专题05 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型（解析版）

专题05特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）1），记，即求BC+kAC的最小值.2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值.3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。例1．（2023·四川乐山·统考二模）如图，菱形中，，，是对角线上的任意一点，则的最小值为（

）．

A． B． C． D．【答案】B【分析】如图：过点E作，过点B作，连接,由菱形的性质结合题意可得结合可得，则,即；再根据三角形的三边关系可得,则当时，即F与重合时，有最小值，最后解直角三角形求出即可．【详解】解：如图：过点E作，过点B作，连接．

∵在菱形中，，∴，∵，∴，，即．∴．∴．∵∴当时，即F与重合时，有最小值∴的最小值．故选B．【点睛】本题考查菱形的性质、解直角三角形等知识点，找到有最小值的位置是解答本题的关键．例2．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________．【答案】【分析】过点P作PQ⊥AD于点Q，由于∠PDQ=60°，因此，由此可知当B、P、Q三点共线时有最小值，然后利用解直角三角形的知识进行求解即可.【详解】过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC//AB，∴∠QDP=∠DAB=60°，∴PQ=PD•sin∠QDP=PD，∴=BP+PQ，∴当点B、P、Q三点共线时有最小值，∴的最小值为，故答案为：3.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，线段之和最短问题，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键.例3．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为．

【答案】/【分析】在线段下方作，过点作于点，连接，求出此时的长度便可．【详解】解：∵四边形是矩形，，，∴，，，∴，在线段下方作，过点作于点，连接，

∴，∴，当、、三点共线时，的值最小，此时，∴，∴，，∴，∴的最小值为：，∴的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了长方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，垂线段最短性质，关键是作辅助线构造的最小值．例4．（2023·云南昆明·统考二模）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（

）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】连接AC，作，证明当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG，再利用勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果．【详解】解：连接AC，作∵是正方形且边长为4，∴，，，∵，∴，∴，∴当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG，∵，，∴，∵，∴，设，则，∴，解得：，设，则，∵，∴，解得：∴，故选：D【点睛】本题考查正方形的性质，动点问题，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是证明当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG．例5．（2022·山东济宁·校考模拟预测）如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，．①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间．【答案】（1）证明见解析；（2）①；②和走完全程所需时间为．【分析】（1）利用四边相等的四边形是菱形进行证明即可；（2）①构造直角三角形求即可；②先确定点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间．【详解】（1）四边形是矩形，，与交于点O,且关于对称，，，四边形是菱形；（2）①连接,直线分别交于点,交于点，关于的对称图形为，，在矩形中，为的中点，且O为AC的中点，为的中位线，

，同理可得：为的中点，，

，；②过点P作交于点，由运动到所需的时间为3s，由①可得，，点Q以的速度从P到A所需的时间等于以从M运动到A，即：，由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小.如下图，当P运动到,即时，所用时间最短.，在中，设，，，解得：，，和走完全程所需时间为．课后专项训练1．（2023·广东广州·校考三模）如图：等边三角形中，，E、F分别是边上的动点，且，则的最小值为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】取的中点D、G，连接，则可得，，因此转而求的最小值；过A作，且，连接，可证明，则有，进而转化为求的最小值，当点E在线段上时，取得最小值，在中由勾股定理即可求得最小值，从而求得的最小值．【详解】解：如图，取的中点D、G，连接，∴，，∴；

