专题08 角度中的动态模型（原卷版）

专题08角度中的动态模型角度的动态（旋转）模型属于七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点研究与角有关的旋转模型（求值模型；定值模型；探究模型；分类讨论模型）。【知识储备】1、角度旋转模型解题步骤：①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度：1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间；2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间；3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角③列——根据题意列方程求解。注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。2、常见的三角板旋转模型：三角板有两种，一种是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一种是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。模型1、旋转中的求值模型例1．（2022·江苏·七年级期中）已知∠AOB和∠COD均为锐角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，将∠COD绕着点O逆时针旋转，使∠BOC=α（0≤α＜180°）（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，①当α=0°时，如图1，则∠POQ=；②当α=80°时，如图2，求∠POQ的度数；③当α=130°时，如图3，请先补全图形，然后求出∠POQ的度数；（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，则∠POQ=，（请用含m、n的代数式表示）．例2．（2023·湖南株洲·七年级期末）点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处．(1)如图1，当三角板的一边与射线重合时，则________；(2)如图2，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求和的度数；(3)将三角板绕点逆时针旋转至图3所示的位置时，，求的度数．模型2、旋转中的定值模型例1．（2022·江苏南京·七年级期末）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC＝∠AOD，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s，运动时间为t秒（0＜t＜12，本题出现的角均小于平角）（1）图中一定有个直角；当t＝2时，∠MON的度数为，∠BON的度数为；（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，当∠EOF为直角时，请求出t的值；（3）当射线OM在∠COB内部，且是定值时，求t的取值范围，并求出这个定值．例2．（2022秋·河南南阳·七年级校考期末）将一副三角尺如图①摆放，，，现将绕点C以/秒的速度逆时针方向旋转，旋转时间为秒．(1)如图②，当______时，恰好平分；(2)如图③，当______时，恰好平分；(3)如图④，当______时，恰好平分；(4)绕点C旋转到如图⑤的位置，平分，平分，求的度数；(5)若旋转到如图⑥的位置，（4）中结论是否发生变化？请说明理由．

模型3、旋转中的探究类模型（判断角的数量之间的关系）例1．（2023秋·江苏泰州·七年级校考期末）已知，平分．(1)如图①，若，求的度数；(2)将绕顶点O按逆时针方向旋转至如图②的位置，和有怎样的数量关系？请说明理由；(3)将绕顶点O按逆时针方向旋转至如图③的位置，（2）中的关系是否成立？请说明理由．例2．（2023·四川资阳·七年级期末）如图-1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一直角边在射线上，另一边在直线的下方．(1)如图-2，将图-1中的三角形绕点O逆时针旋转，使一边在的内部，且恰好平分，此时直线是否平分？请说明理由；(2)如图-3，继续将图-2中三角板绕点O逆时针旋转，使得在的内部，探究与之间的数量关系，并说明理由；(3)将图-1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，若直线恰好平分，此时三角板绕点O旋转的时间是多少秒？模型4、旋转中的分类讨论模型例1.（2022•广东七年级期末）如图（1），∠BOC和∠AOB都是锐角，射线OB在∠AOC内部，，．（本题所涉及的角都是小于180°的角）(1)如图（2），OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空：①当，时，______，______，______；②______（用含有或的代数式表示）．(2)如图（3），P为∠AOB内任意一点，直线PQ过点O，点Q在∠AOB外部：①当OM平分∠POB，ON平分∠POA，∠MON的度数为______；②当OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，∠MON的度数为______；（∠MON的度数用含有或的代数式表示）(3)如图（4），当，时，射线OP从OC处以5°/分的速度绕点O开始逆时针旋转一周，同时射线OQ从OB处以相同的速度绕点O逆时针也旋转一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少分钟时，∠MON的度数是40°？例2．（2022·成都市七年级阶段练习）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图1，若，则是的内半角．（1）如图1，已知，，是的内半角，则________；（2）如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度得，当旋转的角度为何值时，是的内半角；（3）已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以3度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由．

