BE⊥CB，MF⊥BE∴BH∥MF∴△EBH∽△EMF∴BH又∵EB＝1.8米∴BH∴BH=∵BE∥CD∴△HBE∽△HCD∴BH∵CB＝53∴9∴CD＝15.8米∴大树CD的高度为15.8米．7． 街道旁边有一根电线杆AB和一块半圆形广告牌，有一天，小明突然发现，在太阳光照射下，电线杆的顶端A的影子刚好落在半圆形广告牌的最高处G，而半圆形广告牌的影子刚好落在地面上一点E，已知BC＝5米，半圆形的直径为6米，DE＝2米．求电线杆的高度．【解答】9米【解析】连接OF，过点G作GH⊥AB于H，则BOGH是矩形．OG＝3m，BO＝BC+CO＝8（m），∴BH＝3m，GH＝8m．∵FE是⊙O的切线，∴∠OFE＝90°∴FE=OE2∵太阳光线是平行光线，∴AG∥EF，又∵GH∥OE，∴∠E＝∠AGH．又∵∠OFE＝∠AHG＝90°，∴△AGH∽△OEF，∴EFHG=OF解得：AH＝6．即AB＝AH+HB＝6+3＝9（m），答：电线杆的高度为9米．8． 甲乙两位同学利用灯光下的影子来测量一路灯A的高度，如图，当甲走到点C处时，乙测得甲直立身高CD与其影子长CE正好相等，接着甲沿BC方向继续向前走，走到点E处时，甲直立身高EF的影子恰好是线段EG，并测得EG＝2.5m．已知甲直立时的身高为1.75m，求路灯的高AB的长．（结果精确到0.1m）【解答】5.8米【解析】如图，设AB＝x，由题意知AB⊥BG，CD⊥BG，FE⊥BG，CD＝CE，∴AB∥CD∥EF，∴BE＝AB＝x，∴△ABG∽△FEG，∴ABFE=BG∴x7解得：x=35答：路灯高AB约为5.8米．9． 如图（1）是一种广场三联漫步机，其侧面示意图如图（2）所示，其中AB＝AC＝120cm，BC＝80cm，AD＝30cm，∠DAC＝90°．求点D到地面的高度是多少？【解答】（10+802）cm【解析】过A作AF⊥BC，垂足为F，过点D作DH⊥AF，垂足为H．∵AF⊥BC，垂足为F，∴BF＝FC=12BC＝40cm根据勾股定理，得AF=AB2−BF∵∠DHA＝∠DAC＝∠AFC＝90°，∴∠DAH+∠FAC＝90°，∠C+∠FAC＝90°，∴∠DAH＝∠C，∴△DAH∽△ACF，∴AHFC∴AH40∴AH＝10cm，∴HF＝（10+802）cm．答：D到地面的高度为（10+802）cm．10．阅读下面材料，完成学习任务：数学活动测量树的高度在物理学中我们学过光的反射定律．数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度AB测量和计算的部分步骤如下：①如图，在地面上的点C处放置了一块平面镜，小华站在BC的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点A时．测得小华到平面镜的距离CD＝2米，小华的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米；②将平面镜从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小华向后移动到点H处时，小华的眼睛G又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小华到平面镜的距离FH＝3米；③计算树的高度AB：设AB＝x米，BC＝y米．∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD∴△ABC∽△EDC∴AB任务：请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整．【解答】见解析【解析】设AB＝x米，BC＝y米．∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD∴△ABC∽△EDC∴ABED∴x1.5∵∠ABF＝∠GHF＝90°，∠AFB＝∠GFH∴△ABF∽△GHF，∴ABGH∴x1.5∴y2解得y＝20，把y＝20代入x1.5得x1.5=20∴树的高度AB为15米．11．小明用这样的方法来测量建筑物的高度：如图所示，在地面上（E处）放一面镜子，他刚好从镜子中看到建筑物（AB）的顶端B，他的眼睛离地面1.25米（CD＝1.25米），如果小明离镜子1.50米（CE＝1.50米），与建筑物的距离是181.50米（CA＝181.50米）．那么建筑物的高是多少米？【解答】150米【解析】∵AC＝181.5、CE＝1.5，∴AE＝180，根据题意得∠AEB＝∠CED，∵Rt△AEB∽Rt△CED，∴ABCD=AE解得AB＝150．答：建筑物的高是150米．12．如图，一条东西走向的笔直公路，点A、B表示公路北侧间隔150米的两棵树所在的位置，点C表示电视塔所在的位置．小王在公路PQ南侧直线行走，当他到达点P的位置时，观察树A恰好挡住电视塔，即点P、A、C在一条直线上，当他继续走180米到达点Q的位置时，以同样方法观察电视塔，观察树B也恰好挡住电视塔．假设公路两侧AB∥PQ，且公路的宽为60米，求电视塔C到公路南侧PQ的距离．【解答】360米【解析】如图所示，作CE⊥PQ于E，交AB于D点，设CD为x，则CE＝60+x，∵AB∥PQ，∴△ABC∽△PQC，∴CDAB=CE解得x＝300，∴x+60＝360米，答：电视塔C到公路南侧所在直线PQ的距离是360米．13．小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为．（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示）【解答】（1）180cm；（2）12cm；（3）n【解析】（1）设灯泡离地面的高度为xcm，∵AD∥A′D′，∴∠PAD＝∠PA′D′，∠PDA＝∠PD′A′．∴△PAD∽△PA′D′．根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得ADA'D'∴3036解得x＝180．（2）设横向影子A′B，D′C的长度和为ycm，同理可得∴6060+y解得y＝12cm；（3）记灯泡为点P，如图：∵AD∥A′D′，∴∠PAD＝∠PA′D′，∠PDA＝∠PD′A′．∴△PAD∽△PA′D′．根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得ADA'D'（直接得出三角形相似或比例线段均不扣分）设灯泡离地面距离为x，由题意，得PM＝x，PN＝x﹣a，AD＝na，A′D′＝na+b，∴nana+b=ax=1x=n14．小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长0.9米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长BC为2.7米，又测得墙上影高CD为1.2米，请你求旗杆AB的高度．【解答】4.2m【解析】过点D作DE⊥AB于点E，则BE＝CD＝1.2m，∵他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长0.9米，∴AEED=10.9，即AE2.7∴AB＝AE+BE＝3+1.2＝4.2m．答：旗杆的高度是4.2m．15．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082＝2602）【解答】（1）12m；（2）12cm【解析】（1）由题意可知：∠BAC＝∠EDF＝90°，∠BCA＝∠EFD．∴△ABC∽△DEF．∴ABDE=AC∴DE＝1200（cm）．所以，学校旗杆的高度是12m．（2）解法一：与①类似得：ABGN=AC∴GN＝208．在Rt△NGH中，根据勾股定理得：NH2＝1562+2082＝2602，∴NH＝260．设⊙O的半径为rcm，连接OM，∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH．则∠OMN＝∠HGN＝90°，又∵∠ONM＝∠HNG，∴△OM