∵，∴的最小值转化为求的最小值；在等边三角形中，，∴，∴，，∵，∴，∴；过A作，且，连接，则，∴，∴，∴，∴当点E在线段上时，取得最小值，且最小值为线段的长；∵，在中，由勾股定理得：，∴的最小值为．故选：C．【点睛】本题考查了求线段和的最小值问题，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，把求的最小值转化为求的最小值，进而转化为求的最小值，是本题的难点与关键所在．2．（2023上·江苏徐州·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，对角线相交于点O，．若点P是边上一动点，求的最小值为．【答案】【分析】如图所示，在下方作，过点P作于E，则由含30度角的直角三角形的性质得到，故当当三点共线，且时最小，即此时最小，由矩形的性质得到，，则可证明是等边三角形，则，，，再求出，得到，则的最小值为．【详解】解：如图所示，在下方作，过点P作于E，∴，∴，∴当三点共线，且时最小，即此时最小，∵四边形是矩形，∴，，∵，∴是等边三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴的最小值为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线确定当三点共线，且时，最小是解题的关键．3．（2023上·湖北黄石·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，将线段绕点进行旋转，，取中点，，连接，已知点的坐标为，那么将线段绕点的旋转过程中，的最小值为．

【答案】【分析】连接，取中点，连接，由三角形中位线定理可得，即，由三角形三边关系可得，当三点共线时，上式取等号，由的坐标可得，再根据两点间的距离公式可得，即可得到答案．【详解】解：连接，取中点，连接，

，为的中点，，即，，当三点共线时，上式取等号，，，，，的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了坐标与图形、三角形中位线定理、勾股定理、三角形三边关系等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．4．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为．【答案】4【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB＝2＝＝2BF，通过解直角三角形ABF，进一步求得结果．【详解】解：如图，在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB最小，∴∠AFB＝90°∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF＝，∴PA+2PB＝2＝＝2BF，在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，∴BF＝AB•sin45°＝4，∴（PA+2PB）最大＝2BF＝，故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线．5．（2023·广东东莞·校考三模）如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则AP+PD的最小值为_____．【答案】3【分析】过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，根据四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°，∠DAC＝∠CAB＝30°，可得PE＝AP，当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时，PE+DP的值最小，最小值为DF的长，根据勾股定理即可求解．【详解】解：如图，过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F,∵四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°,∴∠DAC＝∠CAB＝30°,∴PE＝AP;∵∠DAF＝60°,∴∠ADF＝30°,∴AF＝AD＝×6＝3;∴DF＝3;∵AP+PD＝PE+PD,∴当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时,PE+DP的值最小，最小值为DF的长,∴AP+PD的最小值为3.故答案为：3.【点睛】本题考查菱形性质，结合直角三角形、等边三角形的判定与性质知识点，准确判断最小值的判定.6．如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于．