课后专项训练1．（2023·广东·七年级专题练习）一副三角板与如图摆放，且，，，平分，平分．当三角板绕点顺时针旋转（从图到图）．设图、图中的的度数分别为，，度．

2．（2023秋·江苏扬州·七年级统考期末）如图，，射线在平面内．(1)若与互补，则_____；(2)射线绕点从射线的反向延长线的位置出发，顺时针旋转角，平分．①若，则的度数为______；②是否存在的值，使得与互余，若存在，求出；若不存在，请说明理由．3．（2022秋·江苏·七年级期末）【阅读理解】射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠AOC＝∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，若∠AOB＝75°，∠AOC＝25°，则∠AOC＝∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．【解决问题】(1)在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD（填“是”或“不是”）射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；(2)如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为（用含n的代数式表示）；(3)如图3，射线OB先从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒1°的速度逆时针旋转；10秒后射线OC也从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度逆时针旋转，当射线OC与射线OA的延长线重合时，运动停止．问：当射线OC运动时间为多少秒时，射线OA，OB，OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？4．（2023春·江苏无锡·八年级期中）已知如图1，∠AOB=40°(1)若∠AOC=∠BOC，则∠BOC=;(2)如图2，∠AOC=20°，OM为∠AOB内部的一条射线，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，求4∠AON+∠COM的值；(3)如图3，∠AOC=20°，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至OB结束，在旋转过程中，设运动的时间为t，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，当t在某个范围内4∠AON+∠BOM会为定值，请直接写出定值，并指出对应t的范围（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）．5．（2023·江苏苏州·七年级校考期末）定义：从一个角的顶点出发把这个角分成的两个角的射线叫做这个角的一条三等分线．例如，如图①，，则是的一条三等分线．显然，一个角的三等分线有两条．(1)如图②，已知，、是的两条三等分线，则的度数为；(2)在（1）的条件下，若以点为旋转中心将射线顺时针旋转得到射线．①当恰好为的三等分线时，求的值；②在旋转过程中，若，求的取值范围．6．（2022秋·江苏淮安·七年级校考期末）【新概念】如图1，为内一条射线，当满足时，我们把射线叫做射线、的m等个性线，记作．（其中m为正整数）【实际应用】已知：O为直线上一点，过O点作射线．(1)如图2，将一个三角板（含、）直角顶点D放在O处，另两条边分别为，，当是时，___________．（填“是”或“不是”）．(2)如图3，将三角板的顶点E放在O处，那么当是时，是否也是？请先猜想结果，再说明理由．(3)将图3中的射线绕O点逆时针旋转，如图4，此时存在正整数m使是的同时，也是，则___________，___________．7．（2022秋·江苏·七年级专题练习）如图①，直线､相交于点O，射线，垂足为点O，过点O作射线使．（1）将图①中的直线绕点O逆时针旋转至图②，在的内部，当平分时，是否平分，请说明理由；（2）将图①中的直线绕点O逆时针旋转至图③，在的内部，探究与之间的数量关系，并说明理由；（3）若，将图①中的直线绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转度度（），设旋转的时间为t秒，当与互余时，求t的值．8．（2022·江苏盐城·七年级期末）【阅读理解】如图1，一套三角板如图拼在一起，我们将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转180°．【解决问题】（1）在旋转过程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之间有怎样的数量关系？（2）当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由．（3）运动过程中，如图2，形成的三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，当其中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优线”．①第（2）问中旋转后的射线OC是“优线”吗？为什么？②在整个旋转过程中，若旋转时间记为t秒，当射线OC是“优线”时，请直接写出所有满足条件的t值．9．（2022·江苏连云港·七年级期末）【问题提出】七年级上册《数学实验手册》中有“三角尺拼角”的问题．(1)①填空：如图（1），用副三角板可以直接画出大于小于的角，它们是：，，，，，，，，______，，．②如果用两副三角板能画出吗？________．（填“能”或“不能”）(2)【问题探究】如图（2），现有、角的两种模板，，，请设计一种方案，只用给出的模板和铅笔画出角．小明想出了一个方案，利用角模板画出角．动手操作：如图（3），M、O、N三点在一条直线上，的顶点A与点O重合，边与射线重合，如图所示，将绕点O逆时针旋转，得，再将绕点O逆时针旋转，得，…，如此连续操作52次．再利用两个平角等于一个周角，可得的角，即：．请聪明的你设计一个方案，利用角模板画出角，并说明理由．(3)【问题拓展】现将【问题探究】中两种模板按照如图（4）所示放置，即M、O、N三点在一条直线上，与的顶点A、D都与点O重合，、边与射线重合．动手操作：将绕点O以每秒的速度逆时针方向旋转一周，同时也绕点O以每秒的速度逆时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方随之停止转动．．设运动时间为t（秒）．①当t为何值时，？②请直接写出在旋转过程中，与的数量关系（数量关系中不能含t）．10．（2022·安徽亳州·七年级期末）如图（）所示，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．(1)若，则________°；若∠ACB=130°，则_________°．(2)如图（b）所示，若两个同样的三角板，将锐角的顶点A叠放在一起，则与有何数量关系，请说明理由．(3)如图（c）所示，已知，（，都是锐角）．若把它们的顶点O叠放在一起，则与有何数量关系，直接写出结论．11．（2022·江苏淮安·七年级期末）【阅读理解】射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠AOC＝∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，若∠AOB＝75°，∠AOC＝25°，则∠AOC＝∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．【解决问题】(1)在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD（填“是”或“不是”）射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；(2)如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为（用含n的代数式表示）；(3)如图3，射线OB先从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒1°的速度逆时针旋转；10秒后射线OC也从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度逆时针旋转，当射线OC与射线OA的延长线重合时，运动停止．问：当射线OC运动时间为多少秒时，射线OA，OB，OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？12．（2022·江苏无锡·七年级期末）类比角平分线的概念，如果一条射线把一个角分成1：2两部分，则称这条射线为这个角的一条三等分线，(1)如图，已知，是的一条三等分线，．且，求的度数；(2)如图，，是的一条三等分线（），是的角平分线，是的角平分线．若以每秒5的速度绕点O逆时针旋转一周，旋转时间为t秒，当t为何值时，射线恰好是的一条三等分线．13．（2022·扬州市七年级期末）如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠BOC=120°．将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，边OM与射线OB重合，另一边ON位于直线AB的下方．（1）将图1的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：此时ON所在直线是否平分∠AOC？请说明理由；（2）将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为t秒，在旋转的过程中，ON所在直线或OM所在直线何时会恰好平分∠AOC？请求所有满足条件的t值；（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使边ON在∠AOC的内部，试探索在旋转过程中，∠AOM和∠CON的差是否会发生变化？若不变，请求出这个定值；若变化，请求出变化范围．14．（2022·宿迁市初一期末）如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC=70°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE=90°）(1)如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE=°；(2)如图②，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度数；(3)如图③，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？并说明理由．15．（2022秋·江苏宿迁·七年级校考期末）【感受新知】如图1，射线OC在∠AOB在内部，图中共有3个角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中一个角的度数是另一个角度数的三倍，则称射线OC是∠AOB的“和谐线”．[注：本题研究的角都是小于平角的角．]（1）一个角的角平分线_______这个角的“和谐线”．（填是或不是）（2）如图1，∠AOB=60°，射线OC是∠AOB的“和谐线”，求∠AOC的度数．【运用新知】（3）如图2，若∠AOB＝90°，射线OM从射线OA的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒15°的速度旋转，同时射线ON从射线OB的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒7.5°的速度旋转，当一条射线回到出发位置的时候，整个运动随之停止，旋转的时间为t（s），问：当射线OM、ON旋转到一条直线上时，求t的值．【解决问题】（4）在（3）的条件下，请直接写出当射线ON是∠BOM的“和谐线”时t的值．16．（2022秋·江苏无锡·七年级统考期末）类比角平分线的概念，如果一条射线把一个角分成1：2两部分，则称这条射线为这个角的一条三等分线，(1)如图，已知，是的一条三等分线，．且，求的度数；(2)如图，，是的一条三等分线（），是的角平分线，是的角平分线．若以每秒5的速度绕点O逆时针旋转一周，旋转时间为t秒，当t为何值时，射线恰好是的一条三等分线．17．（2022·湖北武汉·七年级校联考期末）已知，如图1，OB、OC分别为定角（大小不会发生改变）∠AOD内部的两条动射线，∠AOC与∠BOD互补，∠AOB+∠COD＝50°（1）求∠AOD的度数；（2）如图2，射线OM、ON分别为∠AOB、∠COD的平分线，当∠COB绕着点O旋转时，下列结论：①∠AON的度数不变；②∠MON的度数不变．其中只有一个是正确的，请你做出正确的选择并求值．（3）如图3，OE、OF是∠AOD外部的两条射线，且∠EOB＝∠COF＝110°，OP平分∠EOD，