解：如图，过点作，交的延长线于点，，当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为，故答案为：7．（2023·湖南湘西·八年级统考阶段练习）如图，已知菱形ABCD的边长为4，点是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则的最小值是____________．【答案】【分析】作DE⊥AB于E点，连接BD，根据垂线段最短，此时DE最短，即PA+PB+PD最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而得出结论．【详解】解：如图，作DE⊥AB于E点，连接BD∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°∴∠DAB=60°，则△ABD为等边三角形∴∠PAE=30°∴AP=2PE∵PD=PB∴PA+PB+PD=2PE+2PD=2DE根据垂线段最短，此时DE最短，即PA+PB+PD最小∵菱形的边长为4∴AB=4，AE=2∴DE=∴2DE=∴PA+PB+PD最小值为故答案为：【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握菱形的性质，将多条线段转化是解题关键．8．（2023·重庆沙坪坝·八年级校考期末）如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，分别以、为边作矩形，点、在直线上，且，则的最小值是．【答案】【分析】如图，过点B作BM∥AC交x轴于M，在直线BM上截取BB′＝DE＝1，过点B′作B′F⊥OM于F，过点E作EH⊥OC于H，连接B′H．证明BD＋EC＝B′E＋EH≥B′H，再根据B′H≥B′F，求出B′F即可解决问题．【详解】如图，过点B作BM∥AC交x轴于M，在直线BM上截取BB′＝DE＝1，过点B′作B′F⊥OM于F，过点E作EH⊥OC于H，连接B′H．与x轴交于点C，与y轴变于点A，令x=0，y=，令y=0,得x=∴A（0，），C（，0），∴OA＝，OC＝，∴AC==2OA，∴∠ACO＝30°，∵EH⊥OC，∴EH＝EC，∵BB′＝DE，BB′∥DE，∴四边形DBB′E是平行四边形，∴BD＝B′E，∵BM∥AC，∴∠BMC＝∠ACO＝30°，∵∠BCM＝90°，BC＝，∴BM＝2BC＝3，∴B′M＝1＋3，∵∠MFB′＝90°，∴B′F＝MB′＝，∵BD＋EC＝B′E＋EH≥B′H，B′H≥B′F，∴BD＋EC≥，∴BD＋EC的最小值为，故答案为．【点睛】本题考查一次函数的性质，解直角三角形，垂线段最短，矩形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．9．（2023·湖南·九年级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝6，△BCD为等边三角形点E为△BCD围成的区域（包括各边）的一点过点E作EM∥AB，交直线AC于点M作EN∥AC交直线AB于点N，则AN+AM的最大值为．【解答】解：过E作EH⊥AC交AC的延长线于点H，∵EN∥AC，EM∥AB，∴四边形ANEM是平行四边形，∠HME＝∠A＝60°，设EM＝AN＝a，AM＝b，Rt△HEM中，∠HEM＝30°，∴MH＝ME＝a，∴AN+AM＝a+b＝MH+AM＝AH，当E在点D时，AH的值最大是：3+4.5＝7.5，AN+AM的最大值为7.5，故答案为：7.5．10．（2022·四川眉山·统考一模）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD．如图所示若，P是对角线BD上的一个动点，则的最小值是______．【答案】【分析】先证明四边形ABCD是菱形，过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，可得，，然后根据勾股定理可得，则，进而求出，要使的值最小，则需要满足为最小，即为最小，当B、P、M在同一直线上时，为最小，过点A作AM⊥AP，且使，连接BM，进而求解即可．【详解】两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，即，四边形ABCD是平行四边形，，，四边形ABCD是菱形，过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，如图，，，，，，，，，过点A作AM⊥AP，且使，连接BM，如图，，要使的值最小，则需要满足为最小，即为最小，当B、P、M在同一直线上时，为最小，如图，，，的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了三角函数、菱形的性质与判定及含30°直角三角形的性质，解题的关键是利用“胡不归”原理找到最小值的情况，然后根据三角函数及菱形的性质进行求解即可．11．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为．

【答案】/【分析】在线段下方作，过点作于点，连接，求出此时的的长度便可．【详解】解：∵四边形是矩形，，，∴，，，∴，在线段下方作，过点作于点，连接，

∴，∴，当、、三点共线时，的值最小，此时，∴，∴，，∴，∴的最小值为：，∴的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了长方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，垂线段最短性质，关键是作辅助线构造的最小值．12．（2023·湖北孝感·校考模拟预测）如图，四边形是正方形纸片，．对折正方形纸片，使与重合，折痕为；展平后再过点折叠正方形纸片，使点落在上的点处，折痕为；再次展平，延长交于点Q．有如下结论：①；②；③；④；⑤为线段上一动点，则的最小值是．其中正确结论的序号是．

【答案】①③④⑤【分析】①首先根据垂直平分，可得；然后根据折叠的性质，可得，据此判断出为等边三角形，即可判断出．②首先根据，，求出；然后在中，根据，求出的大小即可．③证明所以．④构造直角三角形，利用勾股定理即可得出结论．⑤首先过点作，在同一条直线上且时的值最小．【详解】解：如图，连接，

垂直平分，，根据折叠的性质，可得：，，为等边三角形，，即结论①正确；，，，，即结论②不正确．∵折叠，∴，∴∵∴∴∴，即结论③正确．设，则，∵，，∴，在中由，∴，解得：，即，即结论④正确．过点H作，是等边三角形，，∴，在同一条直线上且时的值最小，此时，的最小值是，即结论⑤正确．故答案为：①③④⑤．【点睛】此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合方法的应用，要熟练掌握．13．（2023下·四川成都·八年级统考期末）【阅读理解】在平面直角坐标系中，已知点R，S为平面内不重合的两点．给出如下定义：将点R绕点S顺时针旋转90度得到点，点关于y轴的对称点为，则称点为点R关于点S的“旋对点”．【迁移应用】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．平面内有一点．

(1)请在图中画出点M关于点O的“旋对点”，并直接写出点M的坐标；(2)点Q为直线上一动点．①若点Q关于点M的“旋对点”为点，试探究直线经过某一定点，并求出该定点的坐标；②在①的条件下，设直线所经过的定点为H，取的中点N，连接，求的最小值．【答案】(1)画图见解析，(2)①；②的最小值为．【分析】（1）根据新定义的含义结合网格特点逐步画图即可，再根据点的位置可得其坐标；（2）①如图，设，过作轴的平行线，过作轴的平行线，两直线交于点，则，延长与交于点，则，，而，，，，结合新定义可得；，从而可得答案；②证明，即在直线上运动，如图，连接，，作关于直线的对称点，则，由分别为的中点，则，当三点共线时，，此时最小；记与轴的交点为，则，直线与轴的交点坐标为，连接，都是等腰直角三角形，而，则，再利用勾股定理可得答案．【详解】（1）解：如图，即为所求，∴；

（2）①如图，∵点Q为直线上一动点．设，过作轴的平行线，过作轴的平行线，两直线交于点，则，延长与交于点，则，

∴，∴，∴，∵，∴，而，∴，，∴，结合新定义可得；，而，∴的中点坐标为：，∴直线经过定点；②∵，∴，∴，即在直线上运动，如图，连接，，作关于直线的对称点，则，

由分别为的中点，则，∴当三点共线时，，此时最小；记与轴的交点为，则，直线与轴的交点坐标为，连接，∴都是等腰直角三角形，而，∴，∴．即的最小值为．【点睛】本题考查的是一次函数的几何应用，旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，理解题意，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．14．（2023·达州市九年级期中）如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、、轴分别交于点、、，，并且满足，点是线段上的一个动点．（1）求的值；（2）连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标；（3）求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）利用矩形的性质，用表示点的坐标，再利用待定系数法即可求解；（2）首先求出四边形的面积，再根据条件求出的面积，即可解决问题；（3）过点作轴交于点，则，即可转化为求的最小值，作点关于一次函数的对称点，过点作轴的垂线交轴于点，交一次函数于点，即的最小值为，算出长度即可．【详解】（1）在中，令，则，点的坐标为，，，，把代入中得：，解得：；（2）由（1）得一次函数为，，，，，，，的面积与四边形的面积之比为，的面积与四边形的面积之比为，，设点的横坐标为，则，解得：，把代入中得：，；（3）如图所示，过点作轴交于点，，，，作点关于一次函数的对称点，且OO’与直线DF交于Q点，过点作轴的垂线交轴于点，，，当、、在同一直线时最小，即的最小值为，，，，，在中，，，在中．，的最小值为．【点睛】本题考查几何图形与函数的综合题，包括一次函数、矩形的性质、四边形的面积，解直角三角形以及胡不归问题，属于中考压轴题．15．（2023春·广东广州·八年级校考期中）在菱形中，．(1)如图1，过点B作于点E，连接，点是线段的中点，连接，若，求线段的长度；(2)如图2，连接．点Q是对角线上的一个动点，若，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用含30度的直角三角形的性质求出，从而得到，，利用勾股定理求出，再运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案；（2）过点在直线的上方作，分别过点、作于点，于点，交于点，连接，则，，当点与重合时，的值最小，当点与重合时，．再根据菱形性质和等腰直角三角形性质即可求得